1、6.1 解析法的求解思路 1 1、基本假设、基本假设 （1 1） 连续的，宏观的连续的，宏观的 （2 2） 确定的确定的描述方程描述方程+ +边界条件边界条件 求定解求定解2 2、描述方程，基本方程、描述方程，基本方程平衡方程平衡方程 几何方程几何方程 物理方程物理方程 屈服准则屈服准则 边界条件边界条件 连续方程连续方程 塑性变形体积不变塑性变形体积不变 （1）平衡方程 ij0ix. .i jx y z（2）几何方程 jiijij1()2uuxx（3）物理方程 弹性 塑性 增量理论 ijijdd32ddijijijmij1212dddGdE 全量理论 ijij32弹塑性增量理论 ijijmi
2、j1122GE SijSijSijSijSijiiiieij（4）边界条件 物体外表面为S，Sd和St分别表示位移和外力 uuTT 位移给定值 外力给定值 （5）补充方程 屈服准则 13|ss连续方程 222221()2xyyxx yyx 2xyyzzxxxyzxy z （+-）塑性变形体积不变 0,0mmd有3+3个方程3、求解 在边界条件 uuTT 下求解 ,iijiju3D2D1D平衡321几何631物理631塑性条件(曲服)111连续条件622总计22116未知数15834、基本解法 n位移法位移法 以位移为未知量，经过几何方程和以位移为未知量，经过几何方程和物理方程，得到一位移表示的
3、应力物理方程，得到一位移表示的应力诸分量。然后带入平衡方程，得到诸分量。然后带入平衡方程，得到位移表示的平衡方程。在边界条件位移表示的平衡方程。在边界条件下，从平衡方程解出连续且单值的下，从平衡方程解出连续且单值的位移。再按几何方程求出位移。再按几何方程求出 ，此，此时将自动满足协调方程。进而按物时将自动满足协调方程。进而按物理方程求出理方程求出 ，此时，此时 将满足平将满足平衡方程。衡方程。 ijijijij( )iuijijui几何方程几何方程物理方程物理方程平衡平衡+ +边界边界 ( ui)物理方程物理方程ijij()ij ij以满足平衡条件的应力诸分量以满足平衡条件的应力诸分量 为未知
4、量，经过物理方程得到应为未知量，经过物理方程得到应力表示的应变诸分量力表示的应变诸分量 再利用再利用几何方程的积分应变求位移几何方程的积分应变求位移u ui i时，时，要求积分为单值，即积分只依赖要求积分为单值，即积分只依赖于积分路线，必须使被积函数满于积分路线，必须使被积函数满足全微分条件；足全微分条件；对几何方程求积对几何方程求积分的全微分条件就是变形协调方分的全微分条件就是变形协调方程。程。为保证此条件成立，应将以为保证此条件成立，应将以应力表示的应变诸分量带入协调应力表示的应变诸分量带入协调方程，结合边界条件解出方程，结合边界条件解出 ，再，再按物理方程求相应的应变分量，按物理方程求相
5、应的应变分量，此时利用几何方程积分，即可得此时利用几何方程积分，即可得到单值的位移分量到单值的位移分量u ui i。 应力法应力法 ij物理方程物理方程 协调方程协调方程+ +边界条件边界条件 ij物理方程物理方程 ijij几何方程几何方程 ui 5、主应力法的基本方法（切块法）n实质是将应力实质是将应力平衡微分方程平衡微分方程和和屈服方程屈服方程联立求解。联立求解。n将问题简化成平面问题或轴对称问题。将问题简化成平面问题或轴对称问题。n根据金属的流动趋向和所选取的坐标系，对变形体根据金属的流动趋向和所选取的坐标系，对变形体截取包括接触面在内的基元体或基元板块，切面上截取包括接触面在内的基元体
6、或基元板块，切面上的正应力假定为主应力，且均匀分布。的正应力假定为主应力，且均匀分布。n不考虑剪应力对材料屈服方程的影响。不考虑剪应力对材料屈服方程的影响。xy2Kxy平面应变镦粗型的变形力对称，取一半作为对象设 mK设长度为l202xxxxxPlhdlhldxmKddxh 屈服方程为 yxyx2 ;K dd联解(1)(2)得 y2mKxch (1)(2)yyeye,2eexxmKcxh当时所以y金属流动方向镦粗方向xyexexdxyyxx+dxyeh平行砧板间平面应变镦粗及垂直应力y的分布图形最后得 yye2()emKxxh单位面积平均变形力为 yye021exeemKxPpdxFxhxey
7、e0,2Ky21()2m bKxh当工件宽度为b高度为h时 2(1)4m bpKh(3)(4)工件外端为自由表面 由（3）得 (5)(6)由（4）得 金属流动方向镦粗方向xyexexdxyyxx+dxyeh平行砧板间平面应变镦粗及垂直应力y的分布图形平衡微分方程和塑性条件联立求解的数学解析法（附加内容）n对一般空间问题，在对一般空间问题，在3个平衡微分方程和一个个平衡微分方程和一个塑性条件（屈服准则），塑性条件（屈服准则），4个方程求个方程求6个未知个未知数数 ，静不定问题。，静不定问题。ijn利用利用6个应力应变关系和个应力应变关系和6个变形连续方程个变形连续方程和和一一个塑性条件（屈服准则
8、）个塑性条件（屈服准则） ，共得，共得13个方程，个方程，求求13个未知数个未知数， 但此方程组无法求解。但此方程组无法求解。ijij, n对于轴对称问题，对于轴对称问题，2个平衡微分方程和个平衡微分方程和1个塑性条件，个塑性条件，再利用再利用4个应力应变关系式和个应力应变关系式和2个变形连续方程，共个变形连续方程，共得得9个方程和个方程和9个未知数，但只有在边界上剪应力只个未知数，但只有在边界上剪应力只与一个坐标轴有关时才有解。与一个坐标轴有关时才有解。n对于平面问题，对于平面问题， 2个平衡微分方程和个平衡微分方程和1个塑个塑性条件，求性条件，求3个未知数个未知数当边界上的剪应力为零或只与
9、一个坐标轴有关时，当边界上的剪应力为零或只与一个坐标轴有关时，才有解。才有解。xyxy, 例题例题矩形板镦粗矩形板镦粗 已知：已知： 长长l l、宽、宽a a、高为、高为h h，la la 接触面上的剪应力接触面上的剪应力为为 ，沿，沿l l方向应变为方向应变为0 0 。平面变形问题。平面变形问题。假设：变形无畸变（出现鼓形），假设：变形无畸变（出现鼓形）， 与与x x无关无关 yxxy解解：平衡方程只分析第一象限平衡方程只分析第一象限 0yx0yxyxyxyx0yxx0yyxy2xy22xy2x2222xyxyxy22(1x yx)y aph对对1式和式和2式式分别对分别对Y和和X微分得微分
10、得1式减式减2式得式得屈服条件屈服条件 Mises条件条件2s22xy2yx344K422xyxy2 K(2)22222xyxyxy22K2(3)x yxy 0yxK2x2xy222xy2与x无关，且仅为Y的函数时，才可解xy0y2xy2xy12cc y当y=0时， =0 xy1yh2xy122c =0,chxy2y(4)hh2yxyxy0 x0y0h2xyx代入代入平衡平衡方程方程得得 ahp（2 2）代入（）代入（1 1）得）得积分得得（5）ijijSe)x()y(xh22y1x代入屈服准则式（2）得 222221yh4K2)x()y(xh2222212yh4K2)y(xh2)x(xh2c
11、)x(222221yh4K2c)y(xh2ch4K2cxh2y222x 在x= 、y=0处， ，有 2a0 x2Khacy222x2a2x(2K)ha2x4(2K-2 Ky )hh FyyPdFl(x)dx1 a=2kla(1+)4 h 1 a2k(1PP+=Fla)4 hp 当当 变形力变形力 单位流动压力 ahp积分得 上式左式为上式左式为X X的函数，右式为的函数，右式为Y Y的函数，令等于常数的函数，令等于常数C C代入代入6 6式得式得 （6） （7） x K ya2xa2x(2K)2 (1)h2hk y2轴对称挤压型的变形力22tan( )22tan( )0zzurdzr drdz
12、rdztan( )urrzY由静力平衡关系简化屈服方程联解（1）（2）（3）得22 (1tan)tanzYddzr (1)(2)(3)(4)Z方向平衡径向平衡由几何关系得由几何关系得tanbrrz代入（代入（4）前述算式积分得）前述算式积分得121ln(tan)2 (1tan)tantanzbKrzcYK1ln(tan)becKrz 当z=ze时，0z 1tanln()tanbzberzKrz11ln()ln()tanbbbeerrpKKrzr(5)(6)(7)(8)当当z=0处，处， 即为挤入深即为挤入深度为度为 ze 所需的单位变形力所需的单位变形力zz拉延凸缘变形区的应力分布应用主应力法
13、可以应用主应力法可以求解凸缘区的应力求解凸缘区的应力分布。设拉延过程分布。设拉延过程中板厚不变，且暂中板厚不变，且暂不考虑外摩擦影响不考虑外摩擦影响从凸缘变形区切取一扇形基元体，该单元处于平衡状态，由径从凸缘变形区切取一扇形基元体，该单元处于平衡状态，由径向合力为向合力为0得得()()2sin02rrrt Rddt RdR ddt dR (1)()()2sin02rrrt Rddt RdR ddt dR 略去高阶微量，整理后得()rrdRdR (2)式中应力为绝对值表示因处于塑性状态，根据Mises屈服准则有()rY (3)联解（2），（3）得rdRYR (4)式中式中Y是材料的真实应力，可根据变形程度由真实应力是材料的真实应力，可根据变形程度由真实应力-应变曲线求应变曲线求得，但由于凸缘上不同得，但由于凸缘上不同R处有不同的变形程度，因此处有不同的变形程度，因此Y是是R的函数。的函数。取平均值取平均值 假设整个变形区的真实应力为某一平均值假设整个变形区的真实应力为某一平均值YYrdRYR 积分得积分得lnrYRC 00,rRR当时,0lnCYR0lnrRYR(5)代入（代入（3）得切向压应力为）得切向压应力为0(1 ln)RYR(6)
