1、2020/12/151第十二章 全等三角形 总复习全等形全等形全等三角形全等三角形性质性质应用应用全等三角形对应边（高全等三角形对应边（高线、中线）相等线、中线）相等全等三角形对应角（对全等三角形对应角（对应角的平分线）相等应角的平分线）相等全等三角形的面积相等全等三角形的面积相等SSSSASASAAASHL解决问题解决问题角的平分线角的平分线的性质的性质角平分线上的一点到角的两边距离相等角平分线上的一点到角的两边距离相等 到角的两边的距离相等的点在角平分线上到角的两边的距离相等的点在角平分线上判定判定条件条件（尺规作图） 判定三角形全等判定三角形全等必须有一组对应边必须有一组对应边相等相等.
2、精品资料2020/12/154 你怎么称呼老师？ 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你是否会认为老师的教学方法需要改进？ 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ 教师的教鞭 “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我笨，没有学问无颜见爹娘 ” “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早”2020/12/155 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为为“边边边边边边”或或“SSS”）。）。ABCDEF在在ABC和和 DEF中中 ABC DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD 全等三角形的判定方法全等三角形的判定方法2020/12/156在在ABC与
3、与DEF中中ABC DEF（SAS） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。等。(可以简写成可以简写成“边角边边角边”或或FEDCBAAC=DFC=FBC=EF2020/12/157A=DAB=DEB=E在在ABC和和DEF中中 ABC DEF（ASA）FEDCBA2020/12/158在在ABC和和DEF中中A=DB=E BC=EF ABC DEF（AAS）2020/12/159在在RtABC和和RtDEF中中AB=DE （已知（已知 ） AC=DF（已知（已知 ） ABC DEF（HL）ABCDEF2020/12/15101.全等三角形的性质全等三
4、角形的性质: 对应边、对应角、对应线段相等，周长、面积也相等。对应边、对应角、对应线段相等，周长、面积也相等。 2.全等三角形的判定全等三角形的判定: 知识点知识点一般三角形全等的判定：一般三角形全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS直角三角形全等的判定：直角三角形全等的判定： SAS、ASA、AAS、SSS、HL2020/12/1511知识点知识点3.三角形全等的证题思路：三角形全等的证题思路： 已知一边一角 ASA找夹边已知两角 SAS找夹角已知两边SSS找另一边HL找直角 SAS找夹角的另一边边为角的邻边AAS找任一角ASA找夹角的另一角AAS找边的对角AAS找任一边边为角的对边20
5、20/12/1512到角的两边的距离相等的点在角的平到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。分线上。 QDOA，QEOB，QDQE（已知）点Q在AOB的平分线上（到角的两边的距到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）离相等的点在角的平分线上）角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 (已知） QDQE（角的平分线上的点到角的两角的平分线上的点到角的两边的距离相等）边的距离相等）二二.角的平分线：角的平分线：1.角平分线的性质：角平分线的性质：2.角平分线的判定：角平分线的判定：2020/12/15132.如图, AB
6、C的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等BMBM是是ABC的角平分线的角平分线, ,点点P P在在BMBM上上, , PDAB于于D，PEBC于于EABCPMNDEFPD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距角平分线上的点到这个角的两边距离相等离相等).).同理同理,PE=PF.,PE=PF.PDPDPE=PF.PE=PF.即点即点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等证明：过点证明：过点P作作PDAB于于D，PEBC于于E，PFAC于于F2020/12/15143.3.如图，已知如图，已知ABCABC的外角的外角CB
7、DCBD和和BCEBCE的平分线相的平分线相交于点交于点F F，求证：点，求证：点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上 证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于MGHM点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBCFGFM（角平分线上的点到这个角角平分线上的点到这个角的的两边距离相等）两边距离相等）.又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBCFMFH （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.FGFH（等量代换）点F在DAE的平分线上二、全等三角形识别思路复习二、全等三角形识别思路复习 如图，已知如图，已知ABC和和DCB中，中，A
8、B=DC，请补充一个，请补充一个条件条件-，使，使ABC DCB。思路思路1：找夹角找夹角找第三边找第三边找直角找直角已知两边：已知两边： ABC=DCB （SAS）AC=DB （SSS） A=D=90（HL）ABCD 如图，已知如图，已知C= D，要识别，要识别ABC ABD，需，需要添加的一个条件是要添加的一个条件是-。思路思路2：找任一角找任一角已知一边一角已知一边一角（边与角相对）（边与角相对）（AAS） CAB=DAB或者或者 CBA=DBAACBD 如图，已知如图，已知1= 2，要识别，要识别ABC CDA，需，需要添加的一个条件是要添加的一个条件是- 思路思路3： 已知一边一角（
9、边与角相邻）：已知一边一角（边与角相邻）：ABCD21找夹这个角的另一边找夹这个角的另一边找夹这条边的另一角找夹这条边的另一角找边的对角找边的对角AD=CBACD=CABD=B（SAS）（ASA）（AAS） 如图，已知如图，已知B= E，要识别，要识别ABC AED，需，需要添加的一个条件是要添加的一个条件是-思路思路4：已知两角：已知两角：找夹边找夹边找一角的对边找一角的对边ABCDEAB=AEAC=AD或或 DE=BC(ASA)(AAS)2020/12/1519例题选析例题选析例例1：如图，D在AB上，E在AC上，且B =C，那么补充下列一具条件后，仍无法判定ABE ACD的是( )AAD
10、=AE B AEB=ADCCBE=CD DAB=ACB例例2：已知：如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，1=2，图中全等的三角形共有( )A1对 B2对 C3对 D4对 D2020/12/1520已知：已知： ACBC，BDAD，AC=BD. 求证：求证：BC=AD.例例3.ABCD2020/12/1521例例4:下面条件中, 不能证出RtABCRtA BC的是 (A.)AC=AC , BC=BC (B.)AB=AB , AC=AC(C.) AB=BC , AC=AC (D.)B=B , AB=ABC2020/12/1522例例5：如图，在ABC 中，AD BC，
11、CE AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ，使AEH CEB。BE=EH2020/12/1523例例7 7、如图，、如图，ABCABC中，中，ADBCADBC，垂足为，垂足为D D，BEACBEAC，垂足为，垂足为E E，ADAD、BEBE相交于点相交于点F F。如果。如果BFBFACAC，那么，那么ABCABC的度数是的度数是 （ ）A A、40400 0B B、45450 0C C、50500 0D D、60600 0B 例例8. 如图，在如图，在ABC中，两条角平分线中，两条角平分线BD和和CE相交于点相交于点O，若，若BOC=1200，那么，那么A的度
12、数的度数是是 .ABCDEO6002020/12/1525例例9、如图：在、如图：在ABC中，中，C C =900，AD平分平分 BAC，DEAB交交AB于于E，BC=30，BD：CD=3：2，则，则DE= 。12cABDE2020/12/15261010. .如图，如图，ACB=90ACB=90，AC=BCAC=BC，BECEBECE，ADCEADCE于于D D，AD=2.5cm,DE=1.7cmAD=2.5cm,DE=1.7cm。求：。求：BEBE的长。的长。ABCDE2020/12/15271.已知已知BDCD，ABDACD，DE、DF分别垂直分别垂直于于AB及及AC交延长线于交延长线于
13、E、F，求证：，求证：DEDF证明：证明：ABDACD（ ） EBDFCD（ ）又又DEAE，DFAF（已知）（已知） EF900（ ）在在DEB和和DFC中中 DEB DFC（ ） DEDF（ ）（已知）（已证）已证CDBDFCDEBDFE)(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等AASAAS垂直的定义垂直的定义等角的补角相等等角的补角相等已知已知2020/12/15282.点A、F、E、C在同一直线上，AFCE，BE = DF，BEDF，求证：ABCD。证明：AEBCFDCEAF CFAE BE又DF21DFBE 又CAABCD 3 3. . 如图如图CDABCDAB，BEACBEA
14、C，垂足分别为，垂足分别为D D、E E，BEBE与与CDCD相交于点相交于点O O，且，且1 12 2，求证，求证OBOBOCOC。 证明：证明：12CDAB，BEACODOE(角平分线的性质定理角平分线的性质定理)在在OBD与与OCE中中 OBD OCE(ASA) OBOC2020/12/153030 4. 如图，CA=CB，AD=BD，M、N分别是CA、CB的中点，证明DM=DN， ACDBMN2020/12/15315.已知，已知，ABC和和ECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：在一条直线上求证：BE=AD EDCAB证明证明： ABC和和ECD都是
15、等边三角形都是等边三角形 AC=BC DC=EC BCA=DCE=60 BCA+ACE=DCE+ ACE即即BCE=DCA在在ACD和和BCE中中 AC=BC BCE=DCA DC=EC ACD BCE (SAS) BE=AD 6. 如图如图A、B、C在一直线上，在一直线上，ABD，BCE都是等边都是等边三角形，三角形，AE交交BD于于F，DC交交BE于于G，求证：，求证：BFBG。证明：证明：ABD，BCE是等边三角形。是等边三角形。DBAEBC60 A、B、C共线共线DBE60ABEDBC在在ABE与与DBC中中 ABE DBC(SAS)21在在BEF与与BCG中中BEF BCG(ASA)
16、BFBG(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等)2020/12/15337：如图，已知：如图，已知E在在AB上，上，1=2， 3=4，那么，那么AC等于等于AD吗？为什么？吗？为什么？4321EDCBA解：解：AC=AD理由：在理由：在EBC和和EBD中中 1=2 3=4 EB=EB EBC EBD (AAS) BC=BD 在在ABC和和ABD中中 AB=AB 1=2 BC=BD ABC ABD (SAS) AC=AD2020/12/153434 8. 8.已知已知：ABCABC和和BDEBDE是等边三角形是等边三角形, , 点点D D在在AEAE的延长线上。的延长线上。 求证：求证：BD
17、 + DC = AD BD + DC = AD ABCDE分析：AD = AE + ED 只需证：BD + DC = AE + ED BD = ED 只需证DC = AE即可。9 9. .如图如图AB/CD,B=90AB/CD,B=90,E,E是是BCBC的中点的中点,DE,DE平分平分ADC,ADC,求证求证:AE:AE平分平分DABDABCDBAEF证明证明: :作作EFAD,EFAD,垂足为垂足为F FDEDE平分平分ADCADCAB/CD,C=BAB/CD,C=B又又B=90B=90C=90C=90又又EFADEFADEF=CEEF=CE又又E E是是BCBC的中点的中点EB=ECEB
18、=ECEF=EBEF=EBB=90B=90EBABEBABAEAE平分平分DABDABBCDCBCDC2020/12/15363610. 如图，AB=DE，AF=CD，EF=BC，AD，试说明：BFCE ABCDEF2020/12/153711. 求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。已知：如图，已知：如图，AD是是ABC 的中线，求证：的中线，求证：)(21ACABADABCDE证明：延长AD到E，使DEAD，连结BEEDBADC AD是ABC 的中线BDCD又 DEAD ADC EDB AC = EB在ABE中，AE AB+BEAB
19、+AC即 2AD AB+AC)(21ACABAD2020/12/153812.如图如图,已知已知ACBD，EA、EB分别平分分别平分CAB和和DBA，CD过点过点E，则，则AB与与AC+BD相等吗？请说明理由。相等吗？请说明理由。ACEBD要证明要证明两条线段的和与一条线段两条线段的和与一条线段相等相等时常用的两种方法：时常用的两种方法：1、可在、可在长线段上截取长线段上截取与与两条线段两条线段中一条相等的一段中一条相等的一段，然后证明剩，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。余的线段与另一条线段相等。（割）（割）2、把一个三角形、把一个三角形移到移到另一位置，另一位置，使使两线段补成一条线段两
20、线段补成一条线段，再证明，再证明它与它与长线段相等长线段相等。（补）。（补）2020/12/153913.如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BCEFBCAFED2020/12/15401414. .已知：如图已知：如图2121，ADAD平分平分BACBAC，DEABDEAB于于E E，DFACDFAC于于F F，DB=DCDB=DC，求证：求证：EB=FCEB=FC2020/12/154115.已知：如图：在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。求证： ADG 为等腰直角三角形。 G H
21、 F E D C B A2020/12/154216.如图，在RABC中，ACB=450，BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点，AFCD于H交BC于F，BEAC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.2020/12/1543E2020/12/1544四、小结：四、小结：找夹角（找夹角（SAS）找第三边（找第三边（SSS）找直角（找直角（HL）已知两边已知两边找任一角（找任一角（AAS）已知一边一角已知一边一角 （边与角相邻）（边与角相邻）找夹这个角的另一边（找夹这个角的另一边（SAS）找夹这条边的另一角（找夹这条边的另一角（ASA）找边的对角（找边的对角（AAS）已知两角已知两角找夹边（找夹边（ASA）找一角的对边（找一角的对边（AAS）1、全等三角形识别思路、全等三角形识别思路：3、三角形全等是证明线段相等，角相等的重要途径。、三角形全等是证明线段相等，角相等的重要途径。（边与角相对）（边与角相对）2、经过平移、翻折、旋转等变换得到的三角形和原三角形全等。、经过平移、翻折、旋转等变换得到的三角形和原三角形全等。注意：、注意：、“分别对应相等分别对应相等”是关键；是关键；、已知两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。、已知两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。
