1、 24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径（ 第第1课时）课时） 难点：垂径定理及其推论的题设和难点：垂径定理及其推论的题设和 结论的区分结论的区分 知识点知识点: 1.圆的对称性圆的对称性 2.垂径定理及其推论垂径定理及其推论重点：垂径定理及其推论重点：垂径定理及其推论 赵州桥是赵州桥是13001300多年前我国隋代建造的石拱桥多年前我国隋代建造的石拱桥, , 是我国古是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧弧所对的弦的长所对的弦的长) )为为37.437.4m m, , 拱高拱高( (弧的中点到弦的距离弧的中点到弦
2、的距离) )为为7.27.2m m. . 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ 实践探究实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴它的对称轴观察并回答观察并回答 （1）两条直径）两条直径AB、CD，CD平分平分AB吗？吗？（2）若把直径）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，向下平移，变成非直径的弦，弦弦AB是否一定被直径是否一定被直径CD平分？平
3、分？?A?D?O?C?B?A?D?O?C?B思考并猜想：思考并猜想：当非直径的弦当非直径的弦AB与直径与直径CD有什么位置关系有什么位置关系时，弦时，弦AB有可能被直径有可能被直径CD平分？平分？如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E，沿着直径，沿着直径CD折一折一折，你能发现图中有那些相等的线段和弧？折，你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？为什么？OABCDE活活 动动 三三 线段：线段： AE=BE?AC=BC?AD=BD.弧：弧：OABCDE垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且
4、平分弦所对的两条弧转化为数学符号转化为数学符号：?AE=BE,?CD是直径，是直径，AB是弦是弦CDAB可推得可推得 ?AC=BC,?AD=BD.定理理解：定理理解：已知已知直径垂直弦直径垂直弦结论结论直径平分弦、平分弦所对的弧直径平分弦、平分弦所对的弧OABCDE垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧即直径即直径CD垂直于弦垂直于弦AB，平分弦，平分弦AB,并且平分并且平分AB及及ACBAM=BM,n由由?CD是
5、直径是直径?CDAB可推得可推得?.?,CDAB,n由由?CD是直径是直径?AM=BM?,?,可推得可推得垂径定理：垂径定理：推论：推论：几何语言表述几何语言表述AC=BCAD=BDAC=BCAD=BD“知二推三知二推三” (1)垂直于弦垂直于弦 (2)过圆心过圆心 (3)平分弦平分弦 (4)平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧判断下列图形，能否使用判断下列图形，能否使用垂径定理垂径定理？定理辨析定理辨析EDCOAB?D?C?O?A?B?E E O C D A BECOAB?E?D?O?A?B?E?O?A?B一、判断是非：一、判断是非：（1）平分弦的直径，平
6、分这条弦所对的弧。）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），）一条直线平分弦（这条弦不是直径），?那么这那么这?条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。弦的垂直平分线一定是圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的）平分弧的直线，平分这条弧所对的?弦。弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（7）平分弦的直径垂直于弦）平分弦的直径垂
7、直于弦1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE解：解：OEAB222AOOEAE2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半径为的半径为5cm.118422AEAB 在在Rt AOE 中中 练一练练一练变式：变式：图中两圆为同心圆图中两圆为同心圆变式变式2：隐去（变式：隐去（变式1）中的大圆，得）中的大圆，得右图连接右图连接OA，OB，设，设OA=OB，AC、BD有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？?D?C?O?A?B变式变式3：隐去（变式：隐去（变式1）中的小）中的小圆，得右图，连接
8、圆，得右图，连接OC，OD，设，设OC=OD，AC、BD有什么关系？有什么关系？为什么？为什么？?D?C?O?A?B变式变式1 1：ACAC与与BDBD有什么关系？有什么关系？?D?C?O?A?BPPP2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的两条弦，两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形. OEAC
9、 ODAB M A B O1.1.如图，如图，OO的半径为的半径为5 5，弦，弦ABAB的长为的长为8 8，点，点M M在线段在线段ABAB（包括端点（包括端点A A、B B）上移动，则）上移动，则OMOM的的取值范围是取值范围是_53OM2.如图直径为如图直径为52cm的圆柱体油槽的横截面，的圆柱体油槽的横截面，装入油后，油深装入油后，油深CD为为16cm，那么油面宽，那么油面宽度度AB_cm. A B D C O48问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧
10、是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.437.4m m, , 拱高拱高( (弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离) )为为7.27.2m m，你能求出赵州桥你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ 解得：解得：R279（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2,7.18
11、4.372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在图中在图中如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为半径为R经过圆心经过圆心O 作弦作弦AB 的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与与AB 相交于点相交于点D，根据前面的结论，根据前面的结论，D 是是AB 的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD 就是拱高就是拱高3.如图，已知如图，已知AB是是 O的直径，的直径，弦弦CDAB于点于点E，BE4cm，CD16cm，求，求 O的的半径半径. B A D C O E小小 结结直径平分弦直径平分弦 直径垂直于弦直径垂直于
12、弦=直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦直径垂直于弦 直径平分弦（不是直径）直径平分弦（不是直径）直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧=、圆的轴对称性、圆的轴对称性、垂径定理及其推论的图式 常用辅助线常用辅助线: :垂直于弦的直径垂直于弦的直径4.已知：如图，已知：如图，PAC= 30 ，在，在射线射线AC上顺次截取上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以，以DB为直径作为直径作 O交射交射线线AP于于E、F两点，求圆心两点，求圆心O到到AP的距离及的距离及EF的长。的长。 C B D F E P A OMOABCD（1）.两条弦在圆心的两条弦在圆心的同侧同侧OABCD（2）.
13、两条弦在圆心的两条弦在圆心的两侧两侧4 4、OO的半径为的半径为10cm10cm，弦，弦ABCDABCD， AB=16AB=16，CD=12CD=12，则，则ABAB、CDCD间的间的 距离是距离是_ _ . .2cm或或14cm如图如图,?ABC的三个顶点在的三个顶点在 O上，上，OEAB于于E，OF?AC于于F。求证：求证：EFBC，EF=12BC练习练习OABCEFOEAB E为AB的中点OF AC F为AC的中点 EF为三角形ABC的中位线12BC3、已知：、已知： O中弦中弦ABCD。求证：求证：ACBD证明：作直径证明：作直径MNAB。ABCD，MNCD。则则AMBM，CMDM（垂
14、直平分（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）弦的直径平分弦所对的弦）AMCMBMDMACBD.MCDABON你能讲解你能讲解吗？吗？夹在两条平行弦间的弧相等夹在两条平行弦间的弧相等.你能有一句话概括一下吗？你能有一句话概括一下吗？小结小结:?解决有关弦的问题，经常是过圆心作解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABOABOE)(2650mmOB D)(2600mmEB 油的最大深度油的最大深度ED=ODOE=200(mm)或者油的
15、最大深度或者油的最大深度ED=OD?+?OE=450(mm).(1)?在直径为在直径为650mm650mm的圆柱形油槽内装入一些的圆柱形油槽内装入一些油后油后, ,油面宽油面宽AB=600mm,AB=600mm,求油的最大深度。求油的最大深度。22EBOBOEOE=125(mm)(2)BAOED解：解：如图，某城市住宅社区，在相邻两楼之间修建一个上面是半如图，某城市住宅社区，在相邻两楼之间修建一个上面是半圆，下面是矩形的仿古通道，其中半圆拱的圆心距地面圆，下面是矩形的仿古通道，其中半圆拱的圆心距地面2米，米，半径为半径为1.3米，现有一辆高米，现有一辆高2.5米，宽米，宽2.3米的送家具的卡车
16、，问米的送家具的卡车，问这辆卡车能否通过通道，请说明理由。这辆卡车能否通过通道，请说明理由。O2米1.3米解：如图，用半圆O表示通道上面的半圆，AB为直径，弦CD平行AB，过O作于E，连结OD，据垂径定理知：ABOCDE这辆卡车能通过通道。米米米）（）（米米，中，依题意知：在3 .22.42EDCD7.20.5-1.3ED2.52-2.5OE1.3ODOEDRtCD21CEED22某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、2 m ，过过O 作作OC AB 于于D， 交圆弧于交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘现有一艘宽宽3m，船舱顶部为方形并高出
17、水面（，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO船能过拱桥吗船能过拱桥吗解解: :如图如图, ,用用 表示桥拱表示桥拱, , 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,O,半径为半径为RmRm, ,经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OD,DOD,D为垂足为垂足, ,与与 相交于点相交于点C.C.根根据垂径定理据垂径定理,D,D是是ABAB的中点的中点,C,C是是 的中点的中点,CD,CD就是拱高就是拱高. .由题设得由题设得ABABABAB. 5 . 121, 4 . 2, 2 . 7MNHNCDABABAD21, 6 . 32 . 721DCOCOD. 4 . 2 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4 . 2(6 . 3222RR即解得解得?R=3.9（m）. 在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,22HNONOH. 6 . 35 . 19 . 322OH即. 21 . 25 . 16 . 3DH此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.
