1、专题学习专题学习-几何证明中常见的几何证明中常见的 “添辅助线添辅助线”方法方法 .连结连结目的目的: :构造构造全等三角形全等三角形或或等腰三角形等腰三角形语言描述语言描述: :连结连结XYXY注意点注意点: :双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法.连结连结典例典例1: 1:如图如图,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求证求证:B=D.:B=D.ACBD1. 1.连结连结ACAC构造全等三角形构造全等三角形2. 2.连结连结BDBD构造两个等腰三角形构造两个等腰三角形.连结连结典例典例2: 2:如图如图,AB=AE,BC=ED, B=
2、E,AMCD,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD, 求证求证: :点点M M是是CDCD的中点的中点. .ACBD连结连结ACAC、ADAD构造全等三角形构造全等三角形EM.连结连结典例典例3: 3:如图如图,AB=AC,BD=CD, M,AB=AC,BD=CD, M、N N分别是分别是BDBD、CDCD的中点，求证：的中点，求证：AMBAMB ANCANCACBD连结连结ADAD构造全等三角形构造全等三角形NM.连结连结练一练练一练: :如图如图,AB,AB与与CDCD交于交于O, O, 且且AB=CDAB=CD，AD=BCAD=BC，OB=5cmOB=5cm，求，求ODOD的长的长
3、. .ACBD连结连结BDBD构造全等三角形构造全等三角形O目的目的: :构造构造直角三角形（角平分线上的直角三角形（角平分线上的点到角两边的距离）点到角两边的距离）, ,得到得到距离相等距离相等语言描述语言描述: :过点过点X X作作XYXYMNMN注意点注意点: :双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段典例典例1: 1:如图如图, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,BC=10,BD=6,BC=10,BD=6, AD AD平
4、分平分BAC,BAC,求点求点D D到到ABAB的距离的距离. .ACD过点过点D D作作DEABDEAB构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BE.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段典例典例2: 2:如图如图, ,梯形中梯形中, A= D =90, A= D =90o o, , BE BE、CECE均是角平分线均是角平分线, , 求证求证:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.ACD过点过点E E作作EFBCEFBC构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BFE.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线
5、段典例典例3: 3:如图如图,OC ,OC 平分平分AOB, DOE +DPE =180AOB, DOE +DPE =180o o, , 求证求证: PD=PE.: PD=PE.ACD过点过点P P作作PFOA,PG OBPFOA,PG OB构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BF 思考思考: : 你从本题中还能得到哪些结论你从本题中还能得到哪些结论? ?EPGOA11.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段练一练：如图练一练：如图, ,梯形中梯形中,A= D =90,A= D =90o o, ,BEBE、CECE均是角平分线均是角平分线,BE,
6、BE的延长线交的延长线交CDCD延长线与延长线与F F，求证，求证:CF=AB+CD.:CF=AB+CD.过过E E点做点做BCBC的垂线，的垂线，构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形FACDBEA12.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段练一练练一练: :如图如图, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,AC=BC,AC=BC, AD AD平分平分BAC,BAC,(1)(1)求证求证:AB=AC+DC.:AB=AC+DC.ACD过点过点D D作作DEABDEAB构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BE (2)(2
7、)若若AB=15cm,AB=15cm,求求BEDBED的周长是多的周长是多少少? ?目的目的: :构造构造直角三角形直角三角形, ,得到得到斜边相等斜边相等语言描述语言描述: :连结连结X XM M和和X XN N注意点注意点: :双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法.垂直平分线上点向两端连线段垂直平分线上点向两端连线段A14.垂直平分线上点向两端连线段垂直平分线上点向两端连线段典例1、如图，ACB=90，AC=BC，D为ABC外一点，且AD=BD，DEAC交CA的延长线于E点求证：DE=AE+BC连结连结CD,CD,构造了一个构造了一个等腰三角形等
8、腰三角形A15.垂直平分线上点向两端连线段垂直平分线上点向两端连线段练一练：ABC中，AD平分BAC，DE是BC的中垂线，DMAB于M，DNAC于N，求证：BMCN目的目的: :构造构造直角三角形直角三角形, ,得到得到斜边相等斜边相等语言描述语言描述: :连结连结X XM M和和X XN N注意点注意点: :双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法.中线延长一倍中线延长一倍典例典例1.AD1.AD是是ABCABC的的中线，中线，.中线延长一倍中线延长一倍ABCDE)(21ACABAD求证：延长延长ADAD到点到点E E，使，使DE=ADE=AD D，连
9、结连结CE.CE.典例典例1. 1.如图如图, ,ABCABC中中,C=90,C=90o o,AC=BC,AD,AC=BC,AD平分平分ACB,ACB, DEAB. DEAB.若若AB=6cm,AB=6cm,则则DBEDBE的周长是多少的周长是多少? ?.“.“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“角平分线性质角平分线性质”BACDEBE+BD+DEBE+BD+CDBE+BCBE+ACBE+AEAB典例典例2. 2.如图如图, ,ABCABC中中, D, D在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上, ,E E在在ACAC的垂直平分线上的垂直平分线上. .若若BC=6cm,BC=6cm,求求
10、ADEADE的周长的周长. .“.“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“垂直平分线性质垂直平分线性质”BACDEAD+AE+DEBD+CE+DEBCA20同上例同上例：如图：如图,A,A、A A1关于关于OMOM对称对称, A, A、A A2关于关于ONON对称对称. .若若A A1 A A2 =6cm, =6cm,求求ABCABC的周长的周长. .“.“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“垂直平分线性质垂直平分线性质”BACOMAB+AC+BCA A1 B+ A A2 C+BCA A1 A A2A1A2N典例典例3. 3.如图如图, , ABCABC中，中，MNMN是是ACAC的
11、垂直平分线的垂直平分线. .若若AN=3cm, AN=3cm, ABMABM周长为周长为13cm13cm，求，求ABCABC的周长的周长. .“.“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“垂直平分线性质垂直平分线性质”BACMAB+BC+ACAB+ BM+MC+6NAB+ BM+AM+613+6练一练：如图练一练：如图, , ABCABC中，中，BPBP、CPCP是是ABCABC的角平分线，的角平分线，MN/BC.MN/BC.若若BC=6cm, BC=6cm, AMNAMN周长为周长为13cm13cm，求，求ABCABC的周长的周长. .“.“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“等腰三角形性质等腰三角形性质”BACPAB+AC+BCAM+ BM+AN+NC+6NAM+ MP+AN+NP+613+6MAM+AN+MN+6A23完 再 见
