1、.1第四章第四章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 u.2优点优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。普遍。缺点缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。物理概念不如傅氏变换那样清楚。.3本章内容及学习方法本章内容及学习方法 本章首先由本章首先由傅氏傅氏变换引出变换引出拉氏拉氏变换，然后对拉氏变换，然后对拉氏正正变换、拉氏变换、拉氏反反变换及拉氏变换的变换及拉氏变换的性质性质进行讨论。进行讨论。 本章本章重点重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行在于，以拉氏变换为工具对系统进
2、行复频复频域分析域分析。 最后介绍最后介绍系统函数系统函数以及以及H(s)零极点零极点概念，并根据它概念，并根据它们的分布研究们的分布研究系统特性系统特性，分析，分析频率响应频率响应，还要简略介绍，还要简略介绍系统系统稳定性稳定性问题。问题。 注意与傅氏变换的注意与傅氏变换的对比对比，便于理解与记忆。，便于理解与记忆。 .4一从傅里叶变换到拉普拉斯变换一从傅里叶变换到拉普拉斯变换 ttfFF e)(1 ttfttdee)(j : ,)(e ),( 依依傅傅氏氏变变换换定定义义绝绝对对可可积积条条件件后后容容易易满满足足为为任任意意实实数数乘乘以以衰衰减减因因子子信信号号 ttf 称称为为复复频
3、频率率。具具有有频频率率的的量量纲纲令令 , , j:s )j( F ttfsFtsde 则则1拉普拉斯正变换ttftde)()j( .52拉氏逆变换 de21ejttjFtf dej21j tFtf jj: s对对积积分分限限：对对 je的的傅傅里里叶叶逆逆变变换换是是对对于于 Ftftt e 以以两两边边同同乘乘 jdd ; j: ss则则取取常常数数，若若其其中中 jjdej21 ssFtfts ttfsFttfFtstdedej j 所所以以.63拉氏变换对 jj1 dej21 detstsssFtfLtfttftfLsF逆变换逆变换正变换正变换 sFtf:记作记作 称为象函数。称为象
4、函数。称为原函数，称为原函数，sFtf.7二拉氏变换的收敛二拉氏变换的收敛 0 0e)(limtftt 收敛域：收敛域：使使F(s)存在的存在的s的区域称为收敛域。的区域称为收敛域。记为：记为：ROC(region of convergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；实际上就是拉氏变换存在的条件；Oj0收敛坐标收敛坐标收敛轴收敛轴收收敛敛区区.8u0.9u.1000.11例例4 时限信号的拉氏变换时限信号的拉氏变换(如门信号如门信号)。,1)(11seedtesFssstb这里只要这里只要 不是无穷大，上式的分子就不等于无穷大不是无穷大，上式的分子就不等于无穷大，拉氏变换就存在。故其收
5、敛域为整个，拉氏变换就存在。故其收敛域为整个 s 平面。平面。00例例5 下列信号的拉氏变换：下列信号的拉氏变换： ，故在整个，故在整个 s 平面都不收敛。平面都不收敛。且.12uuuuuu:.13)(sF)(sF)(sF)(sF.14起因信号：起因信号：考虑到实际信号都是有考虑到实际信号都是有 ,0 相应的单边拉氏变换为相应的单边拉氏变换为系统系统采用采用 jj10dej21detstsssFtfLtfttftfLsF ttfFtdej0 所所以以一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。.15三一些常用函数的拉氏变换 0de1)(ttuLs
6、t1.阶跃函数2.指数函数 0deeetLstttssst1e10 0estss 1 全全s域平面收敛域平面收敛 1de0 tttLst 0ede000ststtttttL 3.单位冲激信号.164tnu(t) 0 detttLst201e11sssst 0detttLstnn 0 1dettsnstn 0 de1stts 0 0dee1ttsstst2 n 3222122ssstLstL 3 n 43236233ssstLstL 1 nntLsntL 0estnst 0 1dettsnstn 1! nnsntL 1 n所所以以所所以以.175.复指数函数00000()01( ),0()s t
7、sts stF seedtsses s 0000,s tesj.18u.19uuuuuu.20“周期信号周期信号”的拉氏变换的拉氏变换)()(11sFtfLT)()(11sFenTtfsnTLTsTnsnTLTnesFesFnTtf1)()()(1010第一周期的拉氏变换时移特性无穷级数求和.21时移特性例题时移特性例题 22211111ssssssF 。求求已已知知)(,4cos2)(sFtuttf 1111 tututLttuLsF【例例1】 sFttutf求求,1 已知已知【例例2】 tttttfsincos4sinsin24coscos2 sss e112.22用时移性质求单边信号抽样
8、后的拉氏变换用时移性质求单边信号抽样后的拉氏变换 000se)(de)()()(nnsTstnTftnTtnTftfL 域的级数。域的级数。拉氏变换可表示为拉氏变换可表示为抽样信号的抽样信号的s则则例如例如),(e)(tutft 0see)(nsnTnTtfL Ts e11.23.24复频移特性举例复频移特性举例 2020)(cos:sstutL 已已知知 2020)(cose sstutt 所所以以 20200)(sine:stutt 同理同理的的拉拉氏氏变变换换求求tt0cose .25.26)(2)(6)(5)(tftytyty 两边取拉氏变换两边取拉氏变换：)(2)(6)0()( 5)
9、0()0()(2sFsYyssYysysYs整理得整理得：65)0()0()5(65)(2)(22ssyyssssFsY.27电感元件的电感元件的s域模型域模型 )()(),()(sVtvLsItiLLLLL ttiLtvLLd)(d)( )0()()0()()( LLLLLLisIsLissILsV)(tiL )(tvLL sILLs 0LLi sVL 电感元件的电感元件的s模型模型应用原函数微分性质应用原函数微分性质设设.28sfssFdfLTt)0()()()1(.29电容元件的电容元件的s域模型域模型 )()( ),()(sVtvLsItiLCCCC 设设 tcCiCtv d)(1)(
10、 sissICsVCCC)0()(1)()1()0(d)(1)0(10)1( CCCviCiC )0(1)(1 CCvssIsC tiC tvCCsC1 01Cvs sIC sVC电容元件的电容元件的s模型模型.30.31.32.33)(lim)0()(lim ),()(d)(d)(0ssFftfsFtfttftfst 则则可以进行拉氏变换，且可以进行拉氏变换，且及及若若初值定理初值定理 应应化化为为真真分分式式：不不是是真真分分式式若若,sFksFsF )()(1 )(lim)(lim)(lim)0(0tfksssFksFsftss 项。项。中有中有中有常数项，说明中有常数项，说明ttfsF
11、.34终值存在的条件终值存在的条件: ，则，则的拉氏变换存在，若的拉氏变换存在，若设设)()(d)(d),(sFtfLttftf )(lim)(lim0ssFtfst 上无极点。上无极点。原点除外原点除外轴轴在右半平面和在右半平面和) ( j ssF tttffssFstded)(d0)(0 tttffssFstssded)(dlim0)(lim000 0)(lim0ftfft证明：证明： 根据初值定理证明时得到的公式根据初值定理证明时得到的公式)(limtft 终值定理终值定理.35初值定理举例初值定理举例 即单位阶跃信号的初始值为即单位阶跃信号的初始值为1。?)0(,1)(: fssF求求
12、已知已知1)(lim)(lim)0(0 ssFtffst例例2?)0(,12)( fsssF求求 21212 ssssF因为因为 sssksssFfss2122lim)(lim)0( 所以所以2112lim12lim sssss2)0( f所所以以 项项中中有有ttf 2例例1.36 由象函数求原函数的三种方法由象函数求原函数的三种方法 部分分式法求拉氏逆变换部分分式法求拉氏逆变换 两种特殊情况两种特殊情况.37F(s)的一般形式的一般形式01110111)()()(bsbsbsbasasasasBsAsFnnnnmmmm ai,bi为实数，为实数，m,n为正整数。为正整数。 , 为为有有理理
13、真真分分式式当当sFnm :式式具有如下的有理分式形具有如下的有理分式形通常通常sF)()()()()()()(2121nnmmpspspsbzszszsasBsAsF 分解分解零点零点极点极点 0)(0)( sFsA因因为为 的的零零点点称称为为的的根根是是sFsAzzzzm,0,321 的的极极点点称称为为的的根根是是sFsBppppn,0,321 )(0)(sFsB因为因为.38拉氏逆变换的过程拉氏逆变换的过程 的的极极点点找找出出sF 展展成成部部分分分分式式将将sF tf查查拉拉氏氏变变换换表表求求.39部分分式展开法部分分式展开法(mn)1.第一种情况：单阶实数极点 ,321为不同
14、的实数根为不同的实数根npppp)()()()(21npspspssAsF nnpskpskpsksF 2211)( 展展开开为为部部分分分分式式即即可可将将求求出出sFkkkkn,3212. 第二种情况：极点为共轭复数3.第三种情况：有重根存在.40第一种情况：单阶实数极点(1)找极点找极点 )3)(2)(1(3322 ssssssF(2)展成部分分式展成部分分式 321321 sksksksF362511)( ssssF所以所以6116332)(232 ssssssF 1estuLt 根据根据 0e6e5e)(:32 ttfttt得得(3)逆变换逆变换求系数求系数.41如何求系数如何求系数
15、k1, k2, k3？1 1 k所以所以1, 1 ss且且令令对对等等式式两两边边同同乘乘以以11321321)1(kskskskss 右右边边1)()1( ssFs左左边边1)3)(2)(1(332)1(12 sssssss, 5)()2(:22 ssFsk同同理理6)()3(33 ssFsk362511)( ssssF所以所以.42第二种情况：极点为共轭复数第二种情况：极点为共轭复数 22ssDsAsF sssFjj1 共轭极点出现在共轭极点出现在j .jj21 sKsKsF ssFsKj j1 Fj2j1 ssFsKj j2 Fj2j2 成共轭关系：成共轭关系：可见可见21,KKBAKj
16、1 *12jKBAK .43求f(t)BAKj1 *12jKBAK sKsKLtfjj211C tttKK eee*11 tBtAt sincose2 .44例题例题。的的逆逆变变换换求求)()52)(2(3)(22tfsssssF )2)(2j1)(2j1(32 sssssF2j12j12210 sKsKsK02, 1 取取 57)2(20 ssFsK52j1)2j1)(2(32j121 ssssK52,51 BA 0 2sin522cos51e2e572 ttttftt.45 22 sssFF(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法具有共轭极点，不必用部分分式展开法 2222 ssssF
17、0 sinecose ttttftt 求下示函数求下示函数F(s) 的逆变换的逆变换f(t)：解：解：求得求得另一种方法另一种方法 222)(cose )(sine sstLstLtt利利用用.463. 第三种情况：第三种情况：有重根存在有重根存在232122)1(12)1)(2()( skskskssssF4)1)(2()2(2221 sssssk1)1)(2()1(12223 sssssk为重根最高次系数为重根最高次系数为单根系数为单根系数31,kk如何求如何求k2 ?.47如何求如何求k2?设法使部分分式只保留设法使部分分式只保留k2，其他分式为，其他分式为032122)1(2)1(2k
18、sksksss 0)2()1()2)(1(222211 ksskkss22222)2(4)2()2(22dd ssssssssss3 2 k所所以以2)1( s对对原原式式两两边边乘乘以以两两边边再再求求导导若若求求只只能能求求出出时时令令, 1,123kks 3212)1(2)1(ddkksskss右右边边 )()1(dd2sFss 左左边边2, 1ks 右右此此时时令令3)2(4122 ssss左左边边.48逆变换逆变换2)1(11324)( ssssF 0ee3e4)()( 21 ttsFLtfttt所所以以.49一般情况一般情况11121111)()()()( kkkpskpskpss
19、A1121)1(1)(pskpskkk 求求k11，方法同第一种情况，方法同第一种情况：求其他系数，要用下式求其他系数，要用下式 11)()()(1111pskpssFpssFk kisFsikpsiii, 3 , 2 , 1 )(dd)!1(111111 1)(dd , 2112pssFsKi 当当1)(dd21 , 312213pssFsKi 当当.50F(s)的两种特殊情况的的非非有有理理式式含含se 非真分式非真分式 化为真分式多项式化为真分式多项式.511.1.非真分式非真分式真分式多项式真分式多项式23795)(223 ssssssF作长除法作长除法 2 3s 462772 237
20、9523 2223232 sssssssssssss )(22132)(1sFssssssF 2112)(1 sssF tttf 2 )(e)(e22tututt .522.2.含含e-s的非有理的非有理式式2111)(1 sssF )(ee)()( 2111tusFLtftt 所所以以 )2(ee2 )2(2)2(1 tutftftt所所以以。求求解解时时利利用用时时移移性性质质，项项不不参参加加部部分分分分式式运运算算 es sssFss2122e)(23e .531)0(y)()(tuetft)()(tuetgt)2()(ttutf2)0(y)()(3)(6)(5)(tftftytyty
21、 .54 用拉氏变换法求解瞬态电路的步骤用拉氏变换法求解瞬态电路的步骤 微分方程的拉氏变换微分方程的拉氏变换 利用元件的利用元件的s域模型分析求解瞬态电路域模型分析求解瞬态电路.55 求解求解s域方程域方程 ，得到时域解答，得到时域解答( )( )Y sy t.56)0()()(fssFdttdf)0()0()()0()0()()(222fsfsFsffssFsdttdf 。.570)()()()(0tcctvtEutvtRi两边取拉氏变换：两边取拉氏变换：列写微分方程：列写微分方程：)()()(tEutvdttdvRCccsEsVsRCsVcc)()(解得：解得：RCssERCsRCsERC
22、ssEsVc111)1()1 ()(求拉氏反变换：求拉氏反变换：)1 ()(1tRCceEtvRCESVc(t)+-i(t).581313.59.60.61.62求解瞬态电路更求解瞬态电路更为简便，只要知道起始状态，就可以利用元件为简便，只要知道起始状态，就可以利用元件值和元件起始状态，求出元件的值和元件起始状态，求出元件的 s 域模型。域模型。.63.64.65.66 以上是以上是，对于线性稳态电，对于线性稳态电路分析的各种方法都适用。路分析的各种方法都适用。.67【例例4-5-1】如图所示，如图所示，t0开关开关S处于处于1的位置的位置而且已经达到稳态；当而且已经达到稳态；当t=0时时,S
23、由由1转向转向2。RCe(t)=-Ee(t)=Eic(t)i(t)S21.681.69 sCRsEsIC12)( 所以所以sEsCsIsVCC 1)()(RCsEsEsVC12)( ( )1 2e 0tRCCvtEtt tvCEOE .70.71.72 。求求已知已知tvtvtEtEteRC, 0 0 )( )(teRC )(tvC )(tvR)(tiC例4-5-2求求起起始始状状态态(1) EvC 0 0)2( t列方程列方程换换等式两边取单边拉氏变等式两边取单边拉氏变 )3( ? tvC求求EtetvttvRCCC )()(d)(d sEsVvssVRCCCC )()0()(.73（4）求
24、反变换）求反变换t tvCEOE RCssE1210)( e2)( tEEtvRCtC所所以以;0)(EEtvC充充电电到到的的从从 均均可可。和和换换路路定定则则，采采用用符符合合和和时时，其其在在求求 00 00 )(tvCRCSRCvsEsVCC 1)0()(所以所以 RCsssRCE11.74求 ? tvR)()(d)(1 tetvtRtvCRtR 系系统统也也可可以以采采用用系系统统求求解解时时可可以以采采用用 0 ,0 EvvRR2)0(, 0)0(1 ）（ )()2(为为变变量量列列微微分分方方程程以以tvR采用采用0 0- -系统系统采用采用0 0+ +系统系统两种方法结果一致
25、。两种方法结果一致。使用使用0-系统使分析各过程简化。系统使分析各过程简化。ttettvtvRCRRd)(dd)(d)(1 .75ttettvtvRCRRd)(dd)(d)(1 )()()e(tEutEut 因为因为)(2d)e(dtEtt 所以所以EvssVsVRCRRR2)0()()(1 00 RvRCsEsVR12)( 所以所以 0 e2)( tEtvRCtR所所以以(3)对微分方程两边取拉氏变换对微分方程两边取拉氏变换 采用0-系统t tvRE2O.76采用0+系统 EvR20 02)()(1 EssVsVRCRR0d)(d tte 处处理理按按）此此时时（ 03te(4)原方程取拉氏
26、变换原方程取拉氏变换ttettvtvRCRRd)(dd)(d)(1 .77*.78*.79.80*.81*.82*.83.84.85.86 ) 1()()1(2tuetxt)(tfsesH)(1)(2sH)() 1()(txtty)(sH)(th)(tf)(tx)(ty)(2sH)(1sH.87 冲激响应冲激响应h(t)与系统函数与系统函数H(s) 从时域和变换域从时域和变换域两方面表征了同一系统的两方面表征了同一系统的本性本性。 在在s域域分析中，借助系统函数在分析中，借助系统函数在s平面平面零点与极零点与极点点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应
27、的许多规律。系统的的许多规律。系统的时域、频域特性时域、频域特性集中地以其集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。系统函数的零、极点分布表现出来。 主要优点：主要优点：1可以预言系统的时域特性可以预言系统的时域特性2便于划分系统的各个分量便于划分系统的各个分量 (自由自由/强迫，瞬态强迫，瞬态/稳态稳态)3可以用来说明系统的正弦稳态特性可以用来说明系统的正弦稳态特性.88)()()()()()()()()(2121nkmjpspspspszszszszsKsBsAsH K 系系统统函函数数的的零零点点 ,21nzzz 系系统统函函数数的的极极点点 ,21nppp 在在s平面上，画出平面上，画
28、出H(s)的零极点图：的零极点图： 极点：用极点：用表示表示，零点：用零点：用表示表示 mjjzs1)( nkkps1)(1系统函数的零、极点H(s)零、极点与零、极点与h(t)波形特征的对应波形特征的对应.89.90.91.92.93极点在左极点在左半平面半平面见教材见教材P223结论结论.94.95瞬态响应瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现的有关成分，随着出现的有关成分，随着t 增大，将消失。增大，将消失。稳态响应稳态响应完全响应瞬态响应完全响应瞬态响应左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。225
29、.96例例4-7-2，教材习题，教材习题2-6(1)给定系统微分方程给定系统微分方程 tettetrttrttr3dd2dd3dd22 20, 10/ rrtute，起始状态为，起始状态为激励激励试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状态试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应分量。响应分量。 sEessEsRrssRrsrsRs30203002 解：解：方程两端取拉氏变换方程两端取拉氏变换.97零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应 03003232rrsrsEssRs
30、s则则 2303002zi ssrrsrsR 2332zs sssEssR 0 e3e4)(2zi ttrtt:即零状态响应为即零状态响应为 )0( 5 . 1e2e5 . 0)(2zs ttrtt:零输入响应为零输入响应为.98稳态响应暂态响应，自由响应强迫响应稳态响应暂态响应，自由响应强迫响应 ssR15 . 1 215 . 2112 ss)0( e5 . 2 e2 2 ttt 5 . 1)( tr极点位于虚轴极点位于虚轴暂态响应暂态响应稳态响应稳态响应 ssR15 . 1 215 . 2112 ss)0( e5 . 2 e2 2 tttH(s)的极点的极点 5 . 1)( trE(s)的
31、极点的极点自由响应自由响应强迫响应强迫响应极点位于极点位于s s左半平面左半平面教材教材P227.99.100 tEtesH0msin ，激励源，激励源设系统函数为设系统函数为 000mmmsin tHEtr 0j000ejj HHssH 其中其中 HHssH jejjj H j H(s)和频响特性的关系和频响特性的关系频响特性频响特性系统的稳态响应系统的稳态响应幅频特性幅频特性相频特性（相移特性）相频特性（相移特性）虚轴上虚轴上的拉氏的拉氏变换就变换就是傅氏是傅氏变换变换.101几种常见的滤波器几种常见的滤波器O jH c O jH c O jH 1c 2c O jH 1c 低低通通滤滤波波
32、器器高高通通滤滤波波器器带带通通滤滤波波器器带阻滤波器带阻滤波器通通带带阻阻带带截截止止频频率率2c .102.103.104.105讨论讨论H(s)的几点位于的几点位于s平面实轴的情况平面实轴的情况 一阶系统一阶系统 只含有一类储能元件。转移函数仅一个极点且位于实轴，一般形式为 或 。 二阶系统二阶系统 只含有两类储能元件。转移函数的两个极点都位于实轴。11pszsK1psK重点讨论.106例例4-8-14-8-1确定图示系统的频响特性。确定图示系统的频响特性。sC1R sV1 sV2 sCRRsVsVsH1)()(12 RCsssH1)( 11j1j1ee1jjjMNRCH O RC1 j
33、1M1N1 1 01 z零零点点：RCp11 极点：极点：.107频响特性分析频响特性分析 H j221 RC 1j21j10j0HHRCH CRarctan2 04120RC O RC1 j1M1N1 1 024681000.51024681000.511.52高通滤波器的截止频率点.108例例4-8-2ORC1 j1M1CR tv1 tv2研究右图所示研究右图所示RCRC低通滤波网络低通滤波网络的频响特性的频响特性。 VVHjjj12 写出网络转移函数表达式写出网络转移函数表达式: RCsRCsVsVsH11112 VVMRC j12j1ee111 .109频响特性频响特性 VVMRCH
34、j12j1ee11j1 ORC1 j1M1ORC112VV121ORC1 45 90 112,11MRCVV式式中中： 处处于于低低通通网网络络，截截止止频频率率位位RC1 .110 一个稳定系统对于有界激励信号产生一个稳定系统对于有界激励信号产生有界的响应函数有界的响应函数 稳定性是系统自身的性质之一，系统稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励情况无关是否稳定与激励情况无关 系统冲激响应和系统函数能表征系统系统冲激响应和系统函数能表征系统的稳定性的稳定性.111.112.113.114.115.116.117.118面.119.120.121.122.123.124.125.126.12729.128.129.130.13130.132.133为为 HL1)()(tutf0)0(iiL 2RR+-i(t)(tfL.134为为 HL1)()(tutf0)0(vvC0)0(iiL 2RFC1R+-i(t)(tfLC
