1、2.2 一元二次不等式的应用 1.1.熟练掌握一元二次不等式的解法；熟练掌握一元二次不等式的解法； 2.2.初步掌握分式不等式及简单高次不等式的解法初步掌握分式不等式及简单高次不等式的解法; ;3.3.培养数形结合的思想、抽象概括能力和逻辑思维能力培养数形结合的思想、抽象概括能力和逻辑思维能力 . .我们学习了一元二次不等式的解法，应用它能解决什么我们学习了一元二次不等式的解法，应用它能解决什么问题呢？问题呢？一元二次方程根的分布问题；一元二次方程根的分布问题；分式不等式；分式不等式；高次不等式；高次不等式；实际应用问题实际应用问题例例9 m为何值时为何值时,方程方程2(3)0 xmxm有实数
2、解有实数解? 解解 方程方程2(3)0 xmxm有实数解有实数解, ,等价于等价于 2(3)40mm , , 即即 21090mm. . 这是关于这是关于m m的一元二次不等式的一元二次不等式, ,按求解程序按求解程序. . 可得这个不等式的解集为可得这个不等式的解集为1,9m mm或. . 所以所以, ,当当19mm或时时, ,原方程有实数解原方程有实数解. . 一般地，一元二次方程的解与不等式的解之间的关系一般地，一元二次方程的解与不等式的解之间的关系ax2bxc0(a0)有有_解解b24ac0；ax2bxc0(a0)有有_解解b24ac0；ax2bxc0(a0)有有_解解b24ac3xx
3、 或. . 即原不等式的解集为即原不等式的解集为 1,3x xx 或. . (2)(2)不等式不等式513+1xx可改写为可改写为 51-30+1xx( (不等式的右边为不等式的右边为 0),0),即即2( -1)0+1xx 仿（仿（1 1） ，可将） ，可将这个不等式转化为这个不等式转化为2( -1)( +1)0 xx, , 解这个不等式解这个不等式, ,可得可得1 1x. . 所以所以, ,原不等式的解集为原不等式的解集为1 0(0_. 2.f x g x 0_. 3.f x g x 0_. 4.f x g x 0_. ( ) ( )0f x g x ( ) ( )0f x g x ( )
4、 ( )0,( )0f x g xg x且( ) ( )0,( )0f x g xg x且例例 11 解不等式解不等式:(1)(2)(3)0 xxx. 解解 这是一个一元三次不等式这是一个一元三次不等式, ,我们还是利用对函数图像的分析我们还是利用对函数图像的分析来解决这个问题来解决这个问题. .设设f(x)=(1)(2)(3)xxx. . ( (1 1) ) 显显然然，( )yf x的的图图像像与与x轴轴的的交交点点有有三三个个, ,它它们们的的坐坐标标 依依次次是是( (1 1, ,0 0) ), ,( (2 2, ,0 0) ), ,( (3 3, ,0 0) ); ; (2) (2)函
5、数函数( )yf x的图像把的图像把x轴分成了四个不相交的区间轴分成了四个不相交的区间, , 它们依次为它们依次为(,1),(1,2),(2,3),(3,); ; (3) (3)当当3x时时, ,( )0f x. .又函数又函数 y=f(x)y=f(x)的图像是一条不间断的的图像是一条不间断的 曲线曲线, ,并且并且 f(x)f(x)的符号每顺次经过的符号每顺次经过x轴的一个交点就会发生轴的一个交点就会发生 一次变化一次变化, ,其规律很明显，从右到左在每个区间其规律很明显，从右到左在每个区间 f(x)f(x)符号正负相间符号正负相间. . 所以所以, ,不等式的解集为不等式的解集为(1,2)
6、(3,). . 穿针引线法穿针引线法化成标准型化成标准型p p( (x x) )( (x xx x1 1)()(x xx x2 2)()(x xx xn n) )0(0(或或 2， 原不等式的解集为原不等式的解集为x|x1，或或 x2 (2)原不等式可改写为原不等式可改写为2x14x310，即，即6x44x30， (6x4)(4x3)0， 23x34， 原不等式的解集为原不等式的解集为x|23x34 2.解不等式解不等式 (x1)(x2)(2x1)0 解析解析：如如图所示，由穿针引线法可知原不等式图所示，由穿针引线法可知原不等式的解集为的解集为 2 2，1 12 211，) 3.3.一服装厂生
7、产某种风衣，月产量一服装厂生产某种风衣，月产量x(x(件件) )与售价与售价P(P(元元/ /件件) )之间的关系为之间的关系为P=160-2x,P=160-2x,生产生产x x件的成本总数为件的成本总数为R=500 R=500 +30 x(+30 x(元元) )，假设生产的风衣当月全部售出，试问该厂的月，假设生产的风衣当月全部售出，试问该厂的月产量为多少时，每月获得的利润不少于产量为多少时，每月获得的利润不少于13001300元？元？解析：解析：设该厂获得的利润为设该厂获得的利润为y y元，元，则则y=(160-2x)y=(160-2x)x-(500+30 x)x-(500+30 x)=-2
8、x=-2x2 2+130 x-500(0+130 x-500(0 x x80)80)由题意知由题意知 y1300,y1300,所以所以-2x-2x2 2+130 x-5001300+130 x-5001300，解得解得 20 x4520 x45，所以当月产量在所以当月产量在2020至至4545件件( (包括包括2020和和45)45)之间时，月获得的之间时，月获得的利润不少于利润不少于13001300元元. .1.1.一元二次方程根的分布问题；一元二次方程根的分布问题；2.2.分式不等式的解法；分式不等式的解法；3.3.高次不等式的解法；高次不等式的解法；4.4.实际应用问题实际应用问题5.5
9、.三个二次的关系：三个二次的关系：迎头搏击才能前进，勇气减轻了命运的打击。 德谟克里特 不等式、方程与函数的关系不等式、方程与函数的关系1.解形如解形如( )0f x (或或( )0f x )的不等式的不等式 利用图形计算器可以画出函数利用图形计算器可以画出函数( )yf x的图像，然后求出的图像，然后求出 函数与函数与x轴交点的横坐标，再借助函数图像写出不等式的解轴交点的横坐标，再借助函数图像写出不等式的解 例例13 解不等式解不等式3261160.xxx 解解 利用图形计算器画出函数利用图形计算器画出函数32( )6116f xxxx的图像如图。的图像如图。 求出函数求出函数( )yf x
10、与与x轴交点的轴交点的 横坐标横坐标 1 1，2 2，3 3，由图像可得不，由图像可得不 等式等式3261160 xxx的解的解 集为集为(1,2)(3,)U -13yxo32( )6116f xxxx212. 解形如解形如( )( )f xg x的不等式的不等式 利用图形计算器可以画出函数利用图形计算器可以画出函数( )yf x和和( )yg x的图像，的图像， 函数函数( )yf x的图像在的图像在( )yg x图像的上方部分的横坐图像的上方部分的横坐 标即为不等式的解标即为不等式的解 例例14 解解不等式不等式0.3log.xx 解解 设函数设函数0.3( )logf xx, ,( )g
11、 xx，画出这两个函数的图像，画出这两个函数的图像. . 求出这两个函数交点的横坐标求出这两个函数交点的横坐标0.53x ， 如图，由图像可得不等式如图，由图像可得不等式0.3logxx的的 解集是函数解集是函数( )f x的图像在的图像在( )g x图图 像上方时像上方时x的集合，的集合， 因此不等式的因此不等式的近近似似解集为解集为(0,0.53) -23yxo21-13.借助图形计算器根据函数的图像解不等式很便捷，借助图形计算器根据函数的图像解不等式很便捷， 但这种方法解不等式有时是有局限的但这种方法解不等式有时是有局限的 例如：解不等式例如：解不等式320 xx时，画出图像如图时，画出图像如图 -23yxo21根据图像会得出这个不等式根据图像会得出这个不等式 的近似解集为的近似解集为(,1.4)， -1但事实上，在但事实上，在1x 时，这两个函数还存在交点时，这两个函数还存在交点 这种情况的出现是由于图形计算器只能显示函数这种情况的出现是由于图形计算器只能显示函数的的局部图像，局部图像， 无法显示出无穷远处的情况无法显示出无穷远处的情况 怎么解决这个问题呢？怎么解决这个问题呢？
