1、12.32.3逻辑函数表达式的形式及变换逻辑函数表达式的形式及变换2逻辑函数的建立逻辑函数的建立 将真值表中使每个输出变量值为将真值表中使每个输出变量值为1时对应的一组输入变量组合以时对应的一组输入变量组合以逻辑乘（与运算）形式表示（其中在输入变量组合中，用原变量表逻辑乘（与运算）形式表示（其中在输入变量组合中，用原变量表示变量取值示变量取值1，用反变量表示变量取值，用反变量表示变量取值0），再将所有使输出变量值），再将所有使输出变量值为为1的逻辑乘项进行逻辑加（或运算），即得到输出变量的逻辑函数的逻辑乘项进行逻辑加（或运算），即得到输出变量的逻辑函数表达式。表达式。 例1.两个单刀双掷开关A
2、、B，分别安装在楼上和楼下。上楼之前在楼下开灯，上楼后关灯；反之下楼之前在楼上开灯，下楼后关灯。试建立其逻辑函数式。 3例例2 有有X、Y、Z三个输入变量，当其中两个或两个以上取值三个输入变量，当其中两个或两个以上取值为为1时，输出时，输出F为为1；其余输入情况输出均为；其余输入情况输出均为0。试写出描述。试写出描述此问题的逻辑函数表达式。此问题的逻辑函数表达式。 解：三个输入变量有解：三个输入变量有23=8种不同组合，根据已知条种不同组合，根据已知条件可得真值表如件可得真值表如 下：下： 由真值表可知，使由真值表可知，使F=1的输入变量组合有的输入变量组合有4个，所以个，所以F的与的与或表达
3、或表达式为：式为： XYZZXYZYXYZXF42.3.1 逻辑函数表达式的基本形式逻辑函数表达式的基本形式四种表示方法四种表示方法逻辑代数式逻辑代数式 (逻辑表示式逻辑表示式, 逻辑函数式逻辑函数式)11&1ABY 逻辑电路图逻辑电路图:卡诺图卡诺图n2n个输入变量个输入变量 种组合种组合。真值表：真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。一一对应列出的表格。BABAF 5将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。 n个变量可以有个变量可
4、以有2n个输入状态。个输入状态。A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 (1) 真值表真值表列真值表的方法：列真值表的方法：一般按一般按二进制的顺序，输出与二进制的顺序，输出与输入状态一一对应，列输入状态一一对应，列出所有可能的状态。出所有可能的状态。ABCCABCBAF6(2) 逻辑函数式逻辑函数式一、逻辑代数式：一、逻辑代数式：把逻辑函数的输入、输出关系写成与、把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式。也称为逻辑函数式，一或、非等逻辑运算的组合式。也称为逻辑函数式，一个
5、逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非与非-与非表达式、或非与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式或非表达式、与或非表达式5种表示形式。种表示形式。（1）与或表达式：ACBAY（2）或与表达式：Y)(CABA（3）与非-与非表达式：Y ACBA（4）或非-或非表达式：YCABA（5）与或非表达式：YCABA7逻辑函数表达式的两种基本形式逻辑函数表达式的两种基本形式 两种基本形式：指两种基本形式：指“与与-或或”表达式和表达式和“或或-与与”表达式。表达式。 一、一、“与与-或或”表达式表达式 “与与-或或”表达式：是指由若干表达式
6、：是指由若干“与项与项”进行进行“或或”运算构成的表达式。运算构成的表达式。每个每个“与项与项”可以是单个可以是单个变量的原变量或反变量，也可以由多个原变量或者反变量变量的原变量或反变量，也可以由多个原变量或者反变量相相“与与”组成。组成。 例如，例如， 均为均为“与项与项”，将这，将这3个个“与项与项”相相“或或”便可构成一个便可构成一个3变量函数的变量函数的“与或与或”表达式。即表达式。即 CCBABA、CCBABAF “与项与项”有时又被称为有时又被称为“积项积项”，相应地，相应地“与与-或或”表达表达式又称为式又称为“积之和积之和”表达式。表达式。 8二、二、“或或-与与”表达式表达式
7、 C)DB)(ACB)(BA(D)C,B,F(A, “或或-与与”表达式：是指由若干表达式：是指由若干“或项或项”进行进行“与与”运算构成的表达式。运算构成的表达式。 每个每个“或项或项”可以是单个变量的原变量或者反变量，可以是单个变量的原变量或者反变量，也可以由多个原变量或者反变量相也可以由多个原变量或者反变量相“或或”组成。组成。 例如，例如， 、 、 、D 均为均为“或项或项”，将这将这4个个“或项或项”相相“与与”便可构成一个便可构成一个4变量函数的变量函数的“或或-与与”表达式。即表达式。即BA CB CBA “或项或项”有时又被称为有时又被称为“和项和项”，相应地，相应地“或或与与
8、”表达式又称为表达式又称为“和之积和之积”表达式。表达式。 9 该逻辑函数是该逻辑函数是“与与或或”式？式？不是！不是！是是“或或与与”式？式？也不是！也不是！但不论什么形式都可以变换成两种基但不论什么形式都可以变换成两种基本形式。本形式。 逻辑函数表达式可以被表示成任意的混合形式。逻辑函数表达式可以被表示成任意的混合形式。例如，例如， B)CBC)(AB(AC)B,F(A,10通常采用通常采用“与或与或”或或“或与或与”的形式。的形式。一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻管一个逻辑函数表达式的各种表示
9、形式不同，但逻辑功能是相同的。辑功能是相同的。例：例：ABCCBACBACBACBAF )()()()(CBACBACBACBACBAF 112.3.2 逻辑函数表达式的标准形式逻辑函数表达式的标准形式 逻辑函数的两种基本形式都不是唯一的。逻辑函数的两种基本形式都不是唯一的。例如例如 为了在逻辑问题的研究中使逻辑功能能和唯一的为了在逻辑问题的研究中使逻辑功能能和唯一的逻辑表达式对应，引入了逻辑函数表达式的标准形逻辑表达式对应，引入了逻辑函数表达式的标准形式。逻辑函数表达式的标准形式是建立在最小项和式。逻辑函数表达式的标准形式是建立在最小项和最大项概念的基础之上的。最大项概念的基础之上的。 CA
10、ABBCCAABF12一、最小项和最大项一、最小项和最大项 (1) 定义：定义：如果一个具有如果一个具有n个变量的函数的个变量的函数的“与项与项”包含全部包含全部n个变量，每个变量都以原变量或反变量个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现一次，且仅出现一次，则该形式出现一次，且仅出现一次，则该“与项与项”被称被称为为最小项。最小项。有时又将最小项称为有时又将最小项称为标准标准“与项与项”。 1最小项最小项 (2) 最小项的数目：最小项的数目：n个变量可以构成个变量可以构成2n个最小项。个最小项。 例 如 ，例 如 ， 3 个 变 量个 变 量 A 、 B 、 C 可 以 构可 以 构成成 、
11、 、 、 A B C共共8个最小项。个最小项。 CBACBA13最小项最小项（以三变量的逻辑函数为例）以三变量的逻辑函数为例）具有以下特点的具有以下特点的乘积项：乘积项：1、每项只有三个因子；、每项只有三个因子；2、每个变量、每个变量都是它的因子；都是它的因子；3、每一变量以原变量或反变量、每一变量以原变量或反变量形式出现且仅出现一次。形式出现且仅出现一次。A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 CBACBACBABCACBACBACABABC变量赋值为变量赋值为1时用该变时用该变量表示；变量赋值为量表示；变量赋值为0时用该变
12、量的反来表时用该变量的反来表示。示。输入变量的八种状态输入变量的八种状态分别唯一地对应着八分别唯一地对应着八个最小项，个最小项， n个变量个变量共有共有2n个最小项个最小项14 （3）简写：）简写：用用mi表示最小项。表示最小项。 下标下标i的取值规则是：的取值规则是：按照变量顺序将最小项按照变量顺序将最小项中的原变量用中的原变量用1表示，反变量用表示，反变量用0表示，由此得到表示，由此得到一个二进制数，与该二进制数对应的十进制数即一个二进制数，与该二进制数对应的十进制数即下标下标i的值。的值。 例如，例如，3变量变量A、B、C构成的最小项构成的最小项 可可用用 m5 表示。因为表示。因为 m
13、5 (5)10 101ACBCBA15三个变量的所有最小项的真值表三个变量的所有最小项的真值表 m0m7为对最小项的编号为对最小项的编号 A B C m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 CBACBACBABCACBACBACABABC1
14、6 在由在由n个变量构成的任意个变量构成的任意“与项与项”中，最小项中，最小项是使其值为是使其值为1的变量取值组合数最少的一种的变量取值组合数最少的一种“与项与项”，这也就是最小项名字的由来。这也就是最小项名字的由来。 （4） 性质性质: 最小项具有如下四条性质。最小项具有如下四条性质。 性质性质1: 任意一个最小项，其相应变量有且仅有任意一个最小项，其相应变量有且仅有一种取值使这个最小项的值为一种取值使这个最小项的值为1。并且，最小项不同，。并且，最小项不同，使其值为使其值为1的变量取值不同。的变量取值不同。 17 性质性质3： n个变量的全部最小项相个变量的全部最小项相“或或”为为1。 通
15、常借用数学中的累加符号通常借用数学中的累加符号“”，将其记为，将其记为1n20i1mi 性质性质2： 相同变量构成的两个不同最小项相相同变量构成的两个不同最小项相“与与” 为为0。 因为任何一种变量取值都不可能使两个不同最小项同因为任何一种变量取值都不可能使两个不同最小项同时为时为1，故相，故相“与与”为为0。 即即 mi mj = 0 性质性质4： n个变量构成的最小项有个变量构成的最小项有n个相邻最小项。个相邻最小项。 相邻最小项：相邻最小项：是指除一个变量互为相反外，其余部分均是指除一个变量互为相反外，其余部分均相同的最小项。例如相同的最小项。例如 ，三变量最小项，三变量最小项A B C
16、和和 相邻相邻 。 BCA18逻辑相邻：逻辑相邻：若两个最小项只有一个变量以原、反区若两个最小项只有一个变量以原、反区别，其他变量均相同，则称这两个最小项逻辑别，其他变量均相同，则称这两个最小项逻辑相邻。相邻。 逻逻辑辑相相邻邻；与与例例：BCACBAA B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 CBACBACBABCACBACBACABABC不不是是逻逻辑辑相相邻邻。与与CBACBA19ABCCBACBACBACBAF 逻辑相邻逻辑相邻CBCBACBA 逻辑相邻的项可以逻辑相邻的项可以合并，消去
17、一个因子合并，消去一个因子20最小项：最小项：与项中包含了全部的输入逻辑变与项中包含了全部的输入逻辑变量，每个输入逻辑变量在与项中可以以原量，每个输入逻辑变量在与项中可以以原变量的形式出现，也可以以反变量的形式变量的形式出现，也可以以反变量的形式出现，且只出现一次。又称为标准与项。出现，且只出现一次。又称为标准与项。21最小项已包含了所有的输入变量，不可能再分解。最小项已包含了所有的输入变量，不可能再分解。例如：例如：对于三变量的对于三变量的逻辑函数，如果某逻辑函数，如果某一项的变量数少于一项的变量数少于3 3个，则该项可继续个，则该项可继续分解；若变量数等分解；若变量数等于于3 3个，则该项
18、不能个，则该项不能继续分解。继续分解。CBACABCBAABCCCBBAA )(CBACBACBABCACBACBACABABCA B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 22根据最小项的特点，从真值表可直接用最小项根据最小项的特点，从真值表可直接用最小项写出逻辑函数式。写出逻辑函数式。A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 CBACBACBABCACBACBACABABC例如：例如：由左图所示三由左图所示三变量逻辑函数的真值变
19、量逻辑函数的真值表，可写出其逻辑函表，可写出其逻辑函数式：数式：ABCCABCBAF 验证：验证：将八种输入状态将八种输入状态代入该表示式，均满代入该表示式，均满足真值表中所列出的足真值表中所列出的对应的输出状态。对应的输出状态。23 逻辑函数的最小项表示式：逻辑函数的最小项表示式：利用逻辑代数的利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一组最小基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一组最小项之和，称为最小项表达式。项之和，称为最小项表达式。 例例 1：CAABY)7,6,3,1()()(1367immmmmCBABCACABABCBBCACCABCAABYii24例例 2： ikkmYAB
20、CBAABY)()7 , 6 , 5 , 3()()()(6753immmmmCABABCCBABCAABCBABAABCBABAABCBAABABCBAABABCBAABYii25 (2) 数目：数目：n个变量可以构成个变量可以构成2n 个最大项。个最大项。 例如，例如，3个变量个变量A、B、C可构成可构成 、 、 、 共共8个最大项。个最大项。 CBACBACBA (1) 定义：定义：如果一个具有如果一个具有n个变量函数的个变量函数的“或项或项”包含全部包含全部n个变量，每个变量都以原变量或反变量个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现一次，且仅出现一次，则该形式出现一次，且仅出现一次，
21、则该“或项或项”被称被称为最大项。有时又将最大项称为标准为最大项。有时又将最大项称为标准“或项或项”。 2 最大项最大项26最大项最大项 具有以下特点的标准和之积项：具有以下特点的标准和之积项：1、每项都包、每项都包含了函数的全部变量；含了函数的全部变量；2、每一变量以原变量或、每一变量以原变量或反变量形式出现且仅出现一次。反变量形式出现且仅出现一次。A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 CBACBACBACBACBACBACBACBA变量赋值为变量赋值为0时用该变时用该变量表示；变量赋值为量表示；变量赋值为1时用该变量的反
22、来表时用该变量的反来表示。示。输入变量的八种状态输入变量的八种状态分别唯一地对应着八分别唯一地对应着八个最大项，个最大项， n个变量个变量共有共有2n个最大项个最大项27 （3）简写：用）简写：用Mi表示最大项。表示最大项。 下标下标i的取值规则是的取值规则是：将最大项中的原变量用：将最大项中的原变量用0表表示，反变量用示，反变量用1表示，由此得到一个二进制数，与该表示，由此得到一个二进制数，与该二进制数对应的十进制数即下标二进制数对应的十进制数即下标 i 的值。例如，的值。例如，3变变量量A、B、C构成的最大项构成的最大项 可用可用 M5 表示。表示。因为因为 M5 (5)10 10 1CB
23、ACBA28三个变量的所有最大项的真值表三个变量的所有最大项的真值表 M0M7为对最大项的编号为对最大项的编号 29（4）性质：）性质：最大项具有如下四条性质。最大项具有如下四条性质。 性质性质1 任意一个最大项，其相应变量有且仅有任意一个最大项，其相应变量有且仅有一种取值使这个最大项的值为一种取值使这个最大项的值为0。并且，最大项不同，。并且，最大项不同，使其值为使其值为0的变量取值不同。的变量取值不同。 在在n个变量构成的任意个变量构成的任意“或项或项”中，最大项是中，最大项是使其值为使其值为1的变量取值组合数最多的一种的变量取值组合数最多的一种“或项或项”，因而将其称为因而将其称为最大项
24、。最大项。 30 性质性质2 相同变量构成的两个不同最大项相相同变量构成的两个不同最大项相“或或”为为1。因为任何一种变量取值都不可能使两个不同最。因为任何一种变量取值都不可能使两个不同最大项同时为大项同时为0，故相，故相“或或”为为1。 即即 M i + M j = 1 性质性质3 n个变量的全部最大项相个变量的全部最大项相“与与”为为0。通。通常借用数学中的累乘符号常借用数学中的累乘符号“”将其记为将其记为 性质性质4 n个变量构成的最大项有个变量构成的最大项有n个相邻最大项。个相邻最大项。相邻最大项是指除一个变量互为相反外，其余变量相邻最大项是指除一个变量互为相反外，其余变量均相同的最大
25、项。均相同的最大项。 1200niiM31最大项最大项：或项中包含了全部的输入逻辑或项中包含了全部的输入逻辑变量，每个输入逻辑变量在或项中可以变量，每个输入逻辑变量在或项中可以以原变量的形式出现，也可以以反变量以原变量的形式出现，也可以以反变量的形式出现，且只出现一次。这种包含的形式出现，且只出现一次。这种包含所有输入逻辑变量的或项称为最大项所有输入逻辑变量的或项称为最大项（或标准或项）。（或标准或项）。 32根据最大项的特点，从真值表可直接用最大项根据最大项的特点，从真值表可直接用最大项写出逻辑函数式。写出逻辑函数式。CBACBACBACBACBACBACBACBAA B C F 0 0 0
26、 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 )()()()(CBACBACBACBACBAF33通过比较可以发现通过比较可以发现相同编号的最小项和最大项之相同编号的最小项和最大项之间存在互补关系，即：间存在互补关系，即：所以：所以： mi+Mi=1 miMi=0 列出函数列出函数F F的真值表及其最小项和最大项代号如下表。的真值表及其最小项和最大项代号如下表。 343最小项和最大项的关系最小项和最大项的关系 （1）mi和和Mi互补，即互补，即 ； 例如：例如： 则则 则则（2）以）以m个最小项之和表示的一个个最小项之和表
27、示的一个n变量的变量的逻辑函数逻辑函数F，其反函数，其反函数 可用可用m个最大项之个最大项之积表示，这积表示，这m个最大项的下角标与个最大项的下角标与m个最小个最小项的下角标恰好完全一样；项的下角标恰好完全一样； 例如例如 iiiimM,Mm BAm 000)(MBABAm BAM 000mBABAM F mF)7 , 4 , 3 , 2( 74327432mmmmmmmmF MMMMM)7 , 4 , 3 , 2(743235)7 , 6 , 3 , 1 (),(mCBABCACABABCCBAF)5 , 4 , 2 , 0(),(mCBACBACBACBACBAF54205420),(),
28、(mmmmmmmmCBAFCBAFCBACBACBACBA)()()(CBACBACBACBAF（A，B，C）=m（1，3，6，7）=M（0，2，4，5） )5 ,4,2,0(M36 推广到一般情况，同一逻辑函数从一种标准形推广到一般情况，同一逻辑函数从一种标准形式变换为另一种标准形式时，式变换为另一种标准形式时，只需将只需将mm和和MM符符号互换，并在其后的括弧中填入原标准形式缺少号互换，并在其后的括弧中填入原标准形式缺少的数字即可。的数字即可。如：F（A，B，C，D）=m（1，3，6，7，11，12，14） =M（0，2，4，5，8，9，10，13，15）37 综合举例综合举例例例1. 1
29、. 如果逻辑函数如果逻辑函数F F（A A，B B，C C，D D）= =m m（1 1，4 4，9 9，1212），），G G（A A，B B，C C，D D）= =M M（1 1，4 4，9 9，1212），求），求F+G=F+G=？解：解：F F和和G G是具有相同变量个数的两个函数，是具有相同变量个数的两个函数，F F（A A，B B，C C，D D）= =m m（1 1，4 4，9 9，1212）意味着）意味着ABCDABCD取值取值00010001、01000100、10011001、11001100时时F F的值为的值为1 1，否则，否则F F的值的值为为0 0。G G（A A，
30、B B，C C，D D）= =M M（1 1，4 4，9 9，1212）意味着）意味着ABCDABCD取值取值00010001、01000100、10011001、11001100时时G G的值为的值为0 0，否则否则G G的值为的值为1 1。由此可见，。由此可见，F F和和G G互为反函数。所互为反函数。所以以 F+G=1F+G=138)7 , 4 , 2 , 0(),(mCBAF所以：所以：CBABCACBAABCCBAF ),( =m（0，3，5，7） =M（1，2，4，6） )7 , 4 , 2 , 0(),(MCBAF)()()(CBACBACBACBA因为：因为：解：由F（A，B，
31、C）=M（0，2，4，7）可直接求出其反函数但不能导出F（A，B，C）=m（0，2，4，7）。例例2. 2. 已知逻辑函数已知逻辑函数F F（A A，B B，C C）= =M M（0 0，2 2，4 4，7 7），求其对偶函数的最小项表达式和最大项表达），求其对偶函数的最小项表达式和最大项表达式。式。39二、逻辑函数表达式的标准形式二、逻辑函数表达式的标准形式 逻辑函数表达式的标准形式有逻辑函数表达式的标准形式有标准标准“与与-或或”表表达式达式和和标准标准“或或-与与”表达式表达式两种类型。两种类型。 1标准标准“与与 - 或或”表达表达式式 由若干最小项相由若干最小项相“或或”构成的逻辑表
32、达式称为标准构成的逻辑表达式称为标准“与与-或或”表达式，也叫做最小项表达式。表达式，也叫做最小项表达式。 该函数表达式又可简写为该函数表达式又可简写为 F(A，B，C) = m1 + m2 + m4 + m7 = m(1,2,4,7) 例如，如下所示为一个例如，如下所示为一个3变量函数的标准变量函数的标准“与与-或或”表表达式达式 ABCCBACBACBAC)B,F(A,402标准标准“或或-与与”表达表达式式 由若干最大项相由若干最大项相“与与”构成的逻辑表达式称为标准构成的逻辑表达式称为标准“或或-与与”表达式，也叫做最大项表达式表达式，也叫做最大项表达式 。CBA 例如，例如， 、 、
33、 为为3变量构成的变量构成的3个最大项，对这个最大项，对这3个最大项进行个最大项进行“与与”运算，即可得到一个运算，即可得到一个3变量函数的标准变量函数的标准“或或-与与”表达式表达式 CBACBA)CBA)(CBA)(CB(AC),B,F(A 该表达式又可简写为该表达式又可简写为 M(1,5,7)MMMC)B,F(A,751412.3.3 逻辑函数表达式的转换逻辑函数表达式的转换 将一个任意逻辑函数表达式转换成标准表达式有两种将一个任意逻辑函数表达式转换成标准表达式有两种常用方法，常用方法，一种是代数转换法，另一种是真值表转换法。一种是代数转换法，另一种是真值表转换法。 一、代数转换法一、代
34、数转换法 1 . 求标准求标准“与与-或或” 式式 一般步骤如下：一般步骤如下： 第一步：第一步：将函数表达式变换成一般将函数表达式变换成一般“与与-或或”表达式。表达式。 第二步：第二步：反复使用反复使用 将表达式中所有非最将表达式中所有非最小项的小项的“与项与项”扩展成最小项。扩展成最小项。 )YX(YX 所谓代数转换法，就是利用逻辑代数的公理、定理和规所谓代数转换法，就是利用逻辑代数的公理、定理和规则进行逻辑变换，将函数表达式从一种形式变换为另一种形则进行逻辑变换，将函数表达式从一种形式变换为另一种形式。式。 42 第二步：第二步：把把“与与-或或”式中非最小项的式中非最小项的“与项与项
35、”扩展成扩展成最小项。具体地说，若某最小项。具体地说，若某“与项与项”缺少函数变量缺少函数变量Y，则用，则用( )和这一项相与，并把它拆开成两项。即和这一项相与，并把它拆开成两项。即 YY 例如，例如，将逻辑函数表达式将逻辑函数表达式 转转换成标准换成标准“与与-或或”表达式。表达式。 AB)CBB(AC)B,F(A,C)C( ABA)BCA(B)BC(AC)C(BAC)B,F(A,ABCC ABABCBCABCACBACBACBAABCCABBCACBACBA 解解 第一步：第一步：将函数表达式变换成将函数表达式变换成“与与-或或”表达式。表达式。即即ABCBBAABC)BB)(A(ABBC
36、CABAAB)CBB(A C)B,F(A,43 所得标准所得标准“与与-或或”式的简写形式为式的简写形式为 当给出函数表达式已经是当给出函数表达式已经是“与与-或或”表达式时，可直接表达式时，可直接进行第二步。进行第二步。 2 . 求一个函数的标准求一个函数的标准“或或-与与” 式式 一般步骤：一般步骤： 第一步：第一步：将函数表达式转换成一般将函数表达式转换成一般“或或-与与”表达式。表达式。 第二步：第二步：反复利用定理反复利用定理 把表达式中把表达式中所有非最大项的所有非最大项的“或项或项”扩展成最大项。扩展成最大项。 )BB)(A(AA76310mmmmmC)B,F(A,)(0,1,3
37、,6,7m44 解解 第一步：第一步：将函数表达式变换成将函数表达式变换成“或或-与与”表达式。即表达式。即 例如，例如，将逻辑函数表达式将逻辑函数表达式 变变换成标准换成标准“或或-与与”表达式。表达式。 CBC)A(ABC)B,F(A,CBC)A(ABC)B,F(A,CBCAABCB)C(AB)A(C)C)(ABA(B)C)(ABA(C)CC)(ABA)(BC)(ABBA(C)BA)(CB)(ABA(=145 第二步：第二步：将所得将所得“或或-与与”表达中的非最大项扩展成最表达中的非最大项扩展成最大项。即大项。即 当给出函数已经是当给出函数已经是“或或-与与”表达式时，可直接进行第表达式
38、时，可直接进行第二步。二步。 该标准该标准“或或-与与”表达式的简写形式为表达式的简写形式为 M(3,6,7)MMMC)B,F(A,763C)BA)(CB)(ABA(C)B,F(A,C)BA)(CBC)(ABA)(CBA()CBAC)(BA)(CB(A46二、真值表转换法二、真值表转换法 具体：具体：真值表上使函数值为真值表上使函数值为1的变量取值组合的变量取值组合对应的最小项相对应的最小项相“或或”,即可构成一个函数的标准即可构成一个函数的标准“与与-或或”式式 。 逻辑函数的最小项表达式与真值表具有一一对应的关系。逻辑函数的最小项表达式与真值表具有一一对应的关系。 因此，可以通过函数的真值
39、表写出最小项表达式。因此，可以通过函数的真值表写出最小项表达式。 1 . 求标准求标准“与与-或或” 式式47 解解: 首先，列出首先，列出F的真值表如下表所示，然后，根据真值的真值表如下表所示，然后，根据真值表可直接写出表可直接写出F的最小项表达式的最小项表达式 m(2,4,5,6)C)B,F(A,1 0 1 1 0 1 1 0 A B C F 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 函数函数 的真值表的真值表 CBBAC)B,F(A,)6 , 5 , 4 , 2(),(mCBAF 例如，例如，将函数表达式将函数表达式 变换成标准变换成
40、标准“与与-或或”表达式。表达式。 CBBAC)B,F(A,48 具体：具体：真值表上使函数值为真值表上使函数值为0的变量取值的变量取值组合对应的最大项相组合对应的最大项相“与与”即可构成一个函即可构成一个函数的标准数的标准“或或-与与”式式 。 2 . 求一个函数的标准求一个函数的标准“或或-与与” 式式 逻辑函数的最大项表达式与真值表之间同样具逻辑函数的最大项表达式与真值表之间同样具 有一一对应的关系。有一一对应的关系。 49 解：首先，列出解：首先，列出F的真值表如下表所示。然后，根据真的真值表如下表所示。然后，根据真值表直接写出值表直接写出F的最大项表达式的最大项表达式 )7 , 6
41、, 5 , 2 , 0(),(MCBAF) 7 , 6 , 5 , 2 , 0 (),(MCBAFCBACAC)B,F(A, 函数函数 的真值表的真值表 1 0 1 0 0 1 1 1 A B C F 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 例如，将函数表达式例如，将函数表达式 表示成最表示成最大项表达式的形式。大项表达式的形式。 CBACACBAF),(50 由于函数的真值表与函数的两种标准表达式由于函数的真值表与函数的两种标准表达式之间存在一一对应的关系，而任何个逻辑函数的之间存在一一对应的关系，而任何个逻辑函数的真值表是唯一的，可见
42、，真值表是唯一的，可见，任何一个逻辑函数的两任何一个逻辑函数的两种标准形式也是唯一的。种标准形式也是唯一的。 逻辑函数表达式的唯一性给我们分析和研究逻辑函数表达式的唯一性给我们分析和研究逻辑问题带来了很大的方便。逻辑问题带来了很大的方便。 51一、卡诺图的构成一、卡诺图的构成 卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表一卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表一个最小项，故又称为最小项方格图。个最小项，故又称为最小项方格图。 结构特点：结构特点： (1) n个变量的卡诺图由个变量的卡诺图由2n个小方格构成个小方格构成,每个小每个小方格代表一个最小项；方格代表一个最小项； (2) 几何图形上处在几何图
43、形上处在相邻、相对、相重相邻、相对、相重位置的小位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。方格所代表的最小项为相邻最小项。 卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的，但任卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的，但任何一种排列方案都必须具备以上特点。何一种排列方案都必须具备以上特点。 （3） 卡诺图卡诺图52 2变量、变量、3变量、变量、4变量卡诺图如图变量卡诺图如图(a)、(b)、(c)所示。所示。m3 m1 m2 m0 AB0110( a ) 0m5m4m7m6m3 m1 m2 m0 100011110ABC( b ) m10m14m6m2m11m15m7m3m9m8m13m12m5 m1 m4 m0
44、00011110ABCD00011110( c ) 53卡诺图的特点：卡诺图的特点：图中各方格对应于各变量不同图中各方格对应于各变量不同的组合，且不同的各行或各列上下左右相邻的组合，且不同的各行或各列上下左右相邻的方格内只有一个因子不同，即卡诺图呈现的方格内只有一个因子不同，即卡诺图呈现循环邻接的特点。循环邻接的特点。54 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0AB01010111输出变量输出变量Y的值的值输入变量输入变量例例1：已知逻辑函数画卡诺图：已知逻辑函数画卡诺图：先将逻辑函数化为最先将逻辑函数化为最小项之和，然后在卡诺图中将最小项表达式小项之和，然后在卡诺图中将最
45、小项表达式的各项对应的方格内填入的各项对应的方格内填入1，其余方格填，其余方格填0。BABABAY55例例 2：89101115461mmmmmmmmDCBADCBADCBACDBACDBAABCDDCBADBCADCBABAACDDBADCBAY56 由卡诺图写逻辑函数：由卡诺图写逻辑函数：只要将卡诺图中方只要将卡诺图中方格为格为1的最小项逻辑相加就可得到相应的逻的最小项逻辑相加就可得到相应的逻辑函数式辑函数式ABCCBACBAY57(4) 逻辑图逻辑图把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来，就构成了逻辑图。出来，就构成了逻辑图。&AB&CD 1FF=A
46、B+CD58逻辑函数四种表示方式的相互转换逻辑函数四种表示方式的相互转换一、逻辑电路图一、逻辑电路图逻辑代数式逻辑代数式BABY=A B+ABA BA1&AB&1159 二、真值表二、真值表卡诺图卡诺图 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0二变量卡诺图二变量卡诺图真值表真值表AB1010111060三、真值表、卡诺图三、真值表、卡诺图逻辑代数式逻辑代数式方法：方法：将真值表或卡诺图中为将真值表或卡诺图中为1的的项相加，写成项相加，写成 “与或式与或式”。 真值表真值表 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0AB0 1010111AB此逻辑代数式并非是最简单的形式，实际上此真此逻辑代数式并非是最简单的形式，实际上此真值表是与非门的真值表，其逻辑代数式为值表是与非门的真值表，其逻辑代数式为Y=AB因此，有一个化简问题。因此，有一个化简问题。ABABBABABAY
