1、作业习题讲解郭建伟第一部分数字信号处理（第二版）吴镇扬第一章第三章习题1.2v判断下列序列是否是周期序列，若是，确定其周期长度v（1）v（2）)473cos()(nnx)7cos()4sin()(nnnx解答习题1.2v解：(1)由v可得v故为x(n)周期序列，且最小周期为14v（）由v可得v那么它们的最小公倍数为56v故为x(n)周期序列，且最小周期为56)473cos()(nnx3142wN)7cos()4sin()(nnnx142, 822211wNwN习题1.11v下列系统中，y(n)表示输出，x(n)表示输入，试确定系统是否是线性系统？是否是时不变系统？v（1）v（2）5)(2)(n
2、xny)()(2nxny习题1.11（1）（1）由 可得故所以y(n)为非线性又所以y(n)为时不变5)(2)(nxny5)(2)(2)()(2121nbxnaxnbxnaxT10)(2)(2)()(2121nbxnaxnbxTnaxT)(5)(2)(000ynynnxnnxT)()()()(2121nbxTnaxTnbxnaxT习题1.11（2）（2）由 可得所以y(n)为非线性又故y(n)为时不变)()(2nxny)()()(2)()()(22221212nxbnxnabxnxanbxnaxT)()()()(222121nbxnaxnbxTnaxT)()()(0020nnynnxnnxT)
3、()()()(2121nbxTnaxTnbxnaxT习题1.14v确定下列系统的因果性与稳定性v（3）v（4）)()(0nnxny)(5 .0)(nunhn（3）当 时，该系统是因果的，当 时，该系统是非因果的，又当x(n)有界，则y(n)也有界故该系统是稳定系统。（4）因为 时，h(n)=0,所以h(n)是因果系统又所以h(n)是稳定的00n00n0n25 . 011|5 . 0|)(0nnnnh)()(0nnxny)(5 . 0)(nunhn习题1.17v分别用直接卷积和z变换求v（3）)()(nuanxn)()(nRnyN1|0 a)(*)()(nynxnf习题1.17（直接法）由已知可
4、得：当 时，当 时，当 时，mmnxnynynxnf)()()(*)()( ?1010)()(NmmnNmmnmnuaamnua0n?0)(nf10Nn?11 -11)(1110aaaaaaanfnnnnmmnNn?11011)(aaaaanfNnNmmn。Z变换法（留数法）由已知可得而所以当 时，C内两个极点：a，1azazz|11)(X1?1|11)(Y1zzzzN?)1)(1 (11111)()()(1111zazzzzazzYzXzFNNcnNcndzzzazzjdzzzFjnf1111)1)(1 (121)(21)(cNnncNnndzzazzzjdzzazzzj) 1)(21)1)
5、(1 (21111111?Nn ?1111111)1(111)(aaaaaaanfNnNnnNnn?)1)(1 (11111)()()(1111zazzazzYzXzFcncncndzzazzjdzzzazjdzzzFjnf) 1)(21)1)(1 (121)(21)(11111?11)1(11)(111aaaaanfnnn?C内极点：a，1，0n0)(nf当 时，C内极点：a，1，还有z=0多阶极点，不好求。采用留数辅助定理，C外无极点，因此，。当 时，C内极点：a，1，还有z=0多阶极点，不好求。考虑有10Nn1|11)(Y1zzz?11101100)(111NnaaaNnaannfNnn
6、n习题1.20v讨论一个具有下列系统函数的线性时不变性因果系统v（1）对于什么样的a值范围系统是稳定的？v（2）如果 ，画出零极点图，并标出收敛区域。v（3）在Z平面上用图解证明该系统是一个全通系统，亦即频率响应的幅度为一常数。11111)(azzazX10 a习题1.20（1）由已知可得所以其极点为z=a,故为使系统稳定，应使|a|1;（2）当0a1时，极点 z=a，零点z= 由 可得收敛域为 所以可画出零极点图和收敛域。（3）azazazzazX111)(11111azaz1a|H(ejw)|=|AB|/|AC|=1/a 即全通 习题.习题3.4v设v求 、 周期卷积序列 ，以及 。oth
7、ersnnx0301)(othersnny0701)(rrnxnx)8()(rrnyny)8()()(nx)(ny)(nf)(kF习题3.4由周期卷积公式1010)()()()()(NmNmmymnxmnymxnf10)()()(NnknNWnfnfDFSkF习题3.6v计算下列有限长序列x(n)的DFT，假设长度为N。v（2）v（3）Nnnnnx000)()(10,)(Nnanxn习题3.6（2）)()(0nnnx)()(nxDFTkX10)(NnknNWnx100)(NnknNWnn0knNWnanx)()()(nxDFTkX10)(NnknNWnx10NnknNnWakNNkNaWaW1
8、(1)kNNaWa11(3)习题3.9v有限长为N10的两序列v作图表示 、 及950401)(nnnx951401)(nnny)(nx)(ny)(*)()(nynxnf习题3.9根据已知条件，可得到如下所示的x(n)和y(n)因为：而所以f(0)=1同理：f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4,f(4)=5,f(5)=3,f(6)=1,f(7)=-1,f(8)=-3,f(9)=-5,f(10)=-4,f(11)=-3,f(12)=-2,f(13)=-1,f(14)=0,f(15)=0,f(16)=0,f(17)=0,f(18)=010)()()(*)()(Nmmnxmynynxnfn. .
9、 . . . . . . .x(n)19121NNNy(n)n图示法习题3.10v已知两有限长序列v用直接卷积的DFT变换两种方法求解下列f(n)v（1）v（2）v（3）)()()(nxnxnf)()()(nynynf)()()(nynxnf)()2cos()(nRnNnxN)()2sin()(nRnNnyN（1）直接法：)()()(nynxnf)(2)()2cos()(22nReenRnNnxNnNjnNjN)(2)()2sin()(22nRjeenRnNnyNnNjnNjN)()()()()()(10nRmnymxnynxnfNNNm)()2(210)(2)(222nRjeeeeNNNmm
10、nNjmnNjmNjmNj）)(2210)(2)(222nRjeeeeNNmlNmnNjlNmnNjmNjmNj）)(4102)2(2)2(22nRjeeeeNNmnNjmnNjmnNjnNj）)(2)2(2sin(2)2sin(10nRmnNnNNNm）2)2sin(nNN21022102222)(knjNnnNjnNjknNNnnNjnNjejeeWjeekYotherNkjNkjNjeeNnnkNjnkNj01)2/(1)2/(210)1(2)1(2otherNkjNkjNkYkXkF01)4/(1)4/()()()(22NNjnNjknNNkejNejNWkFNnf2)1(210)4/
11、()4/()(1)(NjNjejNejN22)4/()4/(2)2sin(nNNZ变换法21022102222)(knjNnnNjnNjknNNnnNjnNjeeeWeekXOtherNkNeeNnnkNjnkNj01, 12210)1(2)1(2（2）)()()(nynynf)(2)()2sin()(22nRjeenRnNnyNnNjnNjN)()()()()()(10nRmnymynynynfNNNm)()2(210)(2)(222nRjeejeeNNNmmnNjmnNjmNjmNj）)(2210)(2)(222nRjeejeeNNmlNmnNjlNmnNjmNjmNj）)(41022)2
12、(2)2(22nRjeeeeNNmnNjmnNjmnNjnNj）2)2cos(nNN)(22(10)2(2)2(222nReeeeNNmmnNjmnNjnNjnNj）21022102222)(knjNnnNjnNjknNNnnNjnNjejeeWjeekYotherNkjNkjNjeeNnnkNjnkNj01)2/(1)2/(210)1(2)1(2otherNNNkYkYkF01, 14/)()()(2NNjNjknNNkeNeNWkFNnf2)1(2104/4/)(1)(NjNjeNeN224/4/Z变换法2)2cos(nNN（3）)()()(nxnxnf)(2)()2cos()(22nRe
13、enRnNnxNnNjnNjN)()()()()()(10nRmnymxnynxnfNNNm)()2(210)(2)(222nReeeeNNNmmnNjmnNjmNjmNj）)(2210)(2)(222nReeeeNNmlNmnNjlNmnNjmNjmNj）)(4102)2(2)2(22nReeeeNNmnNjmnNjmnNjnNj）2)2cos(nNN21022102222)(knjNnnNjnNjknNNnnNjnNjeeeWeekXOtherNkNeeNnnkNjnkNj01, 12210)1(2)1(2otherNNNkXkXkF01, 14/)()()(2NNjNjknNNkeNeN
14、WkFNnf2)1(2104/4/)(1)(NjNjeNeN224/4/2)2cos(nNN习题3.18研究两个有限工序列x(n)和y(n)，此二序列当n0时皆为0，并且各作其20点DFT，然后将两个DFT相乘，再计算乘积序列的IDFT得r(n)，试指出r(n)的哪些点对应于x(n)和y(n)作线性卷积应得到的点。80)(nnx200)(nny习题3.18解：令r(n)表示x(n)和y(n)循环卷积值，故其周期序列长度L为20，而x(n)和y(n)做线性卷积，卷积周期为N20+8-127；即20=LN=27，所以产生了混叠现象，混叠个数为27-207个，又因为混叠是发生在非零序列上，所以混叠发
15、生在序列的前7个点上，故循环卷积值r(n)的719对应于线性卷积的值（无混叠）习题3.19v设有两个序列： 1,2,3,4,5,0,0和1,1,1,1,0,0,0，试求：（1）它们的周期卷积（周期长度N=7）。（2）它们的循环总卷积（序列长度N=7），试问这个卷积结果与周期卷积结果有何不同？（3）它们的线性卷积，如采用DFT进行计算，问DFT的最少长度是多少？循环卷积步骤：循环卷积步骤： 补零其中一个序列周期延拓翻褶，截取计算区域循环移位被卷积两序列对应序号值相乘，再相加取主值序列线性卷积步骤：线性卷积步骤： 反转叠加相乘求和移位循环卷积与线性卷积的比较解：（1）6,3,6,10,14,12,
16、9周期延拓（2）6,3,6,10,14,12,9（3）1,3,6,10,14,10,9,5 L4+5-1=8习题3.22v试导出N16时的基四FFT，并画出流图习题3.22推导：由已知可得我们把其分成四等份：即简化：进一步简化：根据周期性，可得10)()(NnknNWnxkX140) 34(140) 24(140) 14(1404) 34 () 24 () 14 ()4 ()(NrkrNNrkrNNrkrNNrrkNWrxWrxWrxWrxkXrkNNrkNrkNNrkNrkNNrkNrkNNrWrXWWrXWWrXWWrXkX414034140241404140) 34 () 24 () 1
17、4 ()4 ()()()()()()(433221kXWkXWkXWkXkXkNkNkN同理可得：)()()()()42(433221kXWkXWkXWkXNkXkNkNkN)()()()()43(433221kXjWkXWkXjWkXNkXkNkNkN)4()4()4()4()4(4)4(33)4(2241NkXWNkXWNkXWNkXNkXNkNNkNNkN43434232421)()()()(NNkNNNkNNNkNWkXWWkXWWkXWkX)()()()(433221kXjWkXWkXjWkXkNkNkN习题3.27希望利用一个长度为50的有限单位脉冲响应滤波器来过滤一串很长的数据，
18、要求利用重叠保留法并通过FFT来实现这种滤波器。为做到这一点，首先输入各段必须重叠N个样本；其次必须从每一段产生的输出中取出M个样本，并将它们拼接在一起形成一长序列，即为滤波输出。设输入的各段长度为100个样本，而FFT的长度为128，循环卷积的输出序号为0127。（1）求N（2）求M（3）求取出的M个点的起点与终点序号，即从循环卷积的128点中取出哪些点去和前一段的点衔接起来？解：h(n)长度N=50，输入序列每段长度为100，则线性卷积的长度为100+50-1=149采用L=128的FFT计算循环卷积的输入为0127，长度为128。故由题意我们很容易地得到：（1）N=149-128=21（
19、2）M=79（3）2199习题3.27错解错解（1）输入各段必须重叠的样本数为滤波器长度减1：依题意有：N 149（2）输入段的长度 ：滤波器长度 50，相邻输入段之间（ 1）点发生重叠，圆周卷积后每一段输出 的前一（ 1）点发生混淆，去掉这一部分，把相邻段留下的点M +1衔接构成最终的输入，当 100，则有M51.（3）去掉混叠的前N（048）个点，和末尾补的28（100127）个零点，取出的M个点的序号为（4499）1NinN1N1N)(nyi1NinN1NinN习题3.31已知 是2N点实序列x(n)的DFT值，现在需要由X(k)求x(n)值，为提高运算效率，试设计用一个N点IDFT运算
20、一次求得2N点的x(n).提示：先组成, 12 , 1 , 0),(NkkX)()(21)(kNXkXkG)()(21)(2kNXkXWkHkN解：将x(n)分成奇偶点序列，即 又则解得：因为x1(n),x2(n)均为实序列，所以X1(k),X2(k)均具有共轭对称性)( 1)( 11,.,1 , 0)2()( 1nxDFTkXNnnxnx)( 2)( 21,.,2 , 1) 12()( 2nxDFTkXNnnxnx12,.,2 , 1 , 0)()(1202NkWnxkXNnknN1,.,1 ,0)(2)(1)(2NkkXWkXkXkN1,.,1 ,0)(2)(1)(2NkkXWkXNkXk
21、N)()(21)(1kNXkXkX)()(21)(22kNXkXWkXkN令：则所以所以即)(2)( 1)(kjXkXkY)()(kYIDFTny1,.,1 ,0)(Re)(1Nnnynx1,.,1 ,0)(Im)(2Nnnynxnisoddnxnisevennxnx)21(2)2(1)(谢谢循环卷积下式为循环卷积的计算公式：其的物理意义为：首先对y(m)作周期延拓并围绕纵轴折叠，得 ；作周期移位 后将对应项x(m)和 在 的主值区间内相乘然后逐项相加即得到f(n)。)()()()()()(10nRmnymxnynxnfNNmNNmny)( Nmy)()()(nRmnyNN10Nm10)()(
22、)()(NmmnynxkFIDFSnf习题.解：由已知可得又因为：故332132343)(2sssssHa5 . 0, 1, 321Tss211221232123211123121111353.08296.015751.0123123123123123)(21zzzzezeeeezzezezezezHTsTs习题4.3由已知可得：（1）脉冲响应不变法 由： 可得（2）双线性变换法 由： 可得03233|21|)(|wweHjw0323352www0323352)(TTjH2tan2wT03233235)2|arctan(4)(TTTjH习题4.6解：由已知可得：又所以当H(z)不变时，即边界频
23、率不变，则此时当 时，当 时，kHzfsc1,2 . 02sccfwfkHzfs5Hzfc500Hzfs200Hzfc20Hzfc100习题4.8解：由题意可得：而故TwTcc322tan2322211)(cccassssH32131112/66. 112. 912.1566.15)1 (196. 5)()(11zzzzsHzHzzTs习题4.9解：由题意可得：又：故 2cot2ccT322211)(cccassssH11112/)()(zzTssHzH23126)1 (zz2T习题4.10解：由已知可得所以 同理，由公式 可得进而三阶巴特沃斯低通原型变换为带通形式：HzfHzfHzfs720,300,6021sff1126520sinsin)sin(cos21210wwwww20w220sincoscoswwwc1221)(23ppppH12)( 2)(1)(23cccssssH63即66.112.9124.1566.15)1(196.5)()(2463211cos2202zzzzsHzHzwzzsa课堂习题某一个IIR数字高通滤波器的指标如下：频率在pi/4的衰减为3dB，用三阶巴特沃斯低通原型的双线性设计，采样周期T2s，求：（1）计算巴特沃斯低通的截止频率（2）确定H(z)
