1、2.1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动2.2 刚体定轴转动定律及其应用刚体定轴转动定律及其应用2.3 对定轴转动的角动量守恒对定轴转动的角动量守恒2.4 刚体定轴转动的功和能刚体定轴转动的功和能 刚体：特殊的质点系。刚体：特殊的质点系。(1) (1) 无限多的质点组成的有限大小的质点系（实际上无限多的质点组成的有限大小的质点系（实际上 是物质连续分布的物体，其微分体积称为质元是物质连续分布的物体，其微分体积称为质元) )；(2) (2) 无论施加多大的力都不会改变形状和大小，即任无论施加多大的力都不会改变形状和大小，即任 意两点间的距离不会因施力和运动而改变；意两点间的距离不会因施力和运动而改变
2、；(3) (3) 同质点一样，刚体也是物体的理想简化模型。同质点一样，刚体也是物体的理想简化模型。刚体是受力时形状和体积不改变的物体，刚体是固体物件的理刚体是受力时形状和体积不改变的物体，刚体是固体物件的理想化模型。想化模型。刚体的一般运动都可以认为是平动和转动的结合。刚体的一般运动都可以认为是平动和转动的结合。平动平动 在运动中，刚体上各点的运动情况均相同。在运动中，刚体上各点的运动情况均相同。转动转动 最简单的是定轴转动。此时刚体上各质点均绕同一轴作最简单的是定轴转动。此时刚体上各质点均绕同一轴作 圆周运动，若转轴是固定不动的，则为定轴转动。圆周运动，若转轴是固定不动的，则为定轴转动。A
3、B AB转转轴轴o通常用刚体通常用刚体质心的运动质心的运动来代表整个刚体的平动。来代表整个刚体的平动。刚体运动的两种基本形式刚体运动的两种基本形式一、一、 平动和转动平动和转动不宜用线量来描述。不宜用线量来描述。二、描述刚体的转动：二、描述刚体的转动：1. 1. 角位移：角位移：，单位：，单位：rad (rad (弧度弧度) ) 或无。或无。O OP P2. 2. 角速度：角速度：tddtt0lim单位：单位：rad / srad / s，或，或 s s-1 -1 。3. 3. 角加速度：角加速度：22tddtdd单位：单位：rad / srad / s2 2，或，或 s s-2 -2 。 类
4、似质点运动学，对于匀加速转动，类似质点运动学，对于匀加速转动， 不变，有不变，有)(2,0202221000ttt三、角量和线量的关系：三、角量和线量的关系：1. 1. 角量用来描写整个刚体：角量用来描写整个刚体： 线量用来描写刚体上的点线量用来描写刚体上的点：,avr,rs rdds rtddrtddsvrrrrvartddrtddvant222)(,r rd d dsdsOrvvrtdrdrtddtdvdarv其中rvavarraranntt290sin,sin, 定轴转动时， 和 只有两种可能的取向，这时把它们当作标量，以正负号表示这两种取向。r2. 实际上， 为标量，d, , 为矢量，
5、d,矢量的方向与旋转方向符合右手螺旋关系tddtdd,对定轴转动， 方向沿 或2.1.3 定轴转动刚体的转动惯量定轴转动刚体的转动惯量 miidmrJrmJ)( )(22连连续续分分立立dmrmJ反映刚体转动惯性的大小反映刚体转动惯性的大小（1）与刚体的质量有关。如铁盘与木盘）与刚体的质量有关。如铁盘与木盘（2）在质量相同的情况下，与质量的分）在质量相同的情况下，与质量的分布有关，如：圆盘与圆环。布有关，如：圆盘与圆环。（3）与转轴的位置有关。）与转轴的位置有关。一、转动惯量的定义一、转动惯量的定义ldrdsrdvrdmrJmmmm 线线面面积积体体积积 2222例例1 1：均匀圆环对于中心垂
6、直轴的转动惯量：均匀圆环对于中心垂直轴的转动惯量（1） 选取微元选取微元 dm dmRdRmdldm22 （2）求）求 d J dmRdmRdJ222 （3）求）求 J22022mRdmRJ 二、几种典型刚体的转动惯量二、几种典型刚体的转动惯量RmCdm2mRJc 相当于质量为相当于质量为m的质点对轴的的质点对轴的J例例2 2：求均匀圆盘对于中心垂直轴的转动惯量：求均匀圆盘对于中心垂直轴的转动惯量RmC（1） 选微元选微元d mrdrRmrdrdsdm 222 (2)求求 d J利用上题结果利用上题结果 dJ = r2 dm(3) 求求 J22022212mRrdrRmrdmrJRm 221m
7、RJ rdr0解：可视圆盘由许多小圆环组成。解：可视圆盘由许多小圆环组成。例例3 3：求均匀细杆对中心轴及边缘轴的转动惯量：求均匀细杆对中心轴及边缘轴的转动惯量2121mlJc 对质心轴对质心轴CAmL2L2xxdxdxlmdxdm ）（1dxxdmxdJ 222 ）（dxxdJJLLmc 2223）（231mlJA 对边缘轴对边缘轴可见，质量相同，形状相同，转轴不同，可见，质量相同，形状相同，转轴不同，J不同。不同。2121ml 对质心轴对质心轴0三、关于三、关于J的几条规律的几条规律1. 对同一轴对同一轴 J具有可叠加性具有可叠加性J =Ji Jm rzi ii 22. 平行轴定理平行轴定
8、理JJmdc 2 CdOmJCJ平行平行说明说明1. .由平行轴定律可见，在各平行的转轴之中，由平行轴定律可见，在各平行的转轴之中，通过质心的转轴对应的转动惯量最小。通过质心的转轴对应的转动惯量最小。2. .两个都不通过质心的平行转轴之间不存两个都不通过质心的平行转轴之间不存在类似关系。在类似关系。又如求均匀圆盘对于通过其边缘一点又如求均匀圆盘对于通过其边缘一点 O 的平行的平行轴的转动惯量轴的转动惯量:2COmdJJ 2222321mRmRmRoJ R C mO由前面例由前面例3中结果中结果2CAmdJJ 22231212mLLmLm 作业作业1：2-1；2-5； 2-8 2.2 刚体的定轴
9、转动定律及应用刚体的定轴转动定律及应用 2.2 .1 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律一一力矩力矩外力对刚体转动的影响，不仅与力的大小有关，而且外力对刚体转动的影响，不仅与力的大小有关，而且与力的作用点的位置和方向都有关。即，只有力矩才与力的作用点的位置和方向都有关。即，只有力矩才能改变刚体的转动。当能改变刚体的转动。当M=0时，刚体匀速转动或静止时，刚体匀速转动或静止frM frfrffrM对对转转动动没没影影响响1111 frMfrfrM 沿沿方向：方向：大小：大小： sinrfmff11 应应理理解解为为在在转转动动平平面面内内ffr 二二转动定律转动定律把刚体看成由把刚体看成由N个
10、质点组成的质点系个质点组成的质点系的的合合力力刚刚体体内内其其它它质质点点对对内内力力，的的合合力力体体对对外外力力，刚刚体体以以外外其其他他物物对对iiiiimfmFm利用牛顿第二定律利用牛顿第二定律iiiiamfF itiititiniininamfFamfF对对转转轴轴的的力力矩矩为为零零与与ininfF iitiiititramrfF it ira , ,定轴定轴刚体刚体zFimiri fi 2sinsiniiiiiiiirmrfrF 0sin iiirf 对所有质点列出此式，并求和对所有质点列出此式，并求和 22siniiiiiiizrmrmrFM 外外内力矩成对出现，且大小相等内力
11、矩成对出现，且大小相等方向相反，作用在一条直线上方向相反，作用在一条直线上上式上式 zzJM 外2sinsiniiiiiiiiiiirmrfrF zzJM 外轴轴外外力力矩矩的的代代数数和和是是对对外外zMz.12. 定轴下可不写角标定轴下可不写角标 zMFJma 4. 与牛顿第二定律比较与牛顿第二定律比较与与 方向相同的力矩取正方向相同的力矩取正与与 方向相反的力矩取负方向相反的力矩取负 力矩的正方向：力矩的正方向： JM 刚体所受的对于某固定转轴的合外力矩等于刚体对刚体所受的对于某固定转轴的合外力矩等于刚体对同一转轴的转动惯量与它所获得的角加速度的乘积。同一转轴的转动惯量与它所获得的角加速
12、度的乘积。刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律讨论讨论 JM amF 瞬时关系瞬时关系 3. a M，方向相同，瞬时关系，对同一轴。，方向相同，瞬时关系，对同一轴。 只适用于惯性系。只适用于惯性系。例：某飞轮直径例：某飞轮直径 d=50cm, 绕中心垂直轴转动，转绕中心垂直轴转动，转动惯量动惯量 J=2.4千克千克米米2, 转速转速n0=1000转转/分，若制动分，若制动时闸瓦对轮的压力为时闸瓦对轮的压力为 N=50千克力，闸瓦与轮间的千克力，闸瓦与轮间的滑动摩擦系数滑动摩擦系数 =0.4问：制动后飞轮转过多少圈停止？问：制动后飞轮转过多少圈停止？ fd(1) 求求 2/4 .204 . 22
13、5. 08 . 9504 . 0秒秒弧弧度度由由转转动动定定律律 JMJM Nf 以以向向外外为为正正2dfM （2）求圈数）求圈数 26020220202 n圈圈弧弧度度4322702704.2023020 Nn2.2.2 转动定律应用举例转动定律应用举例 解题步骤解题步骤: 1. 认刚体认刚体; 2. 定转轴定转轴,找运动找运动; 3. 分析力和力矩分析力和力矩; 4. 定转向定转向,列方程。列方程。 特别注意特别注意: : 1. 明确转动轴位置。明确转动轴位置。2. 选定转动的正方向选定转动的正方向, 注意力矩、角速度、角加速注意力矩、角速度、角加速 度的正负。度的正负。 3. 同一方程
14、式中所有量都必须相对同一转轴。同一方程式中所有量都必须相对同一转轴。二类问题二类问题:第一类第一类: 由角量运动由角量运动,求力矩。求力矩。(微分法微分法)第二类第二类: 由力矩及初始条件由力矩及初始条件,求刚体运动。求刚体运动。(积分法积分法)对轮：对轮：对对m :定轴定轴ORthmv0=0绳绳解：轮与解：轮与m为联结体为联结体,轮为定轴轮为定轴转动、转动、m为平动为平动,但二者用绳联但二者用绳联系起来。系起来。m的速度大小与轮边的速度大小与轮边缘线速度大小相等。缘线速度大小相等。)1( JTR )2(maTmg T NGmgT = - Tma例例1. .己知：定滑轮为均匀圆盘，其上绕一细绳
15、，绳己知：定滑轮为均匀圆盘，其上绕一细绳，绳一端固定在盘上，另一端挂重物一端固定在盘上，另一端挂重物m。绳与轮无相对滑。绳与轮无相对滑动，绳不可伸长。轮半径动，绳不可伸长。轮半径R=0.2m，m=1kg, , m下落下落时间时间 t = 3 s，v0=0, , h=1.5m。求：轮对求：轮对O轴轴 J = ?= ?运动学关系：运动学关系：a =aR(3)hat=122(4)联立解得：联立解得：22)12(mRhgtJ 222 . 01)15 . 1238 . 9( )mkg(14. 12 例例2：如图，设滑块：如图，设滑块A，重物，重物B及滑轮及滑轮C的质量分别为的质量分别为MA，MB，MC。
16、滑轮滑轮C是半径为是半径为 r 的均匀圆板。滑块的均匀圆板。滑块A与桌面之与桌面之间，滑轮与轴承之间均无摩擦，轻绳与滑轮之间无滑动。间，滑轮与轴承之间均无摩擦，轻绳与滑轮之间无滑动。 求求:（1）滑块滑块A的加速度的加速度a （2）滑块）滑块A与滑轮与滑轮C之间绳的张力之间绳的张力T1， （3）滑轮）滑轮C与重物与重物B之间绳的张力之间绳的张力T2。ABCT2MBgT1MAgNT2 T1 N MCg解：解：2211TTTT AB力矩为零。力矩为零。都通过质心都通过质心及及对对对对,:C:AcANgMNgM aMTgMJrTrTaMTB2Bc12A1BCA 列列方方程程rarMJcc 221其其
17、中中CBABCACBABACBABMMMgMMMTMMMgMMTMMMgMa2121212121 BAABBABCMMgMMTTMMgMaM 210时时ABC选正方向选正方向解方程得解方程得0 m O例例3. .己知：质量为己知：质量为m、径为径为R的均匀圆盘。初角速度的均匀圆盘。初角速度 , ,绕中心轴逆时针转动。空气对圆盘表面单位面积的摩擦力绕中心轴逆时针转动。空气对圆盘表面单位面积的摩擦力正比其线速度正比其线速度, ,即即 。不计轴承处的摩擦。不计轴承处的摩擦。 0 vkf 求：圆盘在停止转动时所转过的圈数求：圆盘在停止转动时所转过的圈数N=?=?1. . 取取刚体刚体m为研究对象，轴为
18、为研究对象，轴为O。2. . 取逆时针转为正方向。取逆时针转为正方向。0, 0 tr解：解：Mfr划划分分微微元元求求不不同同，力力臂臂也也不不同同，需需不不同同时时，3. . 用积分法求力矩。用积分法求力矩。在半径为在半径为r、宽度为宽度为dr的面积元的面积元dS上的质元上的质元具有相同的线速度具有相同的线速度v。则则dS上阻力的大小为上阻力的大小为: :drrfdSfdF 2dS考虑盘的上下表面，故阻力矩大小为考虑盘的上下表面，故阻力矩大小为dFrdM 2总阻力矩总阻力矩 RmdrrfrdMM0)22( Rdrrkvr0)22( 4034RkdrrkR Rdrrrkr022 0 mOrdS
19、变化，所以是变力矩。变化，所以是变力矩。随随 M利用刚体定轴转动定律利用刚体定轴转动定律dtdJJM 分离变量分离变量 dmRk 0202022042kRmN dtdmRRk 2421dtmRkdt 02020 mRk202 202Rkm 2.3 对定轴转动的角动量守恒对定轴转动的角动量守恒 dtLdM 一、质点系角动量定理一、质点系角动量定理分量式：分量式：dtdLMdtdLMdtdLMzzyyxx 质点系对某轴的角动量随时间的变化率等于质点质点系对某轴的角动量随时间的变化率等于质点系中各质点所受外力对同一轴的力矩的代数和。系中各质点所受外力对同一轴的力矩的代数和。1221LLtdMtt 对
20、对于于有有限限时时间间质点系角动量守恒定律质点系角动量守恒定律0 M21LL 210zzzLLM 或或二、刚体的角动量定理二、刚体的角动量定理 当其绕固定轴转动时，则其上各点都绕该轴作圆周运动当其绕固定轴转动时，则其上各点都绕该轴作圆周运动zri mi ninirrrrm.m.mmM2121 2iiiiiizirmvmrLm 对对于于 iiirmJZ2轴轴的的转转动动惯惯量量刚刚体体对对 JLzz 轴轴的的角角动动量量刚刚体体对对于于刚体可以看成是由刚体可以看成是由 n 个质点组成个质点组成 iiiiiiiizzrmrmLL22 12122121 JJLLdLdtMLLzttz 三、三、 角动
21、量守恒定律角动量守恒定律21 JJ 将上式代入质点系角动量定理分量式将上式代入质点系角动量定理分量式dtdLMzz 刚体对某轴的冲量矩等于该段时间内刚体对同一刚体对某轴的冲量矩等于该段时间内刚体对同一轴角动量的增量。轴角动量的增量。刚体定轴转动的角动量定理：刚体定轴转动的角动量定理：210zzzLLM 若所研究的系统中既包含刚体又包含质点、物体等，则若所研究的系统中既包含刚体又包含质点、物体等，则M、L应理解为所有物体所受力矩和所有物体的角动量应理解为所有物体所受力矩和所有物体的角动量思考：思考：（1）动能是否守恒？）动能是否守恒？（2）动量是否守恒？）动量是否守恒？（3）角动量是否守恒？）角
22、动量是否守恒？FMVr例：质量为例：质量为M，半径为，半径为R的水平放置的均匀园盘，以的水平放置的均匀园盘，以角速度角速度 1绕垂直于园盘并通过盘心的光滑轴，在水绕垂直于园盘并通过盘心的光滑轴，在水平面内转动时，有一质量为平面内转动时，有一质量为m的小物块以速度的小物块以速度v垂直垂直落在园盘的边沿上，并粘在盘上，求：（落在园盘的边沿上，并粘在盘上，求：（1）小物块）小物块粘在盘上后，盘的角速度粘在盘上后，盘的角速度 2=？（？（2）小物块在碰撞小物块在碰撞过程中受到的冲量过程中受到的冲量 I 的方向及大小。的方向及大小。mvRM 解：以解：以 m, M为一个系统，过程中其为一个系统，过程中其
23、所受合外力矩为零，角动量守恒所受合外力矩为零，角动量守恒 2211 mRJJ 盘盘盘盘）（1122212222121 mMMmRMRMRmRJJ 盘盘盘盘（2）求）求 I ，应用动量定理，应用动量定理1212vmvmPPI 碰撞前后，动量方向不同，分方向讨论。碰撞前后，动量方向不同，分方向讨论。RmRmImvmvI2200 垂垂直直平平行行垂垂直直于于轴轴平平行行于于轴轴 22222RmmvIII 垂垂直直平平行行方向向上方向向上方向沿切线方向沿切线所所表表示示的的速速度度不不同同）和和RvRvRmmv222(tan 例：转台绕过质心的铅直轴转动例：转台绕过质心的铅直轴转动,初角速度为初角速度
24、为 0 , 转台转台对此轴的转动惯量对此轴的转动惯量 J=5 10-5( kgm2 ), 今有砂粒以每秒今有砂粒以每秒 1g 速率垂直落在转台上速率垂直落在转台上, 砂粒落点距轴砂粒落点距轴 r =0.1m, 求砂求砂粒落在转台上粒落在转台上, 使转台角速度减为使转台角速度减为 0/ 2 所需时间所需时间?oo g/s1 tm已知：已知：0 M2)(020 rttmJJ s51 . 01011052352 rtmJt守守恒恒L作业作业2：2-10；2-11； 2-162.4 2.4 刚体定轴转动的功和能刚体定轴转动的功和能 cosdrFrdFdA Fd zx 轴轴r 21 MddAA MdtM
25、ddtdAP 力力矩矩的的瞬瞬时时功功率率2.4.1 力矩的功力矩的功 MdrdF sin力矩的空间积累效应力矩的空间积累效应2.4.2 2.4.2 定轴转动刚体的机械能定轴转动刚体的机械能1. 动能动能刚体的转动动能：刚体的转动动能：221 JEk 222121iivmJ 可以证明：可以证明：刚体的转动动能是组成刚体的各质点刚体的转动动能是组成刚体的各质点平动动能之和，它们是动能的不同表平动动能之和，它们是动能的不同表示形式。示形式。2.2.刚体的重力势能刚体的重力势能各质元重力势能的总和，就是刚体的重力势能。各质元重力势能的总和，就是刚体的重力势能。iiiphgmE iiihmg cpmg
26、hE 刚体的重力势能等于其质量集中在质心时所具刚体的重力势能等于其质量集中在质心时所具有的重力势能有的重力势能ChchimiEp=0mhmmgiii cmgh dtMMddA dtdJJM 转转动动定定律律 dJdtdtdJdA 212221212121 JJdJA 定轴转动动能定理定轴转动动能定理: : 12KKEEA 外外2.4.3 定轴转动刚体的动能定理定轴转动刚体的动能定理 1.1.动能定理动能定理2. 2. 复杂体系的功能原理复杂体系的功能原理 1122pkpkEEEEAA 非非保保守守内内力力外外若体系是一个包含刚体、质点、弹簧等复杂系统时若体系是一个包含刚体、质点、弹簧等复杂系统
27、时五、机械能守恒定律五、机械能守恒定律对于包括刚体在内的体系，若只有保守内力作功对于包括刚体在内的体系，若只有保守内力作功0 非非保保守守内内力力外外AA则系统机械能守恒则系统机械能守恒.ConstEEpk .212122 JmvEk的的势势能能应应包包括括系系统统中中所所有有物物体体pE例：已知圆盘半径为例：已知圆盘半径为R，质量为，质量为M，在垂直平面内可，在垂直平面内可绕过中心水平轴转动，将跨在圆盘上的轻绳分别联接绕过中心水平轴转动，将跨在圆盘上的轻绳分别联接倔强系数为倔强系数为k的弹簧和质量为的弹簧和质量为m的物体，设轮轴光滑，的物体，设轮轴光滑，绳不伸长，绳与轮间无相对滑动，今用手托
28、住绳不伸长，绳与轮间无相对滑动，今用手托住m使弹使弹簧保持原长，然后静止释放。求簧保持原长，然后静止释放。求（1）m 下落下落 h 距离距离时的速度。（时的速度。（2）弹簧的最大伸长量。）弹簧的最大伸长量。解：取解：取 m + M + 绳绳 + 弹簧弹簧 + 地球地球 为一系统为一系统hmMRk外力：外力： 轴承支承力和地面对弹轴承支承力和地面对弹簧的支承力功为零。簧的支承力功为零。内力：内力： 重力，弹性力为保守力重力，弹性力为保守力绳不伸长，张力功为零。绳与轮绳不伸长，张力功为零。绳与轮间无相对滑动，摩擦力功为零。间无相对滑动，摩擦力功为零。系统机械能守恒系统机械能守恒 处处势势能能为为零
29、零下下落落hkhJmvmgh22212121211 2121MRJRv Mmkhmghv 22421 为为弹弹簧簧的的最最大大伸伸长长量量YkmgYkYmgY22122 解：解：例：如图，一匀质圆盘可在竖直平面内绕光滑的中心例：如图，一匀质圆盘可在竖直平面内绕光滑的中心垂直轴旋转，初始时，圆盘处于静止状态，一质量为垂直轴旋转，初始时，圆盘处于静止状态，一质量为m的粘土块从的粘土块从h高度处自由落下，与圆盘碰撞后粘在一高度处自由落下，与圆盘碰撞后粘在一起，之后一起转动。已知：起，之后一起转动。已知：M=2m , =600求：碰撞后瞬间盘的求：碰撞后瞬间盘的 0 ？ P 转到转到 x 轴时盘的轴时
30、盘的 =? ?（1） m自由下落自由下落221mvmgh ）（碰碰前前速速度度12ghvm 碰撞碰撞 t 极小，对极小，对 m +盘系统，冲力远大于重力，盘系统，冲力远大于重力，故重力对故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：力矩可忽略，角动量守恒：对对 m + M +地球系统，只有重力做功，地球系统，只有重力做功， E守恒，守恒，（2 2）P、 x 重合时重合时EP=0 。令令1mgRJJsin 0 0 12222(4)2()21(cos022 mRMRmvR )3(cos22210 Rgh ）得：）得：）（）（由（由（）（5221222mRmRMRJ 由由(3)(4)(5) 得：得： MJmgR
31、mRgR222 sin2cos22RgRgh ）（06034(221 RhgR作业作业3：2-18；2-22； 2-24例例: 质量为质量为M的大木块具有半径为的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽，如图所的四分之一弧形槽，如图所示。质量为示。质量为m的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求求小木块小木块脱离大木块时的速度脱离大木块时的速度?例例:如图，均匀杆长如图，均匀杆长 L=0.40m，质量，质量M=1.0kg，由其上端的光滑水，由其上端的光滑水
32、平轴吊起而静止。今有一质量平轴吊起而静止。今有一质量 m=8.0g 的子弹以的子弹以 v=200m/s 的速率的速率水平射入杆中而不复出。射入点在轴下水平射入杆中而不复出。射入点在轴下 d=3L/4处。处。(1)求子弹停在求子弹停在杆中时杆的角速度；杆中时杆的角速度；(2)求杆的最大偏转角。求杆的最大偏转角。0vmo.OM A.LL43 MmMgRv 2222121MVmvmgR 0 MVmv联立，以上两式，得联立，以上两式，得 又下滑过程，动量守恒，以又下滑过程，动量守恒，以m,M为系统则在为系统则在m脱离脱离M瞬间，瞬间，水平方向有水平方向有解：解： m从从M上下滑的过程中，机械能守恒，上
33、下滑的过程中，机械能守恒，以以m，M，地球为系统，以最低点为重力势，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有能零点，则有例例: 质量为质量为M的大木块具有半径为的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽，如图所的四分之一弧形槽，如图所示。质量为示。质量为m的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求求小木块小木块脱离大木块时的速度脱离大木块时的速度?0vmo.OM A.LL43例例: 如图，均匀杆长如图，均匀杆长 L=0.40m，质量，质量M=1.0kg，由其
34、上端，由其上端的光滑水平轴吊起而静止。今有一质量的光滑水平轴吊起而静止。今有一质量 m=8.0g 的子弹以的子弹以 v=200m/s 的速率水平射入杆中而不复出。射入点在轴下的速率水平射入杆中而不复出。射入点在轴下 d=3L/4处。处。(1)求子弹停在杆中时杆的角速度；求子弹停在杆中时杆的角速度；(2)求杆的求杆的最大偏转角。最大偏转角。LmMLLmv 22433143 mLMLmv1693143rad/s.898 解解：(1)由子弹和杆系统对悬点由子弹和杆系统对悬点O的角动量守恒的角动量守恒 cosLmgLMgmLML 14321693121222 gmMLmMarccos2316931121894 (2)对杆、子弹和地球，由机械能守恒得对杆、子弹和地球，由机械能守恒得由此得由此得
