1、2.12.1曲线与方程曲线与方程 例例1.(1)画出两坐标轴所成的角在第一、画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线三象限的平分线 l ，并写出其方程，并写出其方程. (2)画出函数画出函数y=2x2( 1 x 2)的图象的图象C yx - y=0 xO11yxO-128y=2x2( 1 x 2)Cl2练习：练习：请标出下列方程所对应的曲线请标出下列方程所对应的曲线 0)1( yx(2)x2 y2=0(3)|x| y=0 yOyOxyOxxABC曲线上的点的坐标都是这个方程的解；曲线上的点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
2、【例例1 1】设设A,BA,B两点的坐标分别是两点的坐标分别是( (1,1,1)1)，(3,7)(3,7)，求，求线段线段ABAB的垂直平分线的方程的垂直平分线的方程. .解析：解析：设点设点M(x,y)是线段是线段ABAB的垂直平分线上的任意的垂直平分线上的任意一点，也就是点一点，也就是点M属于集合属于集合由两点间的距离公式，点由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为适合的条件可表示为2222(x 1)(y 1)(x 3)(y 7) .上式两边平方，并整理得上式两边平方，并整理得 x+2y7=0. P=M |MA=MB.求曲线的方程：求曲线的方程： 由上述例子可以看出，求曲线的方程，一般有
3、下面由上述例子可以看出，求曲线的方程，一般有下面几个步骤：几个步骤：(1)(1)建系设动点：建系设动点：建立适当的坐标系建立适当的坐标系, ,用有序实数对用有序实数对（x,yx,y）表示所求曲线上任意一点）表示所求曲线上任意一点M M的坐标；（求谁设谁）的坐标；（求谁设谁）(2)(2)列几何条件列几何条件: :写出适合条件写出适合条件p p的点的点M M的集合的集合P=M|p(M);P=M|p(M);(3)(3)坐标代换坐标代换: :用坐标表示条件用坐标表示条件p(M),p(M),列出方程列出方程f(x,y)=0;f(x,y)=0;(4)(4)化简化简: :化方程化方程f(x,y)=0f(x,
4、y)=0为最简形式；为最简形式；说明：说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，【例例2 2】已知一条直线已知一条直线l和它上方的一个点和它上方的一个点F F，点，点F F到到l的距离是的距离是2.2.一条曲线也在一条曲线也在l的上方，它上面的每一的上方，它上面的每一点到点到F F的距离减去到的距离减去到l的距离的差都是的距离的差都是2,2,建立适当的建立适当的坐标系，求这条曲线的方程坐标系，求这条曲线的方程. .分析：分析：在建立坐标系时，一般应当充分在建立坐标系时，一般应当充分利用已知条件中的定点、定直线等，利用已知条件中的定点、定直线等，这样可
5、以使问题中的几何特征得到更好的这样可以使问题中的几何特征得到更好的表示，从而使曲线方程的形式简单一些表示，从而使曲线方程的形式简单一些. .解：解：如图，取直线如图，取直线l为为x轴轴,过点过点F且垂直于直线且垂直于直线l的直线的直线为为y轴轴, 建立坐标系建立坐标系xOy.xOy. 设点设点M(x,y)M(x,y)是曲线上任意一点，作是曲线上任意一点，作MBxMBx轴，轴，垂足为垂足为B，那么点，那么点M属于集合属于集合2.PM MFMB 由两点间的距离公式，点由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为适合的条件可表示为2222(),xyy 将式移项后两边平方，得将式移项后两边平方，得,)2
6、()2(222yyx.812xy 化简得化简得 因为曲线在因为曲线在x轴的上方，所以轴的上方，所以y0.虽然原点虽然原点O的坐的坐标（标（0,0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是以曲线的方程应是.0812）（ xxy【变式练习变式练习】626 M M.两两个个定定点点的的距距离离为为 ，点点到到这这两两个个定定点点的的距距离离的的平平方方和和为为，求求点点的的轨轨迹迹方方程程xyMABO33 22A(-3,0)B(3,0)M( , ), |MA|MB|26 , x y如如图图建建立立坐坐标标系系，设设两两定定点点，动动点点则则解解：即即
7、22222332642()() .xyxyxy，化化简简得得【提升总结提升总结】建立建立坐标系的基本原则坐标系的基本原则: :（1 1）定点、定线段常选在坐标轴上）定点、定线段常选在坐标轴上; ;(2(2）原点有时选在定点）原点有时选在定点; ;（3 3）充分利用对称性，坐标轴可选为对称轴）充分利用对称性，坐标轴可选为对称轴. .另外注意：另外注意：坐标系不同虽曲线形状一样其方程坐标系不同虽曲线形状一样其方程却不同；要注意选择几何图形与坐标系的适当却不同；要注意选择几何图形与坐标系的适当相对位置，以简化方程形式相对位置，以简化方程形式. .1.1.圆心在直线圆心在直线x-2y+7=0 x-2y
8、+7=0上的圆上的圆C C与与x x轴交于两点轴交于两点A(-2,0)A(-2,0)，B(-4,0),B(-4,0),则圆则圆C C的方程为的方程为_._.答案：答案：(x+3)(x+3)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=5=52.在在ABC中，中，B，C 坐标分别为（坐标分别为（-3，0），），（3，0），且三角形周长为），且三角形周长为16，则点，则点A的轨迹方的轨迹方程是程是_.2222xyxy+=1(x+=1(x5)5)25162516答答案案： 3.3.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，点中，点B与点与点A(1，1)关关于原点于原点O对称，对称，P是动点，且直线是动点，且
9、直线AP与与BP的斜率之的斜率之积等于积等于 .求动点求动点P的轨迹方程的轨迹方程.31解析：解析：因为点因为点B与点与点A(1,1)关于原点对称，得关于原点对称，得B点坐标为点坐标为(1，1)设设 P 点坐标为点坐标为(x，y)，则，则 kAPy1x1，kBPy1x1， 由题意得由题意得y y1 1x x1 1y y1 1x x1 11 13 3， 化简得：化简得：x x2 23y3y2 24(x4(x1)1) 即即 P P 点轨迹方程为：点轨迹方程为：x x2 23y3y2 24 4(x(x1)1) 1.1.本节学习了一种方法本节学习了一种方法-直接法求曲线方程直接法求曲线方程; ;2.2
10、.直接法求曲线方程五个步骤的实质是将产直接法求曲线方程五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为含动点坐标生曲线的几何条件逐步转化为含动点坐标的代数方程的过程的代数方程的过程. .(因此求曲线方程时要因此求曲线方程时要注意挖掘题中形成曲线的等量关系注意挖掘题中形成曲线的等量关系););3.3.求曲线方程时求曲线方程时, ,五个步骤不一定要全部实施五个步骤不一定要全部实施. .如如第二步、第五步；第二步、第五步；4.4.注意注意: :(1)(1)建系要适当；建系要适当； (2)(2)化简变形要考查等价与否化简变形要考查等价与否( (即考察曲线即考察曲线的完备性和纯粹性的完备性和纯粹性).).
11、 在美丽的南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰在海上巡逻，巡逻过程中，从军舰上看甲乙两岛，保持视角为直角，你认为军舰巡逻的路线应是怎样的曲线，你能为它写出一个方程吗？探究探究 求曲线的方程的步骤求曲线的方程的步骤 上一节，我们已经学习了曲线的方程与方程的曲上一节，我们已经学习了曲线的方程与方程的曲线的概念线的概念. .利用这两个重要概念，就可以借助于坐标利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x, y）所满足的方所满足的方程程f(x, y)=0
12、表示曲线，通过研究方程的性质间接地来表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质研究曲线的性质. . 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何的知识形成的学科叫做解析几何.因此，解析几因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.问题问题1 1：解析几何与坐标法：解析几何与坐标法. .问题问题2 2：平面解析几何研究的两个基本问题：平面解析几何研究的两个基本问题. .（1 1）根据已知条件，求出表示
13、平面曲线的方程；）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2 2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质. .我们证明方程是线段我们证明方程是线段ABAB的垂直平分线的方程的垂直平分线的方程. .（1 1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程的解；点的坐标都是方程的解；（2 2）设点）设点M1的坐标的坐标（x1,y1）是方程的解，即是方程的解，即 x1+2y17=0, x1=72y1.点点M1到到A，B的距离分别是的距离分别是即点即点M在线段在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上. .由由(1)(1)、(2)(2)可知可知, ,方程是线段方程是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线的方程的方程. . 通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的点应适合的条件列出等式，同时，根据曲线上的点应适合的条件列出等式，是求曲线方程的重要环节，严格按步骤解题是基是求曲线方程的重要环节，严格按步骤解题是基本能力本能力. .【提升总结提升总结】
