1、淮北市开渠中学 王 毅1ppt课件 相似三角形中的辅助线相似三角形中的辅助线 在添加辅助线时,所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形,或得到成比例的线段或得出等角,等边,从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种:2ppt课件例题:如图,D是ABC的BC边上的点, BD:DC=2:1,求:BE:EF的值.DABCEFE是AD的中点,连结BE并延长交AC于F,一、作平行线一、作平行线3ppt课件DABCEFn2kk解法1:过点D作CA的平行线交BF于点P,P?yyny4ppt课件DABCEFn解法1:过点D作CA的平行线交BF于点P,Pn2kkyy4y?y
2、BE:EF=5:1.则,1AEDEFEPE, 2DCBDPFBPPE=EFBP=2PF=4EF,所以所以BE=5EF5ppt课件DABCEFnn2k解法2:过点D作BF的平行线交AC于点Q,ykQ?y2y6ppt课件DABCEFnn解法2:过点D作BF的平行线交AC于点Q,Q2kk?y2y5yyBE:EF=5:1.,则2EADAEFDQ, 3DCBCDQBF,EFEFEFEFDQEFBFBE5637ppt课件DABCEF2k解法3:过点E作BC的平行线交AC于点S,Snnk2k?k8ppt课件DABCEF解法3:过点E作BC的平行线交AC于点S,Snn?y5yy2kk2k9ppt课件DABCE
3、Fnn2k解法4:过点E作AC的平行线交BC于点T,T2k2k?k?k10ppt课件DABCEFnn2k解法4:过点E作AC的平行线交BC于点T,T2k2ky?y5y,则DCCTDT21BD=2DC,BE:EF=5:1.,DCBT25;TCBTEFBE11ppt课件练习:如图,D是ABC的BC边上的点, BD:DC=2:1,求AF:CF的值.DABCEFE是AD的中点,连结BE并延长交AC于F,12ppt课件DABCEF解法1:过点D作CA的平行线交BF于点P,Pnn2x2x2kk3xAF:CF=2:3.13ppt课件DABCEF解法2:过点D作BF的平行线交AC于点Q,Qnn2x2x2kkx
4、AF:CF=2:3.14ppt课件DABCEF解法3:过点E作BC的平行线交AC于点S,Snnh2h4hy5y4yAF:CF=2:3.15ppt课件DABCEF解法4:过点E作AC的平行线交BC于点T,Tnnhh4h5y6y4yAF:CF=2:3.16ppt课件作平行线作平行线 例1. 如图,的AB边和AC边上各取一点D和E,且使ADAE,DE延长线与BC延长线相交于F,求证:BFCFBDCE 证明:证明:过点C作CG/FD交AB于G小结:小结:本题关键在于ADAE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法:相似、成比例。 B G D A C F E 17ppt课件 例2. 如
5、图,ABC中,ABAE),求证:求证:AEF ECFE EC CD DB BA AF F33ppt课件2、已知,在、已知,在ABC中,若中,若AB=BC,B=90,AD为为BC边的中线,过边的中线,过B作作直线直线BPAD于于P交交AC于于E,求证:,求证:AE=2EC ;AEB= CED. D DA AB BC CE E34ppt课件二、作垂线二、作垂线 3. 如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF,垂足分别为E、F,求证:2ACAFADAEABABCFDE35ppt课件ABCFDENMABMACEACABAEAMAMACAEABADNACFACADAFANANACAFA
6、D)(ANAMACANACAMACAFADAEABBCMADN2)(ACCMAMACAFADAEAB证明:过B作BMAC于M,过D作DNAC于N (1) (2) 又 AN=CM 又 (1)+(2)36ppt课件 2、中,AC=BC,P是AB上一点,Q是PC上一点(不是中点),MN过Q且MNCP,交AC、BC于M、N,求证:CNCMPBPA:37ppt课件/45BAAEPRtPFBRtPFPEPBAP:ECPEPFPEPBPAECPCNM90QNCQCN90QCMQCNCNQMCQPECRtMCNRtCNECCMEPCNCMECEPCNCMPBPA2、证明:、证明:过P作PEAC于E,PFCB于
7、F,则CEPF为矩形 PFEC EC=PF (1) 在和中:CPMN于Q 又 即 由(1)(2)得(2)38ppt课件三、作延长线三、作延长线 例5. 如图,在梯形ABCD中,ADBC,若BCD的平分线CHAB于点H,BH=3AH,且四边形AHCD的面积为21,求HBC的面积。分析:分析:因为问题涉及四边形AHCD,所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。 39ppt课件解:解:延长BA、CD交于点P CHAB,CD平分BCD CB=CP,且BH=PH BH=3AH PA:AB=1:2 PA:PB=1:3 ADBC PADPBC:SSPADPBC 19SSPCHPBC1
8、2:四边形SSPADAHCD 27四边形SAHCD 21SPAD 6SPBC 54SSHBCPBC122740ppt课件 例6. 如图,RtABC中,CD为斜边AB上的高,E为CD的中点,AE的延长线交BC于F,FGAB于G,求证:FG=CFBF41ppt课件 解析:解析:欲证式即 由“三点定形”,BFG 与CFG会相似吗?显然不可能。(因为BFG为Rt),但由E为CD的中点,可设法构造一个与BFG相似的三角形来求解。 不妨延长GF与AC的延长线交于HFGCFBFFGECFHEDFGAEAFECFHEDFG则 又ED=EC FG=FH 又易证RtCFHRtGFBBFFHFGCF FGFH=CF
9、BF FG=FH FG2=CFBF42ppt课件四、作中线 例7 如图,中,ABAC,AEBC于E,D在AC边上,若BD=DC=EC=1,求AC。43ppt课件DCBDBCDBCC1MACDBCBCACDCMC21221BCDCBCMCACAECRtBACRtBCBCCEAC2421ACAC 32AC解:解:取BC的中点M,连AM ABAC AM=CM 1=C 又 BD=DC 又 DC=1 MC=BC (1) 又 又 EC=1 由(1)(2)得, (2) MACDBC小结:小结:利用等腰三角形有公共底角,则这两个三角形相似,取BC中点M,构造与相似是解题关键44ppt课件如图,中,那么吗?试说
10、明ABCABACBD ACBCCA CD223、理由?(用三种解法)45ppt课件方法一:方法一:如图(1),设BC中点为E,连接AE。ABACBECEAE BCAECBDCCCBDCAEC 90BCACCDCEBC CEAC CDCEBCBCCA CD122246ppt课件 方法二:方法二:如图(2),在DA上截取DE=DC 在BED与BCD中,BD CEBDEBDCDEDCBDBDBEDBCDBECCABACABCC 90ABCBCEACBCBCECBCAC ECAC CD2247ppt课件 方法三:方法三:如图(3),过B作BEBC于B,交CA的延长线于E。 ABACCABCCEABCABEEABEABAEABACAEAC 9090易得Rt CBDRt CEBBCCD CECECABCCA CD222248ppt课件49ppt课件50ppt课件51ppt课件52ppt课件53ppt课件54ppt课件55ppt课件56ppt课件57ppt课件