1、第 1 页，共 20 页 高三（上）期中数学 高三（上）期中数学 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分）1.已知集合 = 1,0，2，3， = |1| 1，则 = ()A. 0,2B. 2,3C. 1,0，2D. 0,1，22.以下哪个点在倾斜角为45且过点(1,2)的直线上()A. (2,3)B. (0,1)C. (3,3)D. (3,2)3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A. 13B. 23C. 43D. 24.若实数 x，y 满足 0 + 2 02 + 2 0，则 = 2的最大值是()A. 0B. 1C. 2D. 35.已知平面，直线 m
2、 满足， ，则“ ”是“/”的()第 2 页，共 20 页A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.设函数() =1 + ，则()的图象大致为()A. B. C. D. 7.汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝 如图所示的弦图中， 由四个全等的直角三角形和一个正方形构成 现有五种不同的颜色可供涂色， 要求相邻的区域不能用同一种颜色， 则不同的涂色方案有()A. 180B. 192C. 420D. 4808.甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局(必须分出胜负)， 且每一局甲赢的概率都是
3、 p， 随机变量 X 表示最终的比赛局数，若0 218C. () 14D. () 0, 0)上的一点，1，2分别为C的左右焦点，若 12的内切圆的直径为 a，则双曲线 C 的离心率的取值范围为_17.已知数列满足1 13,12)， + 1= sin2，( )， 记数列的前 n 项和为， 则对任意 ， 有数列单调递增 ；2 + 1 21+； + 134+14；20192020.上述四个结论中正确的是_.(填写相应的序号)三、解答题（本大题共 5 小题，共 74.0 分）18.已知() = ( +3)(1)求()的最小正周期及最大值；(2)在三角形 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a
4、，b，c，且() = 1，第 4 页，共 20 页 = 1， =2，求 的面积19.如图所示，四棱锥中，底面 ABCD 是平行四边形， 平面 ABCD， = = 1， = 2， F 是 PB中点，点 E 在棱 BC 上移动(1)若 ，求证： ；(2)若 =23，当点 E 为 BC 中点时，求 PA 与平面PDE 所成角的大小20.设各项均为正数的数列的前 n 项和为，满足4= (+3)(1)，已知等比数列，2=1，3=4， (1)求数列，的通项公式；(2)记=，数列的前 n 项和为，证明：对一切正整数 n， 0，故排除 C； 1 1，而1 + 1， () (1,1)，故排除 A、D；故选：B7
5、.【答案】C【解析】解：根据题意，假设五个区域分别为，分 2 步进行分析：对于区域，三个区域两两相邻，有35= 60种情况，对于区域，若与的颜色相同，则有 3 种情况，若与的颜色不同，则有 2 种情况，有 2 种情况，此时区域的情况有2 2 = 4种，则区域有3 + 4 = 7种情况，则一共有60 7 = 420种涂色方案；故选：C根据题意，假设五个区域分别为，进而分 2 步讨论区域与区域的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题8.【答案】D【解析】解：X 的可能取值为 2，3，( = 2) = 2+(1)2= 222 + 1，(
6、= 3) = 12 (1) 1 = 222，() = 2 (222 + 1) + 3(222) = 22+2 + 2，(2) = 4 (222 + 1) + 9 (222) = 102+10 + 4，() = (2)2() = 102+10 + 4(22+2 + 2)2= 44+8362+2，因为()以 =12为对称轴，开口向下，所以()在 (0,13)时，()单调递增，第 10 页，共 20 页所以() 2 (13)2+2 13+2 =229，排除 A，B() = 163+24212 + 2，() = 12(21)2 0，所以()在 (0,1)上单调递减，又当 =13时，() =227 0，
7、所以当 (0,1)时，() 0，所以 (0,1)时()单调递增，所以() 4 (13)4+8 (13)36 (13)2+2 13=2081故选：DX 的可能取值为 2， 3， 求出每个变量对应的概率， 即可得到()，(2)， 进而得到().求导，研究函数在(0,13)上的单调性，即可求出()的最大值本题考查了离散型随机变量的期望和方差，导数的综合应用，属于难题9.【答案】C【解析】解：如图，设 = ，= ， = ，则 = =，依题意，对任意 都有| |，故() ，所以 ，即 B 点在以 OA 为直径的圆 M 上(为圆心)，同理 C 也在以 OA 为直径的圆 M 上，则 = = 1， =3，设
8、= ，则因为 = = 1，所以 = ，则 = + = 2，依题意有 = 1 = ， =3 = 2，所以 =12，第 11 页，共 20 页所以| = =112= 2故选：C设 = ， = ， = ， 则 = = ， 由对任意 都有| |，| |成立， 知点 B， C 在以 OA 为直径的圆上， 再结合圆的性质即可求出 OA的长度，即|的值本题考查了向量的位置关系，考查了向量的模，考查了圆的性质，三角恒等变换，属于难题10.【答案】B【解析】解：设= ，则 + 2 + 413= + 22+ + 2=2+ + 222+ + 2= 122+ + 2= 111 + + 2， 2(1 + + 2) =
9、2+ + 2，则2+2+ 22= + 413，即(2+1)2( + 1) +413= 0，依题意， = ( + 1)24(2+1) 413 0，即(3)(31) 0，解得13 3， 2+ + 1 139,13， 112+ + 1 413,1213故选：B设= ，则可得(2+1)2( + 1) +413= 0，由题意，该方程有解，则13 3，进而得解本题考查代数式取值范围的求解，考查换元思想及转化思想，属于中档题11.【答案】4 12【解析】解：椭圆24+23= 1的长轴长是 4； = 1，离心率： =12故答案为：4；12直接利用椭圆的简单性质求解即可本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力
10、第 12 页，共 20 页12.【答案】32 102【解析】解：由(1) = 1 + 2，得 =1 + 21=(1 + 2)(1)(1 + )(1)=1232， 复数 z 的虚部为32，| =(12)2+ (32)2=102故答案为：32；102把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，训练了复数模的求法，是基础题13.【答案】729；160【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，利用 = 1，以及展开式的通项公式进行求解是解决本题的关键令 = 1得所有项的系数和，然后求出通项公式，结合常数项的条件进行求解
11、即可【解答】解：令 = 1得所有项的系数和为(1 + 2)6= 36= 729，通项公式 + 1= 66 (2)= 6 2 62， = 0，1，6，令62 = 0得 = 3，即常数项为4= 36 23= 20 8 = 160，故答案为：729；16014.【答案】1； 0【解析】解：已知二次函数() = 2+ + 1，一次函数() = 1，不等式() ()的解集为1,2， 2+(1) + 2 = 0的两根为 1 和 2，1= 32= 2， = 1 = 2， = 1第 13 页，共 20 页 () =22 + 1, 1或 21,1 0，可得2 0，可得 =12 +12，由渐近线方程为 = ，可得
12、12，方程 = 2|有解，则 =1 +221 +14=52，故答案为：(52, + )设|1| = ，|2| = ，P 为双曲线的右支上一点，设(,)，运用双曲线的第二定义可得焦半径 m，n，再由三角形的面积公式，结合三角形的内切圆性质可得 = 2|，再由双曲线的渐近线方程，结合 P 在右支上，可得12，再由离心率公式可得所求范围本题考查双曲线的定义和方程、性质，主要是渐近线方程和离心率的范围，考查三角形的面积公式，以及方程有解的条件，考查运算能力和推理能力，属于中档题17.【答案】【解析】解：画出相应的图形，由蛛网图(1)可知，数列单调递增，且 + 时， + ，故对错；对于，要证明2 + 1
13、 21+，只需证明2( + 11) ，即证2( + 1) + (1) + + (21) +1+ +1，即证2( + 1) ，即证 + 132，由1(1,2)结合蛛网图(2)，第 15 页，共 20 页可得12 ，故 + 1211213=32，成立，故对；对于，连接() = sin2上的点(13,12)，(1,1)两点直线 l，则直线方程为 =34 +14，由蛛网图(3)可得，点(, + 1)在直线 l 的上方(或线上)，则 + 134+14，故对故答案为：作出蛛网图，逐个判断即可本题是对形如 + 1= ()类型数列的考查，通常采用“蛛网法”解决，考查数形结合思想及逻辑推理能力，属于难题18.【
14、答案】解：(1) () = ( +3) =122+322 = sin(26) +12， ()的最小正周期 =22= ，()= (3) =32(2)由() = sin(26) +12= 1，可得26=6，或56，即 =6，或2，由 ，可知 ，故只能 =6，否则 =2， 2，就有 + ，矛盾由 = 1， =2， =6，且 =2+ 222，可知2 6 + 1 = 0，第 16 页，共 20 页可得 =622，故 =12 =3 14【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用可求() = sin(26) +12，利用正弦函数的性质可求()的最小正周期和最大值(2)由() = sin(26) +12= 1，
15、可求 B 的值，由余弦定理可求 c 的值，根据三角形的面积公式即可求解本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19.【答案】解：(1)证明： 底面 ABCD， ， = ，F 为 PB 的中点， ， ，且 ， 平面 PAB， ， = ， 平面 PBC， 平面 PBC， (2)解： =23， = = 1， = 2， =4 + 12 2 1 cos3=3， 2+2= 2， ，以 A 为原点，AC 为 x 轴，AB 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0，0)，(0,0，1)，(0
16、,1，0)，(0,12,12)，( 3,1,0)，由题意 = 1，(32,12,0)， = ( 3,1,1)， = (32,12,1)， = (0,0，1)，设平面 PDE 的法向量 = (,y，)，则 =3 = 0 =32 +12 = 0，取 = 1，得 = (32,12,1)，设 PA 与平面 PDE 所成角为，则 =| | |=12=22，第 17 页，共 20 页 =4， 与平面 PDE 所成角为4【解析】(1)推导出 ， ， ， ，从而 平面 PAB， ，进而 平面 PBC，由此能证明 (2)推导出 ，以 A 为原点，AC 为 x 轴，AB 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角
17、坐标系，利用向量法能求出 PA 与平面 PDE 所成角本题考查线线垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20.【答案】解：(1)4= (+3)(1)， 0，可得 = 1时，41= 41= (1+3)(11)，解得1= 3，当 2时，4= 441= (+3)(1)(1+3)(11)，化为221= (+1)(1) = 2(+1), 0,1= 2，可得数列为首项为 3，公差为 2 的等差数列，可得= 3 + 2(1) = 2 + 1；等比数列，2=1，3=4， 可得2= 3，3= 9，则公比 =32= 3，可得= 31， (2)证明
18、：= (2 + 1) (13)1，前 n 项和= 3 1 + 5 13+7 19+ + (2 + 1) (13)1，13= 3 13+5 19+7 127+ + (2 + 1) (13)，相减可得23= 3 + 2(13+19+ + (13)1)(2 + 1) (13)= 3 + 2 13(1131)113(2 + 1) (13)，化简可得= 6( + 2) (13)1，由( + 2) (13)1 0，可得 0，1 0，2 0可得12+ 3= 1【解析】(1)将点(2,1)代入可得 = 4，故可求出答案，(2)由已知设直线 l： = + ，(1,1)，(2,2)，根据切线方程，可得点 P 的坐
19、标，根据三角形的面积公式，即可求出本题考查抛物线的标准方程， 直线与抛物线的位置关系， 考查韦达定理， 考查计算能力，属于中档题22.【答案】解：(1)由已知函数的定义域为(1, + )， = 0，() = ln( + 1)4，故() =1 + 14 =4( +34) + 1，所以()在(1,34)递增，在(34, + )递减，则()= (34) = 322第 19 页，共 20 页(2)若 4且 0，() =1 + 1+2 + 1( + 4) = (2 + 11)( + 4) + 1+ 22( + 1)，、当 + 4 0，即 4，()在(1,34)递增，在(34, + )递减下面比较1 +
20、( + 4)2与34的大小：当1 + ( + 4)2 34，即 4或者4 43时，()= (34) =4+322；当1 + ( + 4)2 34，即43 0或0 4，()= (1 + ( + 4)2) = ln( + 4)2+|2 + 4+4、 + 4 0，即 4时，由() = 0得1= 34,2=4( + 4)21，下面比较1，2的大小当12，即8 4，()在(0,1)递增，在(1,2)递减，在(2, + )递增，又 (1,1 + ( + 4)2)，故()= (1),(1 + ( + 4)2)，由8 2(1 + ( + 4)2) = ln( + 4)2+4 4+322 = (34) = (1
21、)，故()= (1 + ( + 4)2) = ln( + 4)2+4当12，即 0， 故(1 + ( + 4)2) (0) = 0， 所以()= (1 + ( + 4)2=ln( + 4)2+4；当1=2， = 8，() 0，即()在(1,1 + ( + 4)2)单调递增，()= (1 + ( + 4)2) = ln( + 4)2+4综上，当 (4,43) (4, + )，()= (34) =4+322；当 (,4) (0,4，() = (1 + ( + 4)2) = ln( + 4)2+4；当 43,0),()= (1 + ( + 4)2) = ln( + 4)222 + 4+4第 20 页，共 20 页【解析】(1)考察利用导数判断单调性和最值；(2)含参数问题讨论，根据 k 的范围利用导数对单调性进行讨论，确定函数的最大值(1)利用导数判断函数的单调性和最值，基础题；(2)含参问题的讨论，尤其是对导数的零点和边界点的讨论，确定单调性和最大值，综合性高，难度大
