1、1.2 平面力系及平衡方程平面力系及平衡方程一、概述一、概述1力系的的概念力系的的概念力系作用在同一物体上的一群力（一组力）。2平面力系及分类平面力系及分类平面力系力系中各力作用在同一个平面内。平面力系又分平面汇交力系、平面平行力系、平面一般力系。图1-36平面汇交力系（2）平面平行力系：力系中各力作用在同一个平面内，且各个力的作用线都相互平行，如图1-37所示。图1-37平面平行力系（1）平面汇交力系：力系中各力作用在同一个平面内，且各个力的作用线都汇交于一点，如图1-36所示。图1-38平面一般力系（3）平面一般力系：力系中各力作用在同一个平面内，且各个力的作用线在平面内任意分布，如图1-
2、38所示。二、平面汇交力系二、平面汇交力系1 1、力在坐标轴上的投影、力在坐标轴上的投影设力F作用于物体的A点，如图所示。 定义：从力定义：从力F的两端分别向选定的坐标轴的两端分别向选定的坐标轴x，y作垂线作垂线, 其垂足间的距离就是力其垂足间的距离就是力F在该轴上的投影在该轴上的投影。 若已知力F的大小及其与x轴所夹的锐角，则力F在坐标轴上的投影Fx和Fy可按下式计算：Fx=FcosFy=Fsin力在坐标轴上的投影有两种特殊情况：(1) 当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影等于零。(2) 当力与坐标轴平行时，力在该轴上的投影的绝对值等于力的大小。如果已知力F在直角坐标轴上的投影Fx和Fy，则
3、力F的大小和方向可由下式确定力F的指向和投影Fx和Fy的正负号判定: 如果把力F沿x、y轴分解为两个分力F1、F2，投影的绝对值等于分力的大小，投影的正负号指明了分力是沿该轴的正向还是负向。（力的投影是代数量）。 22tanxyyxFFFFF力的投影与分力关系力的投影与分力关系: : 将力将力F F沿直角坐标轴方向分解，所得分力沿直角坐标轴方向分解，所得分力F Fx x、F Fy y的值与的值与力力F F在同轴上的投影的绝对值相等。但是，在同轴上的投影的绝对值相等。但是，力的分力是矢量，力的分力是矢量，具有确切的大小、方向和作用点；具有确切的大小、方向和作用点；而力的投影是代数量，而力的投影是
4、代数量，不存在唯一作用线问题。不存在唯一作用线问题。合合力投影定理：力投影定理：力系的合力在某轴上的投影等于力系的合力在某轴上的投影等于力系中各力在同轴上投影的代数和。即力系中各力在同轴上投影的代数和。即 1212.xxxnxxyyynyyRFFFFRFFFF2 2、合力投影定理、合力投影定理3 3、平面汇交力系合成的解析法、平面汇交力系合成的解析法22tanyxFFxFyFF4 4、平面汇交力系的平衡方程、平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的必要和充分条件是平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力为零。力系的合力为零。即：即：总结：总结：例1-6 如下图所示重为G=5kN的球放在V
5、型槽内，求槽面对求的约束反力。12;111dFm 222dFmdPm11又dPm2221PPRA21PPRB212121)( mmdPdPdPPdRMA 合力矩三、平面力偶系三、平面力偶系平面力偶系平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系设有两个力偶dd13 平面力偶系平衡的充要条件是平面力偶系平衡的充要条件是: :所有各力偶矩的代数和所有各力偶矩的代数和等于零。等于零。 niinmmmmM121即01niim结论结论: : 平面力偶系合成结果还是一个力偶平面力偶系合成结果还是一个力偶, ,其力偶矩为各力偶矩其力偶矩为各力偶矩的代数和的代数和。 例例1-71-7在一钻床上水平放置工
6、件,在工件上同时钻3个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为M1=M2=13.5Nm，M3=17Nm，求工件的总切削力偶矩。若在A 、B两处用螺柱固定，A和B质检的距离L=0.2m，求两个螺柱在该水平面内所受的力? 15 练习练习 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力? mN154321mmmmmN60)15(4 4321mmmmM02 . 04321mmmmNBN3002 . 060BNN 300BANN解解: 各力偶的合力偶距为根据平面力偶系平衡方程有:由力偶只能与力偶平衡的性质，力NA与力NB组成一力偶。1、力的平移定理
7、： 作用于刚体上某一点A的力可以平移到刚体上的任一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力F对新作用点B的矩.四、平面任意力系四、平面任意力系(F )F=F”=F ,ABdBAF FF F BF FAF F AF F BF FF F BAM MF F BAM MF F (F,F”,F)(F,M)(F,F”,F)(F,M)FdFMMBB)(思考：1.附加力偶作用面在哪儿？2.同一平面内的一个力和一个力偶能否等效成一个力？ 结论：结论：一个力平移的结果可得到同平面的一个一个力平移的结果可得到同平面的一个力和一个力偶；反之同平面的一个力力和一个力偶；反之同平面的一个力F1和一个力偶和一个力偶矩为
8、矩为m的力偶也一定能合成为一个大小和方向与力的力偶也一定能合成为一个大小和方向与力F1相同的力相同的力F，其作用点到力作用线的距离为其作用点到力作用线的距离为:1Fmd FR=F1+F2+F3+Fn F FF F1nF FF F32OF Fn1F FF F32F FF FnF F 11F FF F3O2F FOnF FF F M M111F FF F32F FnF FF F 1M M1F FO3M M2F F 2F F2F F M MO3F F nnM MM MF F 11M M2F F 23M M1M MM MO3nM M2RF F OM M0RF F F1=F1M1=Mo(F1)(F1,F
9、2,F3,Fn)(F1,F2,F3,Fn)(M1,M2,M3,Mn)(FR,Mo)F2=F2 M2=Mo(F2)F3=F3 M3=Mo(F3)Fn=Fn Mn=Mo(Fn)力系的主矢Mo=M1+M2+M3+Mn =Mo(F1)+Mo(F2)+Mo(Fn) =Mo(Fi)向O点简化的主矩=F1+F2+F3+Fn=Fi2 2、平面任意力系的简化、平面任意力系的简化结论：平面任意力系向其作用平面内一点简化，得到一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用于简化中心；这个力偶的力偶矩等于该力系对简化中心的主矩。即平面任意力系的简化结果 ：合力偶M O ； 合力(1)简化方法简化方法RFFFFFFFF
10、Rinino 2121汇交力系合力汇交力系合力一般力系（任意力系）一般力系（任意力系）汇交力系汇交力系+力偶系力偶系向一点简化向一点简化（未知力系）（未知力系）（已知力系）（已知力系）2222)()( YXRRRyx XYRRxy11tgtg 附加力偶的合力偶矩附加力偶的合力偶矩)()()()(2121 ionoooinoFmFmFmFmmmmmM(2)主矢与主矩主矢与主矩主矢：主矢：指原平面一般力系各力的矢量和指原平面一般力系各力的矢量和 。 iF iFR即即 主矢主矢 的的R解析求法解析求法方向方向：大小大小：注意注意：因主矢等于原力系各力的矢量和因主矢等于原力系各力的矢量和,所所以它以它
11、与简化中心的位置无关。与简化中心的位置无关。)(iOOFmM 转向转向 + 主矩：主矩：指原平面一般力系对简化中心之矩的代数和指原平面一般力系对简化中心之矩的代数和 。 )( ioFm )(iooFmM即即主矩主矩 MO正、负规定正、负规定 ：因主矩等于各力对简化中心之矩的代数和，因主矩等于各力对简化中心之矩的代数和，所以它的大小和转向一般与所以它的大小和转向一般与简化中心有关。简化中心有关。注意注意：= =(1)FR=0，而MO0，原力系合成为力偶。这时力系主矩MO 不随简化中心位置而变。(2)MO=0，而FR0，原力系合成为一个力。作用于点O 的力FR就是原力系的合力。(3) FR 0，
12、MO0， 原力系简化成一个力偶和一个作用于点O 的力。这时力系也可合成为一个力。说明如下：M MO OO OFRO Od dM Mo o A AFR”O Od dM Mo o A AFRFR”FR= = FmFRMd00FR平面力系简化结果的讨论平面力系简化结果的讨论综上所述，可见：综上所述，可见：(4) FR =0，而，而MO=0，原力系平衡。，原力系平衡。平面任意力系若不平衡，则当主矢主矩均不为零 时，则该力系可以合成为一个力。 平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主矩不 为零时，则该力系可以合成为一个力偶。3 3、平面力系的平衡方程、平面力系的平衡方程00 OMR平平面面力力偶偶系系合合
13、力力偶偶矩矩平平面面汇汇交交力力系系合合力力所以平面任意力系平衡的必要和充分条件是：所以平面任意力系平衡的必要和充分条件是： 主失和主矩均为零。主失和主矩均为零。注意：上式中只有三个独立的平衡方程，只能解出三个未知注意：上式中只有三个独立的平衡方程，只能解出三个未知量。量。（2 2）平衡方程）平衡方程（1 1）平衡条件）平衡条件 0)(0000FMMYXFOOR 以上每式中只有三个独立的平衡方程，只能解出以上每式中只有三个独立的平衡方程，只能解出三个未知量。三个未知量。平衡方程的其他形式：平衡方程的其他形式：二矩式方程二矩式方程 0)(0)(0FMFMXBA两矩心的连线与投影轴两矩心的连线与投
14、影轴不垂直不垂直三矩式方程三矩式方程 0)(0)(0)(FMFMFMCBA三矩心三矩心不共线不共线（3）平衡方程的应用）平衡方程的应用求解单个物体的平面力系平衡问题时，一般按如下步骤进行。选定研究对象，取出分离体；画受力图；取适当的投影轴和矩心，列平衡方程并求解。例1-8 求下图中铰链A、B处的约束反力。例1-9 如下图所示，P=2kN，均布载荷集度q1kN/m，不计杆重，求杆在A、B处的约束反力。【习题习题1】悬臂梁如图1-44所示，梁上作用有均布载荷，载荷集度为q10kN/m，在梁的自由端受集中力F12kN和力偶矩为M6 kNm的力偶作用，梁的长度为L1.5m，试求固定端A处的约束反力。图
15、1-44悬臂梁取梁AB为研究对象，其受力图及坐标建立如右图所示。列平衡方程。均布载荷的合力Q在均布载荷作用范围的中点（图中不要画出），Q的大小等于载荷集度与均布载荷分布长度的乘积，即QqL。列平衡方程如下： 由Fx0得 NAX0 由FY0得 NAyqLF0 由MA（F）0得 MAqLL/2FLM0 解题步骤解题步骤求解未知量 由式得 NAX0 由式得 NAyqLF101.512 27kN由式得 MAqLL/2FLM 101.51.5/2121.56 35.25kNm所以，固定端A处的约束反力NAX0， NAy27kN， MA35.25kNm。【习题习题2】铣床夹具上的压板AB（图1-45），当
16、拧紧螺母后，螺母对压板的压力F4 000 N，已知L150 mm，L275 mm，试求压板对工件的压紧力及垫块所受压力。图1-45铣床夹具上的压板分析分析取压板AB为研究对象，其重力可以忽略不计，压板虽有三个接触点，但其受力构成平面平行力系，并不属于三力构件。解题步骤解题步骤取压板AB为研究对象，其受力图及坐标建立如右图所示。列平衡方程。由平面平行力系平衡方程得： FY0 FNAFNBF0 MA（F）0 FNB（L1L2)FL10 解方程由式得 FNB1 600 N将FNB代入式得 FNAFFNB400016002400 N根据作用与反作用公理，压板对工件的压紧力为2400 N，垫块所受压力为1600 N。
