1、请同学们画一个四边形，请同学们画一个四边形，要求它既是要求它既是矩形矩形又是又是菱形菱形。1 正方形的定义正方形的定义由正方形的定义可知，由正方形的定义可知， 正方形既是正方形既是有一组邻边相等的矩形有一组邻边相等的矩形，又是，又是有有一个角为直角的菱形。一个角为直角的菱形。如图如图(1)。 有有一组邻边相等一组邻边相等且且有一个角是直角有一个角是直角的的平行四边形平行四边形叫做正方形。叫做正方形。 平行四边形，矩形，平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系菱形，正方形的关系!平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形正正方方形形请画出平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图 正方形是特殊的平行四正方形是
2、特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。是特殊的菱形。正方形的性质正方形的性质= = 正方形性质正方形性质: 边边: 对边平行对边平行 四边相等四边相等 角角 ：四个角都是直角四个角都是直角对角线：对角线：相等相等 互相垂直平分互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。每条对角线平分一组对角。 0D:我的文档左信举j2040600.swf范例精讲范例精讲已知：如图正方形已知：如图正方形ABCD对角线对角线AC、BD 相相 求证：求证： ABO BCO CDO ADO 交于点交于点O。例例1求证：正方形的两条对角线把正方求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的
3、等腰直角三角形。形分成四个全等的等腰直角三角形。练习练习1已知：正方形已知：正方形ABCD对角线对角线AC、BD相相交于点交于点O，且，且ABacm，如图，如图(2)。求：求：AC的长及正方形的面积的长及正方形的面积S。 练习练习2已知：在正方形已知：在正方形ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相交于点相交于点O，且，且AC6 cm，如图，如图求：正方形的面积求：正方形的面积S。 2例例1如图如图(6)，ABC的外面作正方形的外面作正方形ABDE和和ACFG，连，连结结BG、CE，交点为，交点为N。求证：求证：CEAABG 分析：分析：欲证欲证CEAABG，大家想一想证明两个角相等的方法，大
4、家想一想证明两个角相等的方法，你有办法了吗？通过自己的努力，看能不能解决问题？你有办法了吗？通过自己的努力，看能不能解决问题？证明：证明：四边形四边形ABDE和四边形和四边形ACFG是正方形。是正方形。AEABAGAC1290又又EAC1BAC90BAC BAG2BAC90BACEACBAGAEC ABG(SAS) CEAABG第二课时 你觉得什么样的四你觉得什么样的四边形是正方形呢边形是正方形呢? ?活动1.从长方形木板中怎样截出最大的正方形木板?2.怎样使菱形的衣帽架变成正方形的衣帽架?3.昨天,我去超市买了一条方巾，现在想请同学们帮助检验 一下方巾是否是正方形的。例例1 1：1 1、要使
5、一个菱形成为正方形需、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是增加的条件是（填上一个条件即可）（填上一个条件即可）2 2、要使一个矩形成为正方形、要使一个矩形成为正方形需添加的条件是需添加的条件是（填上一个条件即可（填上一个条件即可）例：下列正确的是例：下列正确的是. 四边相等的四边形是正方形四边相等的四边形是正方形四角相等的四边形是正方形四角相等的四边形是正方形对角线垂直的平行四边形是正方形对角线垂直的平行四边形是正方形对角线互相垂直平分且相等的四边对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形形是正方形例题解析 1. 1.已知已知: :正方形正方形ABCDABCD中中, ,点点E E、F F、G
6、G 、H H分别是分别是AB AB 、BC BC 、CD CD 、DADA的中点的中点, ,试判断四试判断四边形边形EFGHEFGH是正方形吗是正方形吗? ?为什么为什么? ? 2. 2.已知已知: :正方形正方形ABCDABCD中中, ,点点E E、F F、G G 、H H分别在分别在AB AB 、BC BC 、CD CD 、DADA上上, ,且且AE=BF=CG=DH,AE=BF=CG=DH,试判断四边形试判断四边形EFGHEFGH是正方形吗是正方形吗? ?为什么为什么? ?正方形正方形2.矩形矩形有一组邻边相等有一组邻边相等3.菱形菱形有一个角是直角有一个角是直角1.平行四边形平行四边形
7、有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角有一个角是直角常常见见说说明明方方法法例例2如图如图(3)，正方形，正方形ABCD中，中，AC、BD相交于相交于O， 分析：分析：要证明要证明BMCN，大家观察，大家观察图形可以考虑证哪两个三角形全等图形可以考虑证哪两个三角形全等 ? MNAB且且MN分别交分别交OA、OB于于M、N，求证：求证：BMCN。 你能完成证明吗你能完成证明吗?ABBC，1245 条件够吗？条件够吗？还需要的条件是还需要的条件是 AMBNABM BCN你所要证明的两个三角形已经满足你所要证明的两个三角形已经满足了哪些条件了哪些条件?由正方形可以得到的条件有：由正方形可以得到的
8、条件有：例例2如图如图(3)，正方形，正方形ABCD中，中，AC、BD相交相交于于O，MNAB且且MN分别交分别交OA、OB于于M、N，求证：求证：BMCN。 证明：证明：四边形四边形ABCD是正方形是正方形 OAOB ,12345 又又MNAB OMN13ONM45 OMON OAOMOBON 即即AMBN下面大家自己完成证明下面大家自己完成证明例：在正方形中，点例：在正方形中，点 ， ， ， 分别在，上，分别在，上，且且 .四边形四边形 是正方形吗？为什么？是正方形吗？为什么？DCBADCBA练习练习1已知：正方形已知：正方形ABCD对角线对角线AC、BD相相交于点交于点O，且，且ABac
9、m，如图，如图(2)。求：求：AC的长及正方形的面积的长及正方形的面积S。 练习练习2已知：在正方形已知：在正方形ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相交于点相交于点O，且，且AC6 cm，如图，如图求：正方形的面积求：正方形的面积S。 2例例3已知：如图已知：如图(4)在正方形在正方形ABCD中，中，F为为CD延长线延长线 上一点，上一点，CEAF于于E，交，交AD于于M， 求证：求证：MFD45分析：分析：欲证欲证MFD45，由于，由于MDF是直角三角形是直角三角形,只须证只须证MDF是等腰三角形是等腰三角形,即只要证即只要证 _=_要证要证MDFD，大家只须证得哪两个三角形全等，大家只
10、须证得哪两个三角形全等? 试一试试一试看能不能完成证明看能不能完成证明?CMD ADF例3已知：如图已知：如图(4)在正方形在正方形ABCD中，中，F为为CD延长线上一点，延长线上一点，CEAF于于E，交，交AD于于M，求证：求证：MFD45证明：证明：CEAF ADCAEM90 又又CMDAME 12又又CDAD，ADFMDCRtCDM RtADF(AAS) DM=DF 下面的证明请大家完成下面的证明请大家完成练习练习如图如图(5)，在，在AB上取一点上取一点C，以，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正为正方形的一边在同一侧作正方形方形AEDC和和BCFG连结连结AF、BD延长延长BD交交
11、AF于于H。求证：求证：(1) ACF DCB (2) BHAF 证明：证明： （8）如图）如图1：正方形：正方形ABCD的对角线的对角线AC、BD相交于点相交于点O，E是是AC上的一点，连接上的一点，连接EB，过点，过点A作作AMBE，垂，垂足足M，AM交交BD于点于点FABCDFEMO图2ABCDOFEM图1如图如图2所示，若点所示，若点E在在AC的延长线上，的延长线上，AMEB的延长的延长线于点线于点M，交，交DB的延长线于点的延长线于点F，其他条件都不变，则结，其他条件都不变，则结论论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由成立，请说明理由求证求证OE=OF；练习：练习：在在ABCABC中中,AB=AC,D,AB=AC,D是是BCBC的中点的中点,DEAB,DEAB,DFAC,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.1)1)试说明试说明:DE=DF:DE=DF2)2)只添加一个条件只添加一个条件, ,使四边形使四边形EDFAEDFA是正方形是正方形. .请你至少写出两种不同的添加方法请你至少写出两种不同的添加方法.(.(不另外不另外添加辅助线添加辅助线, ,无需证明无需证明) )F FE ED DC CB BA A
