1、1.(2019河南,19,9分)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上.在A处测得塑像底部E的仰角为34,再沿AC方向前进21 m到达B处,测得塑像顶部D的仰角为60,求炎帝塑像DE的高度.(精确到1 m.参考数据:sin 340.56,cos 340.83,tan 340.67,1.73) 3A组河南中考题组解析解析在RtACE中,A=34,CE=55,AC=82.1.BC=AC-AB=82.1-21=61.1.(4分)在RtBCD中,CBD=60,CD=BCtan 6061.11.73105.7.(7分)DE=CD-CE
2、=105.7-5551.所以炎帝塑像DE的高度约为51 m.(9分)tan34CE550.67思路分析思路分析已知EC=55,A=34,先解RtACE,求得AC的长,由BC=AC-AB得BC的长,再解RtBCD,求得CD的长,可得DE=CD-CE51 m.2.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A,B两点间的距离为90 cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155 cm,
3、高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234 cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角CAE为82.4,高杠的支架BD与直线AB的夹角DBF为80.3.求高、低杠间的水平距离CH.(结果精确到1 cm.参考数据:sin 82.40.991,cos 82.40.132,tan 82.47.500,sin 80.30.983,cos 80.30.168,tan 80.35.850)解析解析 在RtCAE中,AE=20.7.(3分)在RtDBF中,BF=40.(6分)EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7151.四边形CEFH为矩形,CH=EF=151.即高、低杠间的水平距离CH约是
4、151 cm.(9分)tanCECAE155tan82.41557.500tanDFDBF234tan80.32345.850思路分析思路分析根据RtCAE和RtDBF中的边和角的数值,用正切函数分别求得AE,BF的长度,得EF=AE+AB+BF,由矩形的性质可知CH=EF,可以求出问题的答案.方法总结方法总结解直角三角形的应用问题,一般根据题意抽象出几何图形,结合所给的线段或角,借助边角关系、三角函数的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要根据条件构造直角三角形,再解直角三角形,求出实际问题的答案.3.(2017河南,19,9分)如图所示,我国两艘海监船A,B在南海海域巡航,某一时刻,两
5、船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C.此时,B船在A船的正南方向5海里处,A船测得渔船C在其南偏东45方向,B船测得渔船C在其南偏东53方向.已知A船的航速为30海里/小时,B船的航速为25海里/小时,问C船至少要等待多长时间才能得到救援?参考数据:sin 53,cos 53,tan 53,1.41 4535432解析解析过点C作CDAB交直线AB于点D,则CDA=90.(1分)设CD=x海里,则AD=CD=x海里.BD=AD-AB=(x-5)海里.(3分)在RtBDC中,CD=BDtan 53,即x=(x-5)tan 53,x=20.(6分)BC=20=25海里.B船到达C船处约需2
6、525=1(小时).(7分)在RtADC中,AC=x1.4120=28.2海里,A船到达C船处约需28.230=0.94(小时).(8分)而0.940),则AB=3x,AC=2x.则tan B=2.故选D.22ABBC2ACBC28.(2015天津,2,3分)cos 45的值等于()A. B.C. D. 1222323答案答案 B本题考查特殊角的三角函数值.cos 45=.229.(2015河北,9,3分)已知:岛P位于岛Q的正西方,由岛P,Q分别测得船R位于南偏东30和南偏西45方向上.符合条件的示意图是() 答案答案 D本题考查方向角的简单识别,选D.10.(2015甘肃兰州,4,4分)如
7、图,ABC中,B=90,BC=2AB,则 cos A=()A. B. C. D. 52122 5555答案答案 D设AB=k(k0),则BC=2k,B=90,AC=k,cos A=,故选D.22ABBC5ABAC5kk5511.(2017山东烟台,14,3分)在RtABC中,C=90,AB=2,BC=,则sin= .32A答案答案 12解析解析在RtABC中,C=90,AB=2,BC=,sin A=,A=60,sin=.3322A1212.(2017黑龙江哈尔滨,22,7分)如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上.(1)在图中画出以AB为底、面积为12的
8、等腰ABC,且点C在小正方形的顶点上;(2)在图中画出平行四边形ABDE,且点D和点E均在小正方形的顶点上,tanEAB=.连接CD,请直接写出线段CD的长. 32解析解析(1)正确画图.(2)正确画图.CD=.26考点二解直角三角形1.(2018重庆,10,4分)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角AED=58,升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米,升旗台坡面CD的坡度i=1 0.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米,则旗杆AB的高度约为()(参考数据:sin 580.85,cos 580.53,
9、tan 581.6)A.12.6米 B.13.1米 C.14.7米 D.16.3米答案答案 B如图,延长AB交ED的延长线于M,作CJDM于J.则四边形BMJC是矩形.在RtCJD中,=,设CJ=4k,DJ=3k,k0,已知CD=2,则有9k2+16k2=4,解得k=,BM=CJ=,DJ=,又BC=MJ=1,EM=MJ+DJ+DE=,在RtAEM中,tanAEM=,tan 58=1.6,解得AB13.1(米),故选B.CJDJ10.7543258565465AMEM85465AB思路分析思路分析延长AB交ED的延长线于M,作CJDM于J,则四边形BMJC是矩形.在RtCJD中求出CJ、DJ的长
10、,再根据tanAEM=即可解决问题.AMEM方法总结方法总结解直角三角形的实际应用问题的关键是根据实际情况建立数学模型,正确画出图形,找到直角三角形.根据题目中的已知条件,将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题,画出平面几何图形,弄清已知条件中各量之间的关系,若图中有直角三角形,根据边角关系进行计算即可;若图中没有直角三角形,可通过添加辅助线构造直角三角形来解决.2.(2016重庆,11,4分)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动.如图,在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36.然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处,然后沿水平方向行走6米至大树底端D处,斜面AB
11、的坡度(或坡比)i=1 2.4,那么大树CD的高度约为(参考数据:sin 360.59,cos 360.81,tan 360.73)()A.8.1米 B.17.2米 C.19.7米 D.25.5米答案答案 A作BFAE于F,如图所示,易知四边形BDEF为矩形,则FE=BD=6米,DE=BF,斜面AB的坡度i=1 2.4,AF=2.4BF,设BF=x米,则AF=2.4x米,在RtABF中,x2+(2.4x)2=132,解得x=5(舍负),DE=BF=5米,AF=12米,AE=AF+FE=18米,在RtACE中,CE=AEtan 36180.73=13.14米,CD=CE-DE=13.14-58.
12、1米,故选A.3.(2019内蒙古呼和浩特,20,7分)如图(1),已知甲地在乙地的正东方向,因有大山阻隔,由甲地到乙地需要绕行丙地.已知丙地位于甲地北偏西30方向,距离甲地460 km,丙地位于乙地北偏东66方向,现要打通穿山隧道,建成甲乙两地直达高速公路.如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C,可抽象成图(2)所示的三角形,求甲乙两地之间直达高速线路的长AB(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可). 解析解析过C作CDAB,垂足为D,在RtACD中,ACD=30,AD=ACsin 30=460=230 km,CD=ACcos 30=460=230 km,在RtBCD中,tanBCD=
13、,而BCD=66,BD=CDtan 66=230tan 66 km,AB=AD+DB=230(1+tan 66)km.答:甲乙两地之间直达高速线路的长为230(1+tan 66)km. 12323BDCD333方法总结方法总结解直角三角形的应用,要根据题意抽象出数学图形,构造适当的直角三角形,解直角三角形,得出实际问题的答案.4.(2019湖北黄冈,22,7分)如图,两座建筑物的水平距离BC为40 m,从A点测得D点的俯角为45,测得C点的俯角为60.求这两座建筑物AB,CD的高度.(结果保留小数点后一位,1.414,1.732) 23解析解析延长CD交过A点的水平线于点M,则AMC=90,A
14、M=BC=40 m.在RtADM中,tan =,DM=AMtan =40tan 45=40 m,在RtACM中,tan =,CM=AMtan =40tan 60=40 m,AB=CM,AB=40401.73269.3 m.则CD=CM-DM=40-40=69.3-40=29.3 m.答:建筑物AB的高度约为69.3 m,建筑物CD的高度约为29.3 m. DMAMCMAM333思路分析思路分析先延长CD交过A点的水平线于点M,然后分别在RtADM和RtACM中由正切求出DM和CM,进而求出AB,CD的高度.5.(2019吉林,21,7分)墙壁及淋浴花洒截面如图所示.已知花洒底座A与地面的距离A
15、B为170 cm,花洒AC的长为30 cm,与墙壁的夹角CAD为43,求花洒顶端C到地面的距离CE(结果精确到1 cm).(参考数据:sin 43=0.68,cos 43=0.73,tan 43=0.93) 解析如图,过点C作CFAB于点F,则AFC=90.(1分)在RtACF中,AC=30 cm,CAF=43,cosCAF=,AF=ACcosCAF=30cos 43=300.73=21.9(cm).(5分)CE=BF=AB+AF=170+21.9=191.9192(cm).因此,花洒顶端C到地面的距离CE约为192 cm.(7分)评分说明:(1)计算过程与结果中,写“=”或“”均不扣分;(2
16、)计算过程不加单位不扣分.AFAC6.(2019四川成都,18,8分)2019年,成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事,这大幅提升了成都市的国际影响力.如图,在一场马拉松比赛中,某人在大楼A处,测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35,底部D的俯角为45,如果A处离地面的高度AB=20米,求起点拱门CD的高度.(结果精确到1米;参考数据:sin 350.57,cos 350.82,tan 350.70) 解析解析如图,作CEAB于点E,AEC=CEB=90,由题意得CDB=EBD=90,1=35,2=45.四边形CDBE为矩形.CD=BE,CE=DB.在RtABD中,BD=AB=20米,C
17、E=20米.在RtACE中,AE=CEtan1.BE=AB-AE=20-20tan 356米.CD6米.答:起点拱门CD的高度约为6米.解题关键解题关键本题为解直角三角形的实际问题,过点C作CEAB构造出直角三角形和矩形是解题关键.7.(2018内蒙古呼和浩特,21,7分)如图,一座山的一段斜坡BD的长度为600米,且这段斜坡的坡度i=1 3(沿斜坡从B到D时,其升高的高度与水平前进的距离之比).已知在地面B处测得山顶A的仰角为33,在斜坡D处测得山顶A的仰角为45.求山顶A到地面BC的高度AC是多少米.(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可) 解析解析过点D作DHBC,垂足为H.斜坡BD
18、的坡度i=1 3,DH BH=1 3.在RtBDH中,BD=600,DH2+(3DH)2=6002,DH=60,BH=180.设AE=x米,在RtADE中,ADE=45,DE=AE=x,又HC=DE,EC=DH,1010HC=x,EC=60,在RtABC中,tan 33=,x=,AC=AE+EC=+60=.答:山顶A到地面BC的高度为米.10ACBC60 10180 10 xx180 10tan3360 101tan33180 10tan3360 101tan3310120 10tan331 tan33120 10tan331 tan338.(2018天津,22,10分)如图,甲、乙两座建筑物
19、的水平距离BC为78 m,从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48,测得底部C处的俯角为58,求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整数).参考数据:tan 481.11,tan 581.60. 解析如图,过点D作DEAB,垂足为E.则AED=BED=90.由题意可知,BC=78,ADE=48,ACB=58,ABC=90,DCB=90.可得四边形BCDE为矩形.ED=BC=78,DC=EB.在RtABC中,tanACB=,AB=BCtan 58781.60125.在RtAED中,tanADE=,ABBCAEEDAE=EDtan 48.DC=EB=AB-AE=BCtan 58-EDtan 48
20、781.60-781.1138.答:甲建筑物的高度AB约为125 m,乙建筑物的高度DC约为38 m.思路分析思路分析过点D作DEAB,构造直角ADE和矩形BCDE,通过解直角ABC和直角ADE可求出答案.9.(2018云南昆明,19,7分)小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国南亚博览会”的竖直标语牌CD,她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42,测得隧道底端B处的俯角为30(B,C,D在同一条直线上),AB=10 m,隧道高6.5 m(即BC=6.5 m),求标语牌CD的长(结果保留小数点后一位).(参考数据:sin 420.67,cos 420.74,tan 420.90,1.73)
21、 3解析解析如图,过点A作AEBD于点E,(1分)由题意得DAE=42,EAB=30,在RtABE中,AEB=90,AB=10,EAB=30,BE=AB=10=5.(2分)cosEAB=,AE=ABcos 30=10=5.(4分)在RtDEA中,DEA=90,DAE=42,tanDAE=,1212AEAB323DEAEDE=AEtan 4250.90=,(5分)CD=BE+ED-BC=5+-6.56.3(m).(6分)答:标语牌CD的长约为6.3 m.(7分)39 329 32思路分析思路分析作AEBD于点E,构造直角DEA和直角ABE,解直角DEA和直角ABE,求得BE,DE的长,进而可求出
22、CD的长度.10.(2017安徽,17,8分)如图,游客在点A处坐缆车出发,沿ABD的路线可至山顶D处.假设AB和BD都是直线段,且AB=BD=600 m,=75,=45,求DE的长.(参考数据:sin 750.97,cos 750.26,1.41) 2解析解析在RtBDF中,由sin =可得,DF=BDsin =600sin 45=600=300423(m).(3分)在RtABC中,由cos =可得,BC=ABcos =600cos 756000.26=156(m).(6分)所以DE=DF+EF=DF+BC=423+156=579(m).(8分)DFBD222BCAB11.(2017陕西,2
23、0,7分)某市一湖的湖心岛有一棵百年古树,当地人称它为“乡思柳”,不乘船不易到达,每年初春时节,人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳.小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离.于是,有一天,他们俩带着测倾器和皮尺来测量这个距离.测量方案如下:如图,首先,小军站在“聚贤亭”的A处,用测倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23,此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米;然后,小军在A处蹲下,用测倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24,这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米.请你利用以上所测得的数据,计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长(结果精确到1米).(参考数据:sin 230
24、.390 7,cos 230.920 5,tan 230.424 5,sin 240.406 7,cos 240.913 5,tan 240.445 2)解析解析作BDMN,垂足为D,作CEMN,垂足为E.设AN=x米,则BD=CE=x米.在RtMBD中,MD=xtan 23米.在RtMCE中,ME=xtan 24米.(4分)ME-MD=DE=BC,xtan 24-xtan 23=1.7-1.x=.x34.“聚贤亭”到“乡思柳”之间的距离约为34米.(7分)0.7tan24tan2312.(2017江西,17,6分)如图1,研究发现,科学使用电脑时,望向荧光屏幕画面的“视线角”约为20,而当手
25、指接触键盘时,肘部形成的“手肘角”约为100.图2是其侧面简化示意图,其中视线AB水平,且与屏幕BC垂直.(1)若屏幕上下宽BC=20 cm,科学使用电脑时,求眼睛与屏幕的最短距离AB的长;(2)若肩膀到水平地面的距离DG=100 cm,上臂DE=30 cm,下臂EF水平放置在键盘上,其到地面的距离FH=72 cm.请判断此时是否符合科学要求的100.参考数据:sin 69,cos 21,tan 20,tan 43,所有结果精确到个位141514154111415解析解析(1)如图,ABBC,B=90.在RtABC中,=20,AB=20=55(cm).(3分)(2)如图,延长FE交DG于点I,
26、DGGH,FHGH,EFGH,IEDG,四边形GHFI是矩形,IG=FH,DI=DG-FH=100-72=28(cm).(4分)在RtDEI中,sinDEI=,tan20BC411DIDE28301415DEI69.(5分)=180-69=111100.此时不符合科学要求的100.(6分)13.(2017天津,22,10分)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东64方向,距离灯塔120海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处,求BP和BA的长(结果取整数).参考数据:sin 640.90,cos 640.44,tan 642.05,取1.414. 2解析解析如图
27、,过点P作PCAB,垂足为C,由题意可知,A=64,B=45,PA=120,在RtAPC中,sin A=,cos A=,PC=PAsin A=120sin 64,AC=PAcos A=120cos 64.在RtBPC中,sin B=,tan B=,BP=153(海里),BC=PC=120sin 64,PCPAACPAPCBPPCBCsinPCB120 sin64sin45120 0.9022tanPCBtan45PCBA=BC+AC=120sin 64+120cos 641200.90+1200.44161(海里).答:BP的长约为153海里,BA的长约为161海里.思路分析思路分析在RtAP
28、C中,利用A的三角函数求出PC和AC;在RtPCB中利用B的三角函数求出BC和PB即可解决问题.解题关键解题关键解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确画出图形,找准三角形.14.(2016山东青岛,18,6分)如图,AB是长为10 m,倾斜角为37的自动扶梯,平台BD与大楼CE垂直,且与扶梯AB的长度相等,在B处测得大楼顶部C的仰角为65,求大楼CE的高度(结果保留整数).参考数据:sin 37,tan 37,sin 65,tan 65 3534910157解析解析过B作BFAE于F,在RtABF中,sin 37=,BF6.BFE=BDE=DEF=90,四边形B
29、FED是矩形.BF=DE=6.在RtBCD中,tan 65=,CD.CE=CD+DE=+627.答:楼高CE约为27米.BFAB10BF35CDBD10CD1571507150715.(2016新疆乌鲁木齐,20,10分)如图,建筑物AB的高为6 m,在其正东方向有一个通信塔CD,在它们之间的地面点M(B,M,D三点在一条直线上)处测得建筑物顶端A、塔顶C的仰角分别为37和60,在A处测得塔顶C的仰角为30,求通信塔CD的高度.(精确到0.01 m) 解析解析过点A作AECD于E,由题意,易知四边形ABDE是矩形,AB=DE=6 m,AE=BD.设CE=x m,在RtAEC中,AEC=90,C
30、AE=30,AE=x m.在RtCDM中,CD=CE+ED=(x+6)m,DM= m.在RtABM中,BM= m.由AE=BD=BM+DM,得x=+(x+6),解得x=+3,tan30CE3tan60CD3(6)3xtan37AB6tan3736tan37333 3tan37CD=+915.90 m.答:通信塔CD的高度约为15.90 m.3 3tan3716.(2016天津,22,10分)小明上学途中要经过A,B两地,由于A,B两地之间有一片草坪,所以需要走路线AC,CB.如图,在ABC中,AB=63 m,A=45,B=37,求AC,CB的长.(结果保留小数点后一位)参考数据:sin 370
31、.60,cos 370.80,tan 370.75,取1.414. 2解析解析如图,过点C作CDAB,垂足为D.在RtACD中,tan A=,sin A=,A=45,AD=CD,AC=CD.在RtBCD中,tan B=,sin B=,B=37,BD=,CB=.AD+BD=AB,AB=63,CD+=63.CDADCDACtan45CDsin45CD2CDBDCDCBtan37CDsin37CDtan37CD解得CD=27.00.AC=1.41427.00=38.17838.2,CB=45.0.答:AC的长约等于38.2 m,CB的长约等于45.0 m.63 tan371tan3763 0.751
32、0.7527.000.6017.(2016内蒙古呼和浩特,18,6分)在一次综合实践活动中,小明要测某地一座古塔AE的高度.如图,已知塔基顶端B(和A、E共线)与地面C处固定的绳索的长BC为80 m.他先测得BCA=35,然后从C点沿AC方向走30 m到达D点,又测得塔顶E的仰角为50.求塔高AE.(人的高度忽略不计,结果用含非特殊角的三角函数表示) 解析解析已知BCA=35,BC=80 m,由题意得EDA=50,DC=30 m.在RtABC中,cos 35=,AC=BCcos 35=80cos 35(m).(2分)在RtADE中,tan 50=,(3分)AD=AC+DC=(80cos 35+
33、30)m,(4分)AE=(80cos 35+30)tan 50m.(5分)答:塔高为(80cos 35+30)tan 50m.(6分)ACBCAEAD18.(2016陕西,20,7分)某市为了打造森林城市,树立城市新地标,实现绿色、共享发展理念,在城南建起了“望月阁”及环阁公园.小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度,来检验自己掌握知识和运用知识的能力.他们经过观察发现,观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得,因此经过研究需要两次测量.于是他们首先用平面镜进行测量,方法如下:如图,小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜,在镜面上做了一个标记,这个标记在
34、直线BM上的对应位置为点C.镜子不动,小亮看着镜面上的标记,他来回走动,走到点D时,看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合.这时,测得小亮眼睛与地面的距离ED=1.5米,CD=2米;然后,在阳光下,他们用测影长的方法进行了第二次测量,方法如下:如图,小亮从D点沿DM方向走了16米,到达“望月阁”影子的末端F点处,此时,测得小亮的影长FH=2.5米,身高FG=1.65米.如图,已知:ABBM,EDBM,GFBM.其中,测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计.请你根据题中提供的相关信息,求出“望月阁”的高AB的长度.解析解析由题意得ABC=EDC=GFH=90,ACB=ECD,AFB=G
35、HF.ABCEDC,ABFGFH.(3分)=,=.即=,=,(5分)解之,得AB=99(米).答:“望月阁”的高度为99米.(7分)ABEDBCDCABGFBFFH1.5AB2BC1.65AB182.5BC 19.(2015上海,22,10分)如图,MN表示一段笔直的高架道路,线段AB表示高架道路旁的一排居民楼.已知点A到MN的距离为15米,BA的延长线与MN相交于点D,且BDN=30.假设汽车在高架道路上行驶时,周围39米以内会受到噪音的影响.(1)过点A作MN的垂线,垂足为点H.如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶,当汽车到达点P处时,噪音开始影响这一排居民楼,那么此时汽车与点H的距离为
36、多少米?(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板.当汽车行驶到点Q时,它与这一排居民楼的距离QC为39米,那么对于这一排居民楼,高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长?(精确到1米) (参考数据:1.7)3解析解析(1)连接AP.由题意,知AHMN,AH=15,AP=39.在RtAPH中,由勾股定理得PH=36.答:此时汽车与点H的距离为36米.(2)由题意可知,PQ段高架道路旁需要安装隔音板,QCAB,QDC=30,QC=39.在RtDCQ中,DQ=2QC=78.在RtADH中,DH=15.PQ=PH-DH+DQ=36-15+78114-151.7=88.589.答:高架道路旁安装的
37、隔音板至少需要89米长.tan30AH3320.(2015江苏镇江,24,6分)某海域有A、B两个港口,B港口在A港口北偏西30的方向上,距A港口60海里.有一艘船从A港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B港口南偏东75方向的C处.求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号). 解析解析BAE=30,BFAE,ABF=30.(1分)FBC=75,ABC=45.(2分)CAE=45,BAC=75.(3分)C=60.过点A作ADBC,垂足为D,(4分)在RtADB中,ABD=45,AB=60海里,则BD=AD=30海里.在RtADC中,C=60,AD=30 海里,则CD=10 海里.
38、BC=(30+10)海里.(6分)2262621.(2015江苏南京,23,8分)如图,轮船甲位于码头O的正西方向A处,轮船乙位于码头O的正北方向C处,测得CAO=45.轮船甲自西向东匀速行驶,同时轮船乙沿正北方向匀速行驶,它们的速度分别为45 km/h和36 km/h.经过0.1 h,轮船甲行驶至B处,轮船乙行驶至D处,测得DBO=58.此时B处距离码头O有多远?(参考数据:sin 580.85,cos 580.53,tan 581.60) 解析解析设B处距离码头Ox km.在RtCAO中,CAO=45,tanCAO=,CO=AOtanCAO=(450.1+x)tan 45=4.5+x.(2
39、分)在RtDBO中,DBO=58,tanDBO=,DO=BOtanDBO=xtan 58.(4分)DC=DO-CO,360.1=xtan 58-(4.5+x).x=13.5.因此,B处距离码头O大约13.5 km.(8分)COAODOBO36 0.14.5tan58136 0.14.51.60 122.(2015浙江绍兴,20,8分)如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45,向前走6 m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60和30.(1)求BPQ的度数;(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1 m).备用数据:1.7,1.4. 32解析解析如图,延长
40、PQ交直线AB于点C.(1)BPQ=90-60=30.(2)设PQ=x m,则QB=QP=x m,在BCQ中,BC=xcos 30=x m,QC=x m,3212在ACP中,CA=CP,6+x=x+x,x=2+6,PQ=2+69 m,即该电线杆PQ的高度约为9 m.321233一、填空题(共3分)1.(2018西华一模,12)若关于x的方程x2-x+sin =0有两个相等的实数根,则锐角的度数为 .255分钟66分答案答案30解析解析关于x的方程x2-x+sin =0有两个相等的实数根,=(-)2-41sin =0,解得sin =,锐角=30.2212二、解答题二、解答题(共63分)2.(20
41、19平顶山一模,19)我国北斗导航装备的不断更新,极大方便人们的出行.光明中学组织学生利用导航到“金牛山”进行研学活动,到达A地时,发现C地恰好在A地正北方向,且距离A地11.46千米.导航显示路线应沿北偏东60方向走到B地,再沿北偏西37方向走一段距离才能到达C地,求B,C两地的距离(精确到1千米).(参考数据sin 530.80,cos 530.60,1.73) 3解析解析设BC=x千米.过点B作BDAC,交AC于点D,在RtBDC中,CBD=90-37=53,CD=xsin 530.8x,BD=xcos 530.6x,在RtADB中,DAB=60,AD=BD=0.6x1.730.2x=0
42、.346x,AC=AD+DC=11.46,0.346x+0.8x=11.46,x=10.答:B,C两地的距离约为10千米.33333.(2019新乡一模,19)如图所示,某数学活动小组要测量山坡上的信号塔PQ的高度,他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45,信号塔底端点Q的仰角为31,沿水平地面向前走100米到B处,测得信号塔顶端P的仰角是68,求信号塔PQ的高度.(结果精确到0.1米,参考数据:sin 680.93,cos 680.37,tan 682.48,tan 310.60,sin 310.52,cos 310.86) 解析解析如图,延长PQ交直线AB于点M,则PMA=90,设PM=x米
43、,在RtPAM中,PAM=45,AM=PM=x米,BM=(x-100)米,在RtPBM中,tanPBM=,tan 68=2.48,解得x167.57,PMBM100 xx在RtQAM中,tanQAM=,QM=AMtanQAM=167.57tan 31167.570.60100.54(米),PQ=PM-QM=167.57-100.5467.0(米).答:信号塔PQ的高度约为67.0米.QMAM思路分析思路分析本题考查解直角三角形的应用.延长PQ交直线AB于点M,设PM=x米,先由三角函数求出PM,再由三角函数求出QM,进而得出PQ的高.4.(2019焦作一模,20)某学校为增加体育馆观众座席数量
44、,决定对体育馆进行施工改造.如图,为体育馆改造的截面示意图.已知原座位区最高点A到地面的铅直高度AC为15米,原坡面AB的倾斜角ABC为45,原坡脚B与场馆中央的运动区边界的安全距离BD为5米.如果按照施工方提供的设计方案施工,新座位区最高点E到地面的铅直高度EG保持15米不变,使A,E两点间的距离为2米,使改造后坡面EF的倾斜角EFG为37.若学校要求新坡脚F需与场馆中央的运动区边界的安全距离FD至少保持2.5米(即FD2.5米),请问施工方提供的设计方案是否满足安全要求?请说明理由.33:sin37,tan3754 参考数据解析解析施工方提供的设计方案不满足安全要求.理由如下:在RtABC
45、中,AC=15米,ABC=45,BC=15米,在RtEFG中,EG=15米,EFG=37,GF=20米,EG=AC=15米,ACBC,EGBC,EGAC,四边形EGCA是矩形,GC=EA=2米,BF=GF-GC-BC=20-15-2=3米,BD=5米,FD=BD-BF=5-3=22.5.施工方提供的设计方案不满足安全要求.tan45ACtan37EG15345.(2019开封一模,19)如图,某数学社团测量坡角BCD=30的斜坡上大树AB的高度.小东在离山脚底部C点1米的F处,测得大树顶端A的仰角为45,树底部B的仰角为20,测得斜坡上树底部B点到山脚C点的距离为6米,求树AB的高度.(sin
46、 200.34,cos 200.94,tan 200.36) 3解析解析作EGBD于G,则四边形EFDG是矩形.在RtBDC中,BDC=90,BC=6米,BCD=30,DC=BCcos 30=6=9米,DF=DC+CF=9+1=10米,GE=DF=10米.(3分)在RtBGE中,BEG=20,BG=EGtan 20100.36=3.6(米).(6分)在RtAGE中,AEG=45,AG=GE=10米.AB=AG-BG=10-3.6=6.4(米).答:树AB的高度约为6.4米.(9分) 33326.(2018濮阳一模,19)如图,线段AB、CD分别表示甲、乙两建筑物的高,BAAD,CDDA,垂足分
47、别为A、D.从D点测得B点的仰角为60,从C点测得B点的仰角为30,甲建筑物的高AB=30米.(1)求甲、乙两建筑物之间的距离AD;(2)求乙建筑物的高CD. 解析解析(1)在RtABD中,AD=10(米).答:甲、乙两建筑物之间的距离AD为10米.(2)作CEAB于点E,则四边形CDAE是矩形.如图所示,在RtBCE中,CE=AD=10米,BE=CEtan =10=10(米),则CD=AE=AB-BE=30-10=20(米).答:乙建筑物的高度CD为20米.tanAB3033333337.(2018郑州二模,19)黄河,既是一条源远流长、波澜壮阔的自然河,又是一条孕育中华民族灿烂文明的母亲河
48、.数学课外实践活动中,小林和同学们在黄河南岸小路上的A,B两点处,用测角仪分别对北岸的观景亭D进行测量.如图,测得DAC=45,DBC=65.若AB=200米,求观景亭D到小路AC的距离.(结果精确到1米,参考数据:sin 650.91,cos 650.42,tan 652.14) 解析解析如图,过点D作DEAC,垂足为E,设BE=x米,则AE=(x+200)米.在RtDEB中,tanDBE=,DBE=65,DE=xtan 65.在RtDEA中,DAE=45,AE=DE,200+x=xtan 65,解得x175.4,DE=200+x375(米).答:观景亭D到小路AC的距离约为375米.DEB
49、E8.(2017郑州二模,20)如图,高铁列车座位后面的小桌板收起时可以近似地看作与地面垂直,展开小桌板后,桌面会保持水平.其中图1、图2分别是小桌板收起时和展开时的实物图,图3中的实线是小桌板展开后的示意图,其中OB表示小桌面的宽度,BC表示小桌板的支架.连接OA,此时OA=75厘米,AOB=ACB=37,且支架长BC与桌面宽OB的长度之和等于OA的长度,求点B到AC的距离.(参考数据:sin 370.6,cos 370.8,tan 370.75) 解析解析如图,延长OB交AC于点D,则ODAC.设BD=x厘米.在RtAOD中,OA=75厘米,AOD=37,cosAOD=,OD=OAcosA
50、OD750.8=60厘米,OB=OD-BD=(60-x)厘米.在RtBCD中,BCD=37,BD=x厘米,sinBCD=,BC=x厘米.OB+BC=OA,即60-x+x=75,x=22.5.点B到AC的距离是22.5厘米.ODOABDBCsinBDBCD0.6x5353思路分析思路分析延长OB交AC于点D,构造RtAOD和RtBCD,解直角三角形,求得BD的长.1.(2019洛阳一模,20)如图1,我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额,图2中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的某块匾额的截面示意图.已知BC=1米,MBC=37,从水平地面点D处看点C,仰角ADC=45,从点E处看点B,仰角AEB
