1、5/12/2022第一章 矢量分析15/12/2022第一章 矢量分析1 哈密顿算子哈密顿算子 哈密顿引进了一个矢性微分算子：称为哈密顿算子哈密顿算子或 算子算子。 算子本身并无意义，而是一种微分运算符号，同时又被看作是矢量同时又被看作是矢量。ijkxyz 5/12/2022第一章 矢量分析25/12/2022第一章 矢量分析2其运算规则如下：,uuuijkuijkxyzxyzuugrad()div,xyzyxzAijkA iA jA kxyzAAAxyzA5/12/2022第一章 矢量分析35/12/2022第一章 矢量分析3由此可见，数量场u的梯度与矢量场A的散度与旋度都可用 表示。()(
2、)(),xyzyyxzzzijkxyzAAAAAAAAAijkyzzxxy rotA AA A5/12/2022第一章 矢量分析45/12/2022第一章 矢量分析4此外，为了在某些公式中使用方便，我们还引进如下的一个个数性微分算子数性微分算子它既可作用在数性函数u（M）上，又可作用在矢性函数B（M）上。如(),xyzxyzA iA jA kijkxyzAAAxyz A A,xyzuuuuAAAxyzA A5/12/2022第一章 矢量分析55/12/2022第一章 矢量分析5应当注意应当注意这里 与 是完全不同的。 现在我们把用 表示的一些常见公式列在下面，以便于查用，其中u，v是数性函数，
3、A，B为矢性函数。,xyzAAAxyzB BB BB BA AB B(1)()(2)(3)cucu AAAAAAAA（c ）=c（c ）=cA AA A（c为常数），（c为常数），（c为常数），5/12/2022第一章 矢量分析65/12/2022第一章 矢量分析6(4)(5)(6)(7)(8)(9)uvuuuuuvuvvu ccccABABABABABABABAB（uv）=（）=（）=（）=（）=（ ）=(10)()(11)()(12)()()()(),uuuuuu A AA AA AA AA AA AA AB BA AB BA AB B + + B BA AB BA A）=（c为常矢），（
4、c为常矢），5/12/2022第一章 矢量分析75/12/2022第一章 矢量分析72(13)()()()(14)()()()()()(15)()(16)() 0(17)() 0(18)()()uuuu ABBAABABBAABABBAABBAABBAABBAABABA AAAAAAA=（其中u为调和量） xyzAA iA jA k （其中 ）5/12/2022第一章 矢量分析85/12/2022第一章 矢量分析8在下面的公式中,rxiyjzk rr00(19),(20)3,(21)0,(22)( )( ),(23)( , ),( )(24)( )( ),rrrrrrf uf uufff u
5、vuvuvfrf rrfr rr5/12/2022第一章 矢量分析95/12/2022第一章 矢量分析9（27）奥氏公式（28）斯托克斯公式3(25) ( ) 0,(26)()0 (0),f r rr rrddV,SA AS SA A() d .lSd AlASAlAS5/12/2022第一章 矢量分析105/12/2022第一章 矢量分析10例例1 证明证证().uvuvvu()()()()()()()uvijkuvxyzuvuvuvijkxyzvuvuuviuvjxxyyvuuvkzz5/12/2022第一章 矢量分析115/12/2022第一章 矢量分析11vvvuijkxyzuuuvi
6、jkxyzuvvu5/12/2022第一章 矢量分析125/12/2022第一章 矢量分析12算子 实际上是三个数性微分算子 的线性组合，而这些数性微分算子是服从乘积的微分法则的，就是当他们作用在两个函数的乘积时，每次只对其中一个因子运算，而把另一个因子看作常数。因此作为这些数性微分算子的线性组合的 ，在其微分性质中，自然也服从乘积的微分法则。ijkxyz ,xyz5/12/2022第一章 矢量分析135/12/2022第一章 矢量分析13明确这一点，就可以将例1简化成下面的方法来证明。证证 根据 算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有()()().ccuvu vuv ()ccuvuvvuu
7、vvu 在上式右端，我们根据乘积的微分法则把暂时看成常数的量，附以下标c，待运算结束后，再将其除去。依此，根据公式（1）就得到5/12/2022第一章 矢量分析145/12/2022第一章 矢量分析14例例2 证明证证：根据 算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有()uuu A AA A + +A A()ccuuuA AA A + +A A().ccuuu A AA AA AccuuuA AA AA A()uuu A AA A + +A A由公式（2），（7）分别有所以5/12/2022第一章 矢量分析155/12/2022第一章 矢量分析15例例3 证明证证 根据 算子的微分性质，并按乘积的
8、微分法则，有()()()A AB BB BA AA AB B()()()cc A AB BA AB BA AB B()()()a bcc abb ca由矢量混合积的轮换性：将上式两端中的常矢都轮换到常矢都轮换到的前面的前面，同时使得变矢都留在变矢都留在的后面的后面5/12/2022第一章 矢量分析165/12/2022第一章 矢量分析16()()()()()()()()().ccccccA AB BA AB BA AB BA AB BB BA AB BA AA AB BB BA AA AB B所以5/12/2022第一章 矢量分析175/12/2022第一章 矢量分析17 在 算子的运算中，常
9、常用到三个矢量的混合积公式这些公式都有几种写法，因此在应用这些公式时，就要利用它的这个特点，设法将其中的常设法将其中的常矢都移到矢都移到的前面，同时使得变矢都留在的前面，同时使得变矢都留在的后面。的后面。()()()a bcc abb ca()()() ,abca c ba b c 及二重矢量积公式5/12/2022第一章 矢量分析185/12/2022第一章 矢量分析18例例8 验证格林第一公式格林第一公式与格林第二公式格林第二公式证证 在奥氏公式 中，取 并应用公式（10）有()()Suvdvuu v dV S S()().Suvvudu vv u dV S SSddVA AS SA A,Auv5/12/2022第一章 矢量分析195/12/2022第一章 矢量分析19同理将此两式相减，即得格林第二公式。()()().Suvduv dVuvu v dV S S()(),Svudvuv u dV S S
