1、4.4 4.4 椭球面椭球面)0, 0, 0(1222222 cbaczbyax1. 1. 范围范围: : |x |a, |y |b, |z |c . 图形在图形在 x = a, y = b, z = c 所围成的长所围成的长方体内方体内.2. 2. 对称性对称性: : 图形关于坐标原点、三个坐标轴以图形关于坐标原点、三个坐标轴以及三个坐标面都是对称及三个坐标面都是对称.（直角坐标系下）（直角坐标系下）1PPT课件3. 3. 截截 痕痕 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线（称为交线（称为主截线主截线或或主椭圆主椭圆）：）：,012222 yczax,012222 zbyax,01222
2、2 xczby)0, 0, 0(1222222 cbaczbyax2PPT课件椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与椭球面与平面平面 （ ）的交线为椭圆）的交线为椭圆1zz 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |1)0, 0, 0(1222222 cbaczbyax同理与同理与平面平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.1xx 1yy 3PPT课件abcyx zo4PPT课件椭球面的两种特殊情况：椭球面的两种特殊情况：,)1(ba 1222222 czayax旋转椭球面旋转椭球面12222 czax由椭圆由椭圆 绕绕
3、轴旋转而成轴旋转而成z,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx 方程可写为方程可写为5PPT课件例例 已知椭球面的轴与三坐标轴重合已知椭球面的轴与三坐标轴重合,且通过椭圆且通过椭圆 0116922zyx与点与点M, 求椭球面方程求椭球面方程.)23, 2 , 1(M解解 由椭球面的轴与三坐标轴重合，可设其方程为由椭球面的轴与三坐标轴重合，可设其方程为1222222 czbyax它与它与xOy面的交线是椭圆：面的交线是椭圆： 012222zbyax6PPT课件与已知椭圆与已知椭圆 重合，比较得重合，比较得 0116922zyx.16, 922 ba又因椭球面通过点又
4、因椭球面通过点 ,故故)23, 2 , 1(M.361231649122 cc7PPT课件例例 已知椭球面已知椭球面)( 1222222bacczbyax 求过求过x轴且与椭球面的交线是圆的平面轴且与椭球面的交线是圆的平面.解解 设所求平面方程为设所求平面方程为,kyz 它与椭球面的交线是它与椭球面的交线是(1) ,122222222 kyzycbkbcax8PPT课件如果交线是圆，则圆心是椭球面的对称中心如果交线是圆，则圆心是椭球面的对称中心(0,0,0)， 且圆通过椭球面的顶点且圆通过椭球面的顶点(a,0,0)，(-a,0,0)， 故其方程为故其方程为,2222 kyzazyx(2) 11
5、22222 kyzyakax它与椭球面的交线是它与椭球面的交线是(1) ,122222222 kyzycbkbcax9PPT课件比较比较(1)与与(2), 得得22222221cbkbcak )()(2222222cababck 因此因此,所求平面为所求平面为02222 zcabyabc练习：练习： 习题习题4.4 4.4 3, 4, 5作业：作业： 习题习题4.4 4.4 210PPT课件1. 1. 单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax(2) (2) 对称性对称性: : 图形关于坐标原点、三个坐标轴以图形关于坐标原点、三个坐标轴以及三个坐标面都对称及三个坐标面都对称.(1) (1
6、) 范范 围围: : 12222 byax故曲面在椭圆柱面故曲面在椭圆柱面12222 byax的外部；的外部；4.5 4.5 双曲面双曲面11PPT课件(3) (3) 截截 痕痕用平面用平面 z = z0 截曲面所得截痕为截曲面所得截痕为椭圆椭圆： 022022221zzczbyax1222222 czbyax用平面用平面 y = y0 截曲面所得截痕为：截曲面所得截痕为：这是一条这是一条双曲线（或两条直线）双曲线（或两条直线）. 022022221yybyczax xyoz12PPT课件 截截 痕痕1222222 czbyax用平面用平面 x = x 0 截曲面所得截痕为：截曲面所得截痕为：
7、这是一条这是一条双曲线（或两条直双曲线（或两条直线）线） 022022221xxaxczby xyoz13PPT课件1222222 czbyax2. 2. 双叶双曲面双叶双曲面(2) (2) 对称性对称性: : 图形关于坐标原点、三个坐标轴以图形关于坐标原点、三个坐标轴以及三个坐标面都对称及三个坐标面都对称.(1) (1) 范范 围围: : 22222211zxycab 故曲面在两平行平面故曲面在两平行平面zc 的外部；的外部；14PPT课件1222222 czbyaxxyo(3) (3) 截截 痕痕15PPT课件例例 用一组平行平面用一组平行平面 z=h (h为任意参数为任意参数) 截割截割
8、 单叶双曲面单叶双曲面得一族椭圆得一族椭圆, 求这族椭圆焦点的轨迹求这族椭圆焦点的轨迹.解解 这族椭圆的方程为这族椭圆的方程为 hzchbyax2222221)( 1222222baczbyax .1)1()1(22222222 hzchbychax16PPT课件ba ，短短半半轴轴为为，椭椭圆圆的的长长半半轴轴为为22221 1chbcha 2222()(1),0, )habhc椭圆焦点的坐标为： 0122222yczbax练习：练习： 习题习题4.5 4.5 3作业：作业： 习题习题4.5 2,4,54.5 2,4,517PPT课件练习练习 已知已知 a b c 0，讨论，讨论 k 的不同
9、取值时方程的不同取值时方程的图像的图像.222( - )()()1a k xbk yck z答案答案 k = a ： 空集空集c k b ： 单叶双曲面单叶双曲面b k 0 且且 q 0 , 则则 图形在图形在 xOy 平面上方，否则在平面上方，否则在 xO y 平面下方平面下方.(2) (2) 对称性对称性: : 图形关于图形关于z 轴、轴、yOz 平面、平面、xOz 平面平面对称对称.4.6 4.6 抛物面抛物面1. 1. 椭圆抛物面椭圆抛物面19PPT课件(3) (3) 截截 痕痕qypxz2222 用坐标面用坐标面 xOy (z = 0) 与曲面相截与曲面相截截得一点，即坐标原点截得一
10、点，即坐标原点)0 , 0 , 0(O设设0, 0 qp坐标原点也叫椭圆抛物面的坐标原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.xyzo不相交不相交. .用平面用平面1zz )0(1 z去截去截20PPT课件qypxz2222 设设0, 0 qp用平面用平面 去截去截1zz 11212122zzqzypzx)0(1 zxyzo交线为椭圆交线为椭圆. .21PPT课件用坐标面用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz 022ypzx截得抛物线截得抛物线qypxz2222 设设0, 0 qp用平面用平面 去截去截1yy 121222yyqyzpxxyzo交线为抛物线交线为抛物线.22PPT课件用坐标面用坐标
11、面 与曲面相截与曲面相截)(0 xyOz1xx 均可得抛物线均可得抛物线.同理同理: : 当当 时时可类似讨论可类似讨论.0, 0 qpqypxz2222 设设0, 0 qpxyzo23PPT课件zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下椭圆抛物面的图形如下：0, 0 qp0, 0 qp24PPT课件特殊地：特殊地：当当 时，方程变为时，方程变为qp zpypx 2222旋转抛物面旋转抛物面)0( p（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕绕 z 轴旋轴旋转而成）转而成）xozpzx22 25PPT课件(1) (1) 范围范围: : x, y, z R, 曲面可向各方向无限延伸曲面可向各方向无限延伸.
12、(2) (2) 对称性对称性: : 图形关于图形关于z 轴、轴、yOz 平面、平面、xOz 平面平面对称对称.,2222qypxz2. 2. 双曲抛物面双曲抛物面（ 与与 同号）同号）pq26PPT课件(3) (3) 截截 痕痕用平面用平面 z = z0 (z0 0) 截曲面所得截痕为截曲面所得截痕为双曲线双曲线00202122zzqzypzx,2222qypxz（ 与与 同号）同号）pqxyzo27PPT课件 截截 痕痕 用平面用平面 x = x0与与 y = y0 截曲面所得截痕为截曲面所得截痕为抛物线抛物线 022022xxqypxz 020222yyqypxz,2222qypxz（ 与与 同号）同号）pq28PPT课件解解 两曲面的交线为两曲面的交线为例例 求球面求球面 与旋转抛物面与旋转抛物面 的交线的交线.8222 zyxzyx222 8222 zyx zyxzyx28222220822 zz2(4 zz或或舍去）舍去） 28222zzyx 2422zyx作业：作业： 习题习题4.6 1 4.6 1 练习：练习： 习题习题4.6 4.6 2(1)29PPT课件
