1、计算结构力学计算结构力学第一章第一章 绪绪 论论1-1 1-1 概概 述述结构矩阵分析结构矩阵分析利用矩阵代数理论来分析结构力学问题，利用矩阵代数理论来分析结构力学问题，是随着计算机的迅速发展而兴起的结构分析是随着计算机的迅速发展而兴起的结构分析方法。方法。计算结构力学计算结构力学利用计算机来进行结构的力学分析。利用计算机来进行结构的力学分析。计算结构力学的开课目的计算结构力学的开课目的本课程属于技术基础课，主要是本课程属于技术基础课，主要是强化计算机在结构分析方面的应用，强化计算机在结构分析方面的应用，是现代结构分析重要的不可缺少的手是现代结构分析重要的不可缺少的手段，是专业技术能适应现代化
2、需要的段，是专业技术能适应现代化需要的组成部分。组成部分。n本课程主要研究杆系结构，可对六种杆系结构进行分本课程主要研究杆系结构，可对六种杆系结构进行分析。析。主要采用矩阵位移法或称杆系有限元法进行分析。主要采用矩阵位移法或称杆系有限元法进行分析。主要内容为建立结构刚度方程的矩阵形式及求解，程主要内容为建立结构刚度方程的矩阵形式及求解，程序设计和上机。序设计和上机。要求掌握杆系有限元进行结构分析的过程；要求掌握杆系有限元进行结构分析的过程；进行程序设计及计算机应用方面的训练；进行程序设计及计算机应用方面的训练；要求在其它专业课中融汇贯通，借此达到专业技能与要求在其它专业课中融汇贯通，借此达到专
3、业技能与全面素质的提高。全面素质的提高。本课程的主要内容和任务本课程的主要内容和任务 1、矩阵位移法、矩阵位移法(刚度法刚度法)：以结点位移为基本：以结点位移为基本未知量，建立结构的刚度方程。未知量，建立结构的刚度方程。 2、矩阵力法、矩阵力法(柔度法柔度法)：以结点力为基本未知：以结点力为基本未知量，建立结构的柔度方程。量，建立结构的柔度方程。 3、矩阵混合法、矩阵混合法(杂交法杂交法)：以部分结点位移、：以部分结点位移、部分结点力为未知量，建立结构的混合法方程。部分结点力为未知量，建立结构的混合法方程。结构矩阵分析的主要方法结构矩阵分析的主要方法由结构力学内容可知由结构力学内容可知:刚度法
4、只需满足平衡条件，在荷载形式一定刚度法只需满足平衡条件，在荷载形式一定的情况下自然满足，故普遍得到使用。的情况下自然满足，故普遍得到使用。柔度法要确立多余约束建立基本结构，并满柔度法要确立多余约束建立基本结构，并满足位移协调条件，要具体分析，故很难规范足位移协调条件，要具体分析，故很难规范化统一格式编程，不易实现计算自动化。化统一格式编程，不易实现计算自动化。所以，工程计算一般采用所以，工程计算一般采用矩阵位移法矩阵位移法。 但在梁、板、壳等问题中，所假设的位但在梁、板、壳等问题中，所假设的位移场在某些情况下不能满足一些单元的协调移场在某些情况下不能满足一些单元的协调性性(C连续性问题连续性问
5、题)，故混合法或柔度法仍得到，故混合法或柔度法仍得到运用，并能进一步发展，现主要在板壳结构运用，并能进一步发展，现主要在板壳结构中使用。中使用。本课程主要介绍本课程主要介绍矩阵位移法矩阵位移法。 在矩阵位移法中在矩阵位移法中所有的方程组均采用矩阵的形式表示。所有的方程组均采用矩阵的形式表示。所有的推导和运算均借助于矩阵代数，形式紧所有的推导和运算均借助于矩阵代数，形式紧凑明了，方便程序设计。凑明了，方便程序设计。采用矩阵结构分析方法，并不改变结构力学的采用矩阵结构分析方法，并不改变结构力学的基本原理和基本假设。如平衡原理、叠加原理、基本原理和基本假设。如平衡原理、叠加原理、变形协调原理、能量原
6、理等。变形协调原理、能量原理等。本课程基本假设：本课程基本假设：m小变形假设；m材料线性行为假设(结构联接为理想联结)。满足以上两个假设的结构称为线性结构。1-21-2 有限单元法简介有限单元法简介结构理想化的概念：结构理想化的概念：结构理想化是一种简化手段，如同材料力学中的结构理想化是一种简化手段，如同材料力学中的计算简图的概念。计算简图的概念。在结构力学中，就是假设结构为连续体，理想连在结构力学中，就是假设结构为连续体，理想连接、均匀各向同性的线性结构。经上述理想化以后，接、均匀各向同性的线性结构。经上述理想化以后，即可画出结构的计算简图，其主要特点有：即可画出结构的计算简图，其主要特点有
7、：1、以杆件轴线代替实际杆线；、以杆件轴线代替实际杆线；2、结构联结主要有刚结、铰结、链杆联接等；、结构联结主要有刚结、铰结、链杆联接等；3、支座可简化为活动支座、固定铰支座和固定支座等。、支座可简化为活动支座、固定铰支座和固定支座等。结构矩阵分析所采用的主要方法为结构矩阵分析所采用的主要方法为有限单有限单元法元法，其基本思想是：把整个结构看成是由有，其基本思想是：把整个结构看成是由有限个单元限个单元(杆件、平面、壳体、块体等杆件、平面、壳体、块体等)所组成的所组成的集合体，各个单元由结点相互连结，这就是结集合体，各个单元由结点相互连结，这就是结构的离散化，由各单元的平衡条件建立单元刚构的离散
8、化，由各单元的平衡条件建立单元刚度方程，再利用整体平衡条件将各单元集合在度方程，再利用整体平衡条件将各单元集合在一起，恢复为原结构，得到结构整体平衡方程一起，恢复为原结构，得到结构整体平衡方程(结构刚度方程结构刚度方程)。结构刚度方程结构刚度方程形式为线性代数方程组，形式为线性代数方程组，利用矩阵代数和数值计算方法编制成计算机利用矩阵代数和数值计算方法编制成计算机程序，上机求解未知量。由此可知有限单元程序，上机求解未知量。由此可知有限单元法的中心思想是法的中心思想是一分一合一分一合。由于单元的个数。由于单元的个数有限，故称其为有限，故称其为有限单元法有限单元法。单元的类型主要有：单元的类型主要
9、有：杆单元杆单元平面单元及板单元平面单元及板单元壳单元壳单元块体单元块体单元杆单元杆单元平面单元及板单元平面单元及板单元壳单元壳单元块体单元块体单元本课程主要研究杆系结构，称为本课程主要研究杆系结构，称为杆系有限杆系有限元元。由于采用结点位移为未知量，故称为由于采用结点位移为未知量，故称为有限有限元位移法元位移法。在实施中，由单元的刚度方程，依各结点在实施中，由单元的刚度方程，依各结点的集约条件，可直接形成结构刚度方程，的集约条件，可直接形成结构刚度方程，其方法称为其方法称为直接刚度法直接刚度法。结构的离散化过程结构的离散化过程本课程可以对六种杆系结构进行分本课程可以对六种杆系结构进行分析析：
10、梁梁 刚架刚架 桁架桁架 排架排架 框框排架排架 刚铰混合结构刚铰混合结构(或梁桁组合结构或梁桁组合结构)。无论对哪一种结构，总可以假想地将它无论对哪一种结构，总可以假想地将它拆开，视为有限个单杆在其端点联结，拆开，视为有限个单杆在其端点联结，可以自然剖分，亦可以细分，这些单杆可以自然剖分，亦可以细分，这些单杆称为称为单元单元，联结点就称为，联结点就称为结点结点(节点节点)。1231234561234512345671234567891011121314123456结构的离散化过程：结构的离散化过程：(a)梁(b)刚架(c)桁架(d)排架(e)框排架(f)梁桁组合111213141516171
11、81-31-3 结点位移和结点力结点位移和结点力结点位移包括：线位移和角位移。结点位移包括：线位移和角位移。单元两端的结点位移又称单元的杆端位移，或单元两端的结点位移又称单元的杆端位移，或称其为单元结点位移。称其为单元结点位移。已知杆端位移及荷载情况便可了解整个单元的已知杆端位移及荷载情况便可了解整个单元的变形状态，用变形状态，用i表示结点表示结点i的结点位移列阵；的结点位移列阵；表示单元的结点位移列阵；表示单元的结点位移列阵；表示结构的结点位移列阵。表示结构的结点位移列阵。桁架：桁架： jjiiiiivuvuvu连续梁：连续梁： jjiiiiivvv刚架：刚架： iiiivu jjjiiiv
12、uvu 结点力包括：力和力偶矩。结点力包括：力和力偶矩。单元结点力：单元杆端力，这是结构单元结点力：单元杆端力，这是结构内力，对单元而言是作用在单元两端结内力，对单元而言是作用在单元两端结点上的外力。点上的外力。结构结点力：由于汇交于每一结点的结构结点力：由于汇交于每一结点的各单元杆端力的总和即等于该结点所受各单元杆端力的总和即等于该结点所受的力，故结构结点力是外力，为相应的的力，故结构结点力是外力，为相应的结点荷载或结点支座的支座反力。结点荷载或结点支座的支座反力。结点结点i的结点力列阵用的结点力列阵用Fi表示；表示；单元的杆端力列阵用单元的杆端力列阵用F表示表示 ；结构结点力列阵用结构结点
13、力列阵用P表示；表示；反力用反力用R表示；表示；结点位移与结点力的各个分量应相互对应，结点位移与结点力的各个分量应相互对应，如：如： i与与Fi,与与P；结点位移编号结点位移编号(或结点力编号或结点力编号)与结点编号有与结点编号有关。结点编号是人为的，现已可用程序实现关。结点编号是人为的，现已可用程序实现结点自动编号；结点自动编号；在进行结构分析时，首先应编好结点号。结在进行结构分析时，首先应编好结点号。结点编号的好坏直接影响计算精度及内存，其点编号的好坏直接影响计算精度及内存，其原理是应尽量使每个单元两端结点号的差值原理是应尽量使每个单元两端结点号的差值最小。最小。 1-41-4 基本未知量
14、基本未知量如何确定结构的基本未知量如何确定结构的基本未知量? ?根据有限单元法的离散化要求，各个单元根据有限单元法的离散化要求，各个单元仅在结点处联结，因此只有结点处的力学仅在结点处联结，因此只有结点处的力学量量(结点位移或结点力结点位移或结点力)可以作为基本未知可以作为基本未知量。量。由于矩阵位移法采用位移为未知量，故在由于矩阵位移法采用位移为未知量，故在有限元位移法中采用结点位移作为未知量。有限元位移法中采用结点位移作为未知量。因为荷载已知，此时相应的结点力向量应因为荷载已知，此时相应的结点力向量应为已知，这对于一般结点均满足。为已知，这对于一般结点均满足。关于支座情况，需要进行关于支座情
15、况，需要进行约束处理。约束处理。因为结点力包括了支座结点反力，这在通常情因为结点力包括了支座结点反力，这在通常情况下为未知，这点看来与上述要求不符。但由况下为未知，这点看来与上述要求不符。但由于在不考虑弹性支承情况下，有结点反力的这于在不考虑弹性支承情况下，有结点反力的这部分支座位移通常已知部分支座位移通常已知(零或已知沉降量零或已知沉降量)，不需，不需求解，可在结构刚度方程中将这一方程划去，求解，可在结构刚度方程中将这一方程划去，这就是这就是约束处理。约束处理。直接刚度法分为直接刚度法分为前处理法前处理法及及后处理法后处理法。前处理法前处理法在形成结构刚度矩阵之前，也就是在形成结构刚度矩阵之
16、前，也就是在建立结构刚度矩阵之前考虑到实际的在建立结构刚度矩阵之前考虑到实际的约束情况，再形成结构刚度矩阵。约束情况，再形成结构刚度矩阵。后处理法后处理法在形成结构刚度矩阵之前，先不考在形成结构刚度矩阵之前，先不考虑支承情况，而在形成结构刚度矩阵之虑支承情况，而在形成结构刚度矩阵之后，再根据约束情况对结构刚度矩阵进后，再根据约束情况对结构刚度矩阵进行修改。行修改。很明显，前处理法可减少存贮单元。很明显，前处理法可减少存贮单元。本课程采用前处理法，具体的本课程采用前处理法，具体的约束处理约束处理如如下：下： 对于一般结点对于一般结点(指无约束的结点指无约束的结点)的未知量编的未知量编号，在对结构
17、的全部结点编号后即可确定；号，在对结构的全部结点编号后即可确定；对于整个结构的全部未知量编号，还需要加对于整个结构的全部未知量编号，还需要加上支座的未知量编号；上支座的未知量编号；这实际上就是要对结构的支座约束进行处理，这实际上就是要对结构的支座约束进行处理，这是结构分析中非常重要的环节。这是结构分析中非常重要的环节。1354621 2 37 8 90 0 04 5 610 11 120 0 0例例1：对图示一般刚架进行结点和未知量：对图示一般刚架进行结点和未知量编号。编号。解：先编结点号，后根据每个结点三个未知量解：先编结点号，后根据每个结点三个未知量进行未知量编号。进行未知量编号。支座名称
18、约束特征数1 1 10 1 11 0 11 1 0 0 1 0对支座进行约束处理，可通对支座进行约束处理，可通过约束特征数来实现。过约束特征数来实现。支座约束特征数：支座约束特征数：表示支座表示支座结点的某一位移未知量有无结点的某一位移未知量有无刚性约束的人为赋值数字。刚性约束的人为赋值数字。有约束：约束特征数为有约束：约束特征数为1 1；无约束：约束特征数为无约束：约束特征数为0 0。显然，有约束则无位移未知显然，有约束则无位移未知量，无约束则有位移未知量。量，无约束则有位移未知量。对于采用刚架单元的平面杆对于采用刚架单元的平面杆系结构，其系结构，其支座约束特征数支座约束特征数如下：如下：u
19、 v例例2：对图示结构进行结点未知：对图示结构进行结点未知量编号。量编号。解：结点编号如图所示，未知解：结点编号如图所示，未知量编号见表量编号见表1。若不考虑杆件的轴向变形，则若不考虑杆件的轴向变形，则未知量编号见表未知量编号见表2。34 0 57 8 93未知量编号结点号未知量编号结点号1 0 211 0 321 2 314 5 620 0 00 0 07 0 813 14 15表245表110 11 12457 0 96716 17 18670 0 080 0 084 0 665341278123546789例例3 3：刚铰混合结构：刚铰混合结构解：因铰处有两个转角未解：因铰处有两个转角未
20、知量，因此多编一个结点知量，因此多编一个结点号！（见表号！（见表1）若不考虑杆件的轴向变形，若不考虑杆件的轴向变形，则未知量编号见表则未知量编号见表2。5164表234 5 71 3 53结点号未知量编号结点号未知量编号4 5 61 2 31 0 311 3 42120 0 00 0 08 9 10表11 0 645450 0 00 0 0662例例4 4：梁桁组合结构：梁桁组合结构235164732 3 4结点号未知量编号0 0 无效0 0 1127 0 无效5 6 无效2 3 无效457 0 8671-51-5 轴力杆单元刚度方程轴力杆单元刚度方程( (桁式单元桁式单元) ) 首先介绍坐标
21、系的概念。首先介绍坐标系的概念。 1、结构坐标系、结构坐标系(整体坐标系整体坐标系)； 2、自身坐标系、自身坐标系(局部坐标系局部坐标系)。局部坐标系建立在单元上，由始结点至局部坐标系建立在单元上，由始结点至终结点，用终结点，用“ ”作记号。作记号。由结构力学位移法可知，杆单元由结构力学位移法可知，杆单元的平衡方程可写成的平衡方程可写成k=F的形式，其中的形式，其中 12FFF 12uuk为为22阶的单元刚阶的单元刚度矩阵，现予详细介度矩阵，现予详细介绍。绍。单元刚度系数单元刚度系数kij的定的定义：仅当：义：仅当：时在时在i处所需施加的力。处所需施加的力。取单元两端轴向位移取单元两端轴向位移
22、为未知量：为未知量：u1、 u2如右图所示。如右图所示。L112x ,F1，1y ,F2，2F11F21F12F22(1)(2)(3)1=12=11j当当u1=1、 u2=0时，由刚度系数的定时，由刚度系数的定义可知：义可知：F11=k11u1=k11F21=k21u1=k21当当u1=0、 u2=1时，时，F22=k22u2=k22F12=k12u2=k122111211112221222212111122212212 EAF=lEAEAFFFllEAEAFFFllEAEAEAFFFllFFFEAEAll 由材力：，当 分别为 、 ，且为任意时，由(2)图可得由单元平衡条件可得由(3)图可得
23、由单元平衡条件可得图(1)图(2)图(3) 1122 1 1=1 1 1 11 1EAEAllEAEAlllEAkl 即这里也可由刚度系数的定义直接得到 11122122kkk =kk1111121221212222EAEAkFkFllEAEAkFkFll 当局部坐标系和整体坐标系不重合时，如竖杆、当局部坐标系和整体坐标系不重合时，如竖杆、斜杆等，其刚度方程（或刚度矩阵）如何推得？一斜杆等，其刚度方程（或刚度矩阵）如何推得？一般可通过坐标变换（后面再详细介绍），现再利用般可通过坐标变换（后面再详细介绍），现再利用静力法推导杆单元在整体坐标系中的刚度方程。静力法推导杆单元在整体坐标系中的刚度方程
24、。y22,F y2F22,F x,EA l11,Fxx11,F y1F12y2F y2Fx1222F x22222siny2F y2Fx1222F x22222cos此时，杆单元每端有两个未知量：此时，杆单元每端有两个未知量： 1111122222 xyxyFuFvFuFvF相应有22222222222222222x221x222112coscos coscos sincos sinuuuuuuuyyuvuuuEAEAFuullEAFFuFlEAFFuFl现现在在研研究究单单独独发发生生 或或 时时所所引引起起的的杆杆端端力力。当当单单独独发发生生 时时，杆杆端端铰铰定定，杆杆端端 伸伸长长量
25、量为为于于是是而而u1、v1所引起的杆端力可由类似方法得到，所引起的杆端力可由类似方法得到，令令cos=l,sin=m，最后可将单元的刚度方程写最后可将单元的刚度方程写成：成：2222222222222222122221 sinsincossincoscossinvvvvxxvvvyyvEAvvaFvlEAFFvFlEAFFvFl 同同样样对对单单独独发发生生于于是是2211221122222222xyxyFllmllmuFvlmmlmmEAulFllmllmvlmmlmmF可将上面的单元刚度方程写成矩阵形式：可将上面的单元刚度方程写成矩阵形式： 1122FKKKKF220(1,0,1allm
26、m当当局局部部系系) )，删删出出全全为为零零的的行行列列，就就回回到到本本节节开开始始所所介介绍绍的的刚刚度度方方程程。习习题题 ：静静力力法法推推导导梁梁式式单单元元的的刚刚度度矩矩阵阵，用用右右手手系系。1-61-6 刚度法的基本概念刚度法的基本概念 采用结构力学中位移法的基本方法，建立结构的刚采用结构力学中位移法的基本方法，建立结构的刚度方程，现以下面的超静定桁架为例来说明。度方程，现以下面的超静定桁架为例来说明。例：例： 求图示结构各杆的轴力，求图示结构各杆的轴力，A=2000mm2, E=200KN/mm2。60451233AAA2100KN60451100KNxyF1F2F3，解
27、：解： 为未知量，刚度法基本步骤：为未知量，刚度法基本步骤：1、列出结点的平衡方程（如有多个结点，均应依次列出）、列出结点的平衡方程（如有多个结点，均应依次列出）2、变形条件（用位移来表示各单元变形）、变形条件（用位移来表示各单元变形） 如图，如图，ei在表示在表示 i 的伸长量的伸长量131320: cos60 cos45100cos4500: sin60 sin45100sin450XFFYFFF111111121311111cos30sin30( 3)22cos45cos45()2evuvuvueveuvuv v1u1v1v1u1u112,u u3 3、物理量、物理量线刚度线刚度1112
28、3232311 11111222133311112002000100 3/22000320020001002/220002120020002100/200013100 3( 3)100( 3)2210021002()100()2EAkKNmmlEAkKNmmlEAkKNmmlFk evuvuFk evFk euvuv (*)(*) 111111111234( 64)(4 3 2)4(3 64 24)(4 3 2)4644 3 2444 3 23 64 240.6290.24417.8924.487.33uvvuuvKPummvFKNFKNFKN 、代入平衡方程，并求解：写成矩阵形式：即可写成的
29、形式解出： 由(*)求出各杆内力：关键是第 步。相当于单元分析，可得到单元杆端力与杆端位移的关系。(*)最后结构刚度方程（）是由平衡、变形、最后结构刚度方程（）是由平衡、变形、物理条件形成，若能由计算机直接形成（物理条件形成，若能由计算机直接形成（），即这三步均可不列，过程得以简化，关），即这三步均可不列，过程得以简化，关键在于求键在于求K、P;求求K的主要过程在于第的主要过程在于第3步，相当于单元分析，步，相当于单元分析，如果能求得各类单元的统一公式，求如果能求得各类单元的统一公式，求K则只则只是程序设计而已。是程序设计而已。 上述二点为刚度法的主要点，由此可设想上述二点为刚度法的主要点，由
30、此可设想直接刚度法的具体过程。直接刚度法的具体过程。讨讨 论论1-71-7 坐标系与单元定位向量坐标系与单元定位向量v1yyxjiMzxzu,Fxv,Fy,ez,确定结构上各点确定结构上各点(特别是结点特别是结点)的位置及几的位置及几何参数，坐标系类型主要有：何参数，坐标系类型主要有： 1、整体坐标系、整体坐标系(结构坐标系、固定坐标系结构坐标系、固定坐标系)。 2、局部坐标系、局部坐标系(自身坐标系、活动坐标系自身坐标系、活动坐标系)。一、建立坐标系的目的一、建立坐标系的目的说明：说明：图示中所示方向均为正向；图示中所示方向均为正向；结构坐标的原点可任意设置，通常设在左下角；结构坐标的原点可
31、任意设置，通常设在左下角；单元坐标系的原点规定设在单元的始结点，由此可确单元坐标系的原点规定设在单元的始结点，由此可确定定y轴的正向，及转角的正方向。轴的正向，及转角的正方向。二、单元定位向量二、单元定位向量定定 义：义：它是按单元结点编号顺序由单元各结点的是按单元结点编号顺序由单元各结点的未知量编号所组成的一列数字未知量编号所组成的一列数字(列向量列向量)，其分，其分量即为该单元结点的未知量编号。量即为该单元结点的未知量编号。 1、直接确定各单元刚度矩阵在结构刚度矩阵、直接确定各单元刚度矩阵在结构刚度矩阵中的位置，由此可极其方便且准确无误地形成经中的位置，由此可极其方便且准确无误地形成经约束
32、处理后的约束处理后的K； 2、可将单元的等效结点力、可将单元的等效结点力Fe叠加到叠加到P中；中； 3、可从、可从中取出中取出； 4、解决一维变带宽存贮的寻址问题；、解决一维变带宽存贮的寻址问题； 5、边界或约束处理；、边界或约束处理； 6、利用主从关系可模拟各种类型的结构等。、利用主从关系可模拟各种类型的结构等。单元定位向量的主要用途单元定位向量的主要用途( (在直接刚度法中在直接刚度法中) )：可以说，程序设计的自始至终，在每一个可以说，程序设计的自始至终，在每一个环节都离不开环节都离不开单元定位向量单元定位向量，计算机自动化计，计算机自动化计算所需的信息主要由它提供，所以在程序设计算所需
33、的信息主要由它提供，所以在程序设计中是各模块的组织者，起到主线的作用，占有中是各模块的组织者，起到主线的作用，占有非常重要的地位，值得深入研究。非常重要的地位，值得深入研究。对每个单元对每个单元 ，只要知道，只要知道i、j及两端结点的及两端结点的未知量编号，即可确定每个单元的定位向量未知量编号，即可确定每个单元的定位向量 MW (6)。ee例：求图示刚架各单元的定位向量例：求图示刚架各单元的定位向量MW(6)MW(6)。解：结点及单元编号如图，单元定位向量列表如下：解：结点及单元编号如图，单元定位向量列表如下：65341278123546789单元MW(6)123456789317 8 9 1
34、 2 310 11 12 4 5 64213 14 15 7 8 95316 17 18 10 11 12640 0 0 13 14 15750 0 0 16 17 18861 2 3 4 5 6127 8 9 10 11 123413 14 15 16 17 18561-81-8 形成结构单元定位向量形成结构单元定位向量的程序设计的程序设计采用平面刚架单元进行分析，首先介绍采用平面刚架单元进行分析，首先介绍几个概念：几个概念： 1 1、特殊结点、特殊结点凡未知量不足三个的结点称特殊结点。凡未知量不足三个的结点称特殊结点。介绍一些常用的数组和变量：介绍一些常用的数组和变量： NJ：结点：结点(
35、总总)数数 NJT：特殊结点数：特殊结点数 2 2、约束特征数、约束特征数表示结点的某一位移方向有无约束或表示结点的某一位移方向有无约束或该位移是否是无效未知量的人为赋值数字。该位移是否是无效未知量的人为赋值数字。1：表示有约束，沿该方向位移为零。：表示有约束，沿该方向位移为零。0：表示无约束，沿该方向可以有自由位移。：表示无约束，沿该方向可以有自由位移。10001：表示无效的未知量。：表示无效的未知量。 3 3、主从关系、主从关系表示非独立的结点位移未知量与主结表示非独立的结点位移未知量与主结点位移之间的从属关系。点位移之间的从属关系。主从关系由约束特征数表示主从关系由约束特征数表示：即从结
36、：即从结点相应未知量的约束特征数可直接填主结点相应未知量的约束特征数可直接填主结点号，当主结点为点号，当主结点为1时，以时，以1001代替。代替。4 4、结点未知量编号数组、结点未知量编号数组JW(3JW(3，NJ)NJ)这是形成单元定位向量所必须的数组，这是形成单元定位向量所必须的数组，要形成要形成JW(3，NJ)，则要了解结点约束情，则要了解结点约束情况，杆系类型况，杆系类型 (无效未知量情况无效未知量情况)，主从结，主从结点情况，故应先输入特殊结点信息，以点情况，故应先输入特殊结点信息，以JTX(4，NJT)表示。表示。以上过程简称以上过程简称约束处理约束处理，需事先在程，需事先在程序中
37、作为输入语句。序中作为输入语句。例例1 形成图示刚架结形成图示刚架结构的构的JTX(4,NJT)。65341278123546789解：本例特殊结点数解：本例特殊结点数NJT=2，特殊结点信特殊结点信息数组息数组JTX(4,2)为为78111111JTX 凡从属结点都应作为特殊结点处理，凡从属结点都应作为特殊结点处理，要填约束信息，要填约束信息，允许一主多从，而不允许允许一主多从，而不允许一从多主。一从多主。 JTX(4，NJT)的填写是项很认真的工的填写是项很认真的工作。编写好这个数组，就可以用一般平面作。编写好这个数组，就可以用一般平面刚架单元的程序设计来分析各种类型的杆刚架单元的程序设计
38、来分析各种类型的杆系结构。系结构。注注 意：意：1234例例1 1连续梁连续梁解：本例解：本例NJT=4123410001 10001 100011(4,4)11110001JTX例例2 2桁架桁架解：本例解：本例NJT=412341000(4,4)101110001 10001 10001 10001JTX12345164例3刚铰混合结构分二种情况 EA=const； EA= EA=， NJT=612345601001 100110011110001021000111000011JTX356211(4,3)211011JTX解：解： EA=const ，NJT=3 C PROGRAM OF
39、MWEXAM DIMENSION JH(2,20), JTX(4,20),JW(3,20),MW(6) WRITE(*,*) FINDING THE MW(6) OF * ELEMENTS OPEN(1, FILE = MWE.DAT ) READ(1,*) NE,NJ,NJT READ(l, *) (JH(I,J),I=1,2),J= 1,NE) READ(1, *) (JTX(I,J),I=1,4),J = 1,NJT) CALL QJW(NJ,NJT,JTX,JW, N)形成单元定位向量的程序设计形成单元定位向量的程序设计 DO 10 M= 1 ,NE CALL QMW ( M, NE,
40、 NJ ,JH,JW, MW)10 WRITE(*, 100) M, (MW(I), I = 1,6)100 FORMAT(1X,ELEMENT No. =,I5,/6X,MW * = ,615) STOP END SUBROUTINE QMW(M,NE,NJ,JH,JW,MW) DIMENSION JH ( 2, NE ), MW(6 ), JW ( 3 , NJ ) JL = JH(1, M) JR = JH(2, M) DO 100 J=l,3 MW(J) = JW(J ,JL )100 MW(J + 3) = JW(J ,JR ) RETURN END子程序子程序QJWQJW见书见书1
41、414页页子程序子程序QMWQMW为：为： 数据文件为：数据文件为： 9,8,2 3,1,4,2,5,3,6,4,7,5,8,6,1,2,3,4,5,6 7,1,1,1,8,1,1,1习题习题2：就本节三个例题，分别写出相应结构就本节三个例题，分别写出相应结构 的单元的单元定位向量定位向量 上机计算并打印结果上机计算并打印结果 65341278123546789例例4 4：编写本节例：编写本节例1 1三层刚架三层刚架求求MWMW的数据文件。的数据文件。第二章第二章 功能原理功能原理计算结构力学计算结构力学1、静力法推导桁式单元的单元刚度矩阵已较为麻烦，复杂、静力法推导桁式单元的单元刚度矩阵已较
42、为麻烦，复杂单元就更为困难只能求助于功能原理。单元就更为困难只能求助于功能原理。2、静力法推导结构刚度矩阵也很困难，由功能原理可推导、静力法推导结构刚度矩阵也很困难，由功能原理可推导出组装结构刚度矩阵的直接刚度法。出组装结构刚度矩阵的直接刚度法。3、处理单元荷载。、处理单元荷载。4、由于实际问题的复杂性，用静力法往往较为困难，求助、由于实际问题的复杂性，用静力法往往较为困难，求助于功能原理可以求得各种问题的精确解或近似解。于功能原理可以求得各种问题的精确解或近似解。5、了解功能原理和力学上的平衡原理、了解功能原理和力学上的平衡原理(或变形协调原理或变形协调原理)的的等价性。等价性。2-1 2-
43、1 概述概述: :学习功能原理的目的学习功能原理的目的一、基本知识一、基本知识 1、静力加载、静力加载(比例加载比例加载)。 2、应变能：弹性体因受外力作用变形而具有恢复原状态、应变能：弹性体因受外力作用变形而具有恢复原状态的能力，即具有做功的能力，又称为的能力，即具有做功的能力，又称为形变势能形变势能。 3、功能方程、功能方程(前提：前提：静力加载；静力加载；无耗散功无耗散功Q=0)：在：在微小的微小的t 内，荷载在结构位移上所作的功全部转变为应变内，荷载在结构位移上所作的功全部转变为应变能：能：W=U。 4、总势能：结构的形变势能、总势能：结构的形变势能+荷载势能荷载势能=U+V二、先修有
44、关概念二、先修有关概念 1、虚位移：为约束所允许的，在平衡附近的，、虚位移：为约束所允许的，在平衡附近的，可任意虚设的微小位移。所谓可任意虚设的微小位移。所谓虚虚，并非指不存在，并非指不存在，而是指与实际的力态独立无关。而是指与实际的力态独立无关。 2、理想约束：实际力态的约束力在虚设的位移、理想约束：实际力态的约束力在虚设的位移态上所做的功恒等于零的那种约束。态上所做的功恒等于零的那种约束。 3、虚功、虚功 W*=F u* (1)虚功并非不存在，只是强调功的两要素独立无虚功并非不存在，只是强调功的两要素独立无关。关。2-22-2 虚位移原理虚位移原理一、几个概念一、几个概念4、虚应变能、虚应
45、变能(内力虚功、虚变形能、虚变形功内力虚功、虚变形能、虚变形功)。 式中：式中：力：力F所引起的应力所引起的应力(力态力态)； *：虚位移：虚位移u* 所引起的虚应变所引起的虚应变(虚设的位虚设的位移态移态)。*VUdV (2)虚位移原理的叙述：弹性结构处于平衡状虚位移原理的叙述：弹性结构处于平衡状态的必要与充分条件是对于任意微小的态的必要与充分条件是对于任意微小的虚位移，虚位移，外力所作的虚功外力所作的虚功W*等于虚变形功等于虚变形功U* ( (虚应变虚应变能，内力虚功能，内力虚功) )。研究对象：实际的力态。研究对象：实际的力态。虚虚 设：位移态设：位移态(满足变形协调条件满足变形协调条件
46、)。 于是，虚功原理可表述为：于是，虚功原理可表述为： 体系平衡体系平衡 W*=U* (3) 其中其中：在虚设的任一几何可能的位移态上。：在虚设的任一几何可能的位移态上。二、虚位移原理及其证明二、虚位移原理及其证明证明：证明： 以最简单的杆件结构为例，如图：以最简单的杆件结构为例，如图：杆端力：结点对单元的作用力。杆端力：结点对单元的作用力。结点力：杆端对结点的作用力称为结点力：杆端对结点的作用力称为结点力。结点力。杆端力和结点力是作用力和反作用杆端力和结点力是作用力和反作用力。力。对结点对结点1，由平衡条件，由平衡条件X=0:P1-F12=0对结点对结点2，由平衡条件，由平衡条件X=0:P2
47、-F21-F23=012123,P12EA1EA21P1F12F1212F212P2F21F23F232*1u*2u(4)外力虚功为：外力虚功为： 式中：式中：表示微小，表示微小，* 表示虚设。表示虚设。虚应变能为：虚应变能为：*1122WPuPu23*1223*12*212121232*121212232()0()UNdxNdxNduNduFuFuFuFuFuFu *1122121212232*1121221232*()()(4)WUWUP uP uFuFuFuPFuPFFuWU证证必必要要性性：体体系系平平衡衡式式的的平平衡衡方方程程成成立立必必要要性性得得证证*1121221232*12
48、11222123()()0004WUWUPFuPFFuuuPFPFF证证充充分分性性：体体系系平平衡衡又又、可可任任意意假假设设，且且不不全全为为零零，故故要要上上式式成成立立，必必须须有有因因上上式式即即为为平平衡衡方方程程（ ）式式，故故充充分分性性得得证证。注意注意: :虽然是就上述特虽然是就上述特殊情况进行的证明，殊情况进行的证明，但可推广到其它的受但可推广到其它的受力状态及由若干个单力状态及由若干个单元所组成的弹性结构。元所组成的弹性结构。关于虚位移原理的讨论：关于虚位移原理的讨论： 1、仍然是一个、仍然是一个(虚功虚功)体系，两个状态；体系，两个状态； 2、力态静力可能的证明，建立
49、在位移态、力态静力可能的证明，建立在位移态(虚设虚设)的几何可能上；的几何可能上； 3、若力态转换成位移表达式，则要求力态变、若力态转换成位移表达式，则要求力态变形协调；形协调； 4、力态和虚设的位移态一定是独立无关。、力态和虚设的位移态一定是独立无关。2-32-3 虚应变能与外力虚功虚应变能与外力虚功利用虚位移原理于具体问题时，必须利用虚位移原理于具体问题时，必须列出虚应变能列出虚应变能U*和各种荷载的外虚功和各种荷载的外虚功W*，本节以平面杆系为例，具体介绍本节以平面杆系为例，具体介绍虚位移、虚位移、虚应变、虚应变能、外力虚功虚应变、虚应变能、外力虚功的概念及表的概念及表达式。达式。一、虚
50、应变能一、虚应变能这里，这里，“*”表示表示“虚设虚设”，为一阶变分算子，为一阶变分算子，“”与与“d”的运算规律相同，意义类似，的运算规律相同，意义类似，亦可看成是亦可看成是“微微小小”。3 3、虚应变能、虚应变能( (内力虚功内力虚功) )1 1、虚位移、虚位移2 2、虚应变、虚应变忽略剪切应变忽略剪切应变*zzdvdx *zuv (5)*2*2xzdudxdvdx(6)1）、轴向拉压）、轴向拉压实际的力态实际的力态x；虚设的位移态；虚设的位移态u*，所引起，所引起的虚应变为的虚应变为*0()()xlxxld udxd uduUAdxEAdxdxdx(7)2）、弯曲）、弯曲实际的力态实际的
