1、Ar xyO4.1.1 4.1.1 圆的标准方程圆的标准方程复习引入复习引入问题问题1：平面直角坐标系中，如何确定一个：平面直角坐标系中，如何确定一个圆？圆？圆心：确定圆的位置圆心：确定圆的位置半径：确定圆的大小半径：确定圆的大小问题问题2：圆心是圆心是A(A(a a, ,b b),),半径是半径是r r的圆的方程是什么？的圆的方程是什么？xyOCM( (x, ,y) )rbyax22)()(x-a)2+(y-b)2=r2三个独立条件三个独立条件a a、b b、r r确定一个圆的方程确定一个圆的方程. .设点设点M ( (x, ,y) )为圆为圆C上任一点上任一点，则则|MC|= r。探究新知
2、探究新知 问题问题：是否在圆上的点都适合这个方程？是否适是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？合这个方程的坐标的点都在圆上？222)()(rbyax 点点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点在圆上，由前面讨论可知，点M的坐的坐标适合方程；反之，若点标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，的坐标适合方程，这就说明点这就说明点 M与圆心的距离是与圆心的距离是 r ，即点，即点M在圆心为在圆心为A (a, b)，半径为，半径为r的圆上的圆上想一想想一想?xyOCM( (x, ,y) )圆心圆心C( (a, ,b),),半径半径r特别地特别地,若圆心为若圆心
3、为O（0，0），则圆的方程为：），则圆的方程为：222)()(rbyax标准方程标准方程222ryx知识点一：圆的标准方程知识点一：圆的标准方程 1.说出下列圆的方程：说出下列圆的方程： (1)圆心在点圆心在点C(3, -4), 半径为半径为7.(2) 经过点经过点P(5,1)，圆心在点，圆心在点C(8,-3).2. 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：(1) (x + 7)2 + ( y 4)2 = 36 (2) x2 + y2 4x + 10y + 28 = 0 (3) (x a)2 + y 2 = m2 应用举例应用举例特殊位置的圆的方程特殊位
4、置的圆的方程: 圆心在原点圆心在原点: x2 + y2 = r2 (r0)圆心在圆心在x轴上轴上: (x a)2 + y2 = r2 (r0) 圆心在圆心在y轴上轴上: x2+ (y b)2 = r2 (r0) 圆过原点圆过原点: (x a)2 + (y-b)2 = b2 (b0)圆心在圆心在x轴上且过原点轴上且过原点: (x a)2 + y2 = a2 (a0)圆心在圆心在y轴上且过原点轴上且过原点: x 2 + (y-b)2 = b2 (b0)圆与圆与x轴相切轴相切: (x a)2 + (y-b)2 = a2+b2 (a2+b20)圆与圆与y轴相切轴相切: (x a)2 + (y-b)2
5、= a2 (a0)圆与圆与x,y轴都相切轴都相切: (x a)2 + (ya)2 = a2 (a0) 例例1 1 写出圆心为写出圆心为 ，半径长等于，半径长等于5的圆的方的圆的方程，并判断点程，并判断点 ， 是否在这个圆上。是否在这个圆上。)3, 2( A)7, 5(1M) 1, 5(2M 解：解：圆心是圆心是 ，半径长等于，半径长等于5的圆的标准方程的圆的标准方程是：是：)3, 2(A 把把 的坐标代入方程的坐标代入方程 左右两边相等，点左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点的坐标适合圆的方程，所以点 在这个圆上；在这个圆上；)7, 5(1M25) 3()2(22yx1M1M) 1,
6、5(2M2M2M 把点把点 的坐标代入此方程，左右两边的坐标代入此方程，左右两边不相等，点不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点的坐标不适合圆的方程，所以点 不不在这个圆上在这个圆上25)3()2(22yx.9跟踪训练跟踪训练已知两点已知两点M(3,8)和和N(5,2)(1)求以求以MN为直径的圆为直径的圆C的方程；的方程；(2)试判断试判断P1(2,8)，P2(3,2)，P3(6,7)是在圆上，在是在圆上，在圆内，还是在圆外？圆内，还是在圆外？知识探究二：点与圆的位置关系知识探究二：点与圆的位置关系 探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关 系？
7、系？M MO O|OM|OM|r r点在圆内点在圆上点在圆外(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2; ;(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2=r r2 2(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2时时, ,点点M M在圆在圆C C外外; ;(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2=r r2 2时时, ,点点M M在圆在圆C C上上; ;(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2时时, ,点点M M在圆在圆C C内内.
8、.点与圆的位置关系点与圆的位置关系: :知识点二：点与圆的位置关系知识点二：点与圆的位置关系待定系数待定系数法法解：设所求圆的方程为：解：设所求圆的方程为：因为因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上都在圆上所求圆的方程为所求圆的方程为例例2 ABC2 ABC的三个顶点的坐标分别是的三个顶点的坐标分别是A(5,1),A(5,1), B(7,-3),C(2,-8), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。求它的外接圆的方程。222222222)8()2()3()7()1 ()5(rbarbarba,. 53, 2rba25) 3()2(22yx222)()(rbya
9、x例例3 3 己知圆心为己知圆心为C C的圆经过点的圆经过点A(1,1)A(1,1)和和B(2,-2),B(2,-2),且圆心在且圆心在直线直线l:x-y+1=0l:x-y+1=0上上, ,求圆心为求圆心为C C的圆的标准方程的圆的标准方程. .圆经过圆经过A(1,1),B(2,-2)解解2:设圆设圆C的方程为的方程为222()(),xaybr圆心在直线圆心在直线l:x-y+1=0上上22222210(1)(1)(2)( 2)ababrabr 325abr 22(2)25.Cy圆心为 的圆的标准方程为(x+3)待定系数法待定系数法解解: :A(1,1),B(2,-2)例例3 3 己知圆心为己知
10、圆心为C C的圆经过点的圆经过点A(1,1)A(1,1)和和B(2,-2),B(2,-2),且圆心在且圆心在直线直线l:x-y+1=0l:x-y+1=0上上, ,求圆心为求圆心为C C的圆的标准方程的圆的标准方程. .312 1( ,),3.222 1ABABDk 线段的中点113().232ABx线段的垂直平分线CD的方程为：y+即：即：x-3y-3=0103,3302xyxlxyy 联立直线 CD的方程：解得：圆心圆心C(-3,-2)22(1 3)(12)5.rAC 22(2)25.Cy圆心为 的圆的标准方程为(x+3)练习练习2.2.根据下列条件，求圆的方程：根据下列条件，求圆的方程：（
11、1 1）求过两点）求过两点A A(0,4)(0,4)和和B B(4,6),(4,6),且圆心在直线且圆心在直线x x- -y y+1=0+1=0上的圆的标准方程。上的圆的标准方程。（2 2）圆心在直线）圆心在直线5x-3y=85x-3y=8上，又与两坐标轴相上，又与两坐标轴相切，求圆的方程。切，求圆的方程。（3 3）求以）求以C C(1,3)(1,3)为圆心，且和直线为圆心，且和直线3x-4y-7=03x-4y-7=0相切的直线的方程。相切的直线的方程。1.点点(2a, 1 a)在圆在圆x2 + y2 = 4的内部的内部,求实数求实数 a 的的取值范围取值范围.思考思考例例 已知圆的方程是已知
12、圆的方程是x2 + y2 = r2，求经过圆上一求经过圆上一 点点 的切线的方程。的切线的方程。),(00yxMXY0),(00yxM解解: :)(,00 xxkyy设切线方程为如图,00 xykOMOM的斜率为半径00,yxkOM所以垂直于圆的切线因)(0000 xxyxyy切线方程为202000,yxyyxx整理得,22020ryx200ryyxx所求圆的切线方程为.17 如图所示，一座圆拱桥，当水面在如图所示，一座圆拱桥，当水面在l位置位置时，拱顶离水面时，拱顶离水面2米，水面宽米，水面宽12米，当水面下降米，当水面下降1米后，水面宽多少米？米后，水面宽多少米？【分析】【分析】建立坐标系
13、求解建立坐标系求解.18【解】【解】以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为竖直直线为y轴，建立直角坐标系，如图所轴，建立直角坐标系，如图所示示.19设圆心为设圆心为C，水面所在弦的端点为，水面所在弦的端点为A、B，则由已知得则由已知得A(6，2)设圆的半径为设圆的半径为r，则，则C(0，r)，即圆的方程为即圆的方程为x2(yr)2r2.将点将点A的坐标的坐标(6，2)代入方程得代入方程得36(r2)2r2，r10.20【点评】【点评】本题是用解析法解决实际问题本题是用解析法解决实际问题.21跟踪训练跟踪训练3 如图如图(1)所示是某圆拱桥的一孔圆拱的所示
14、是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图该圆拱跨度示意图该圆拱跨度AB20 m，拱高，拱高OP4 m，在建造时每隔在建造时每隔4 m需用一个支柱支撑，求支柱需用一个支柱支撑，求支柱CD的高度的高度(精确到精确到0.01 m).22解：解：建立图建立图(2)所示的直角坐标系，则圆心在所示的直角坐标系，则圆心在y轴轴上设圆心的坐标是上设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是，圆的半径是r，那，那么圆的方程是么圆的方程是x2(yb)2r2.下面用待定系数法下面用待定系数法求求b和和r的值因为的值因为P、B都在圆上，所以它们的都在圆上，所以它们的坐标坐标(0,4)、(10,0)都是这个圆的方程的解于是都是这个圆的方程的解于是得到方程组得到方程组.231.1.圆的标准方程圆的标准方程222)()(rbyax（圆心（圆心C( (a, ,b),),半径半径r）2.2.点与圆的位置关系点与圆的位置关系3.3.求圆的标准方程的方法：求圆的标准方程的方法： 待定系数法待定系数法 几何法几何法小结小结
