1、乘法公式乘法公式整式的乘除与因式分解整式的乘除与因式分解活动活动1 知识复习知识复习 多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加每一项，再把所得的积相加.(1) (x+1)(x1)； (2) (a+2)(a2)；(3) (3x)(3+x) ； (4) (2x+1)(2x1).(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.活动活动2 计算下列各题，你能发现什么规律？计算下列各题，你能发现什么规律？ 平方差公式平方差公式:( (a+b)()(a b)
2、=)=a2 b2.即即两数两数和和与与这两数这两数差差的的积积等于这两个数的平方差等于这两个数的平方差.( m+n) ( m n) =m2 n2.(a+b)(a b)=a2 b2 .a2 ab+ab b2= 请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形，如图1，拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？(a+b)(ab)=a2b2.图1图2 例例1 运用平方差公式计算：运用平方差公式计算：(1) (3x2 )( 3x2 ) ；(2) (b+2a)(2ab); (3) (- -x+2y)(- -x- -2y).解：（1）(3x2)(3x2)=(3x)222=9x24；（2）(b
3、+2a)(2ab)=(2a+b)(2ab)=(2a)2b2=4a2b2.(3) (- -x+2y)(- -x- -2y)=(- -x)2(2y)2= x24y2活动活动3例例2 计算计算(1) 10298(2) (y+2) (y - -2) - - (y - -1) (y+5)2.利用平方差公式计算：利用平方差公式计算：（1）(a+3b)(a - - 3b)=（2）(3+2a)(3+2a)=（3）(2x2y)(2x2+y)=（4）5149=（5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)=(a)2(3b)2 =4 a29；=4x4y2.活动活动4 练习练习 1.下面各式的计算对不对？如
4、果不对，应当下面各式的计算对不对？如果不对，应当 怎样改正怎样改正？ (1)(x+2)(x2)=x22； (2)(3a2)(3a2)=9a24.(2a+3)(2a-3)=a29b2 ；=(2a)232 (-2x2 )2y2 (50+1)(50-1)=50212 =2500-1=2499(9x216) - (6x2+5x -6)=3x25x+10活动活动5 科学探究科学探究 给出下列算式给出下列算式: 3212=8 =81； 5232=16=82； 7252=24=83； 9272=32=84. （1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？ （2）用含用含
5、n的式子表示出来的式子表示出来 （n为正整数）为正整数）. （3）计算计算 2005220032= 此时此时n = . 连续两个奇数的平方差是连续两个奇数的平方差是8的倍数的倍数.（2n+1)2 (2n1)2=8n80161002提示:根据2005=2n+1或2003=2n-1求n1.1.通过本节课的学习我有哪些收获？通过本节课的学习我有哪些收获？2.2.通过本节课的学习我有哪些疑惑？通过本节课的学习我有哪些疑惑？3.3.通过本节课的学习我有哪些感受？通过本节课的学习我有哪些感受？作业：第156页 习题 15.2 第1题 利用平方差公式计算：利用平方差公式计算： (1)(5+6x)(56x);
6、 (2)(x2y)(x+2y); (3)(m+n)(mn). 活动活动5 知识应用，加深对平方差公式的理解知识应用，加深对平方差公式的理解 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ): （1）(x+1)(1+x)； （2）(a+b)(ba) ； （3）(a+b)(ab)； （4）(x2y)(x+y2)； （5）(ab)(ab)；（6）(c2d2)(d2+c2). 2121乘法公式乘法公式平方差公式平方差公式整式的乘除与因式分解整式的乘除与因式分解你能用简单方法计算下列问题吗？(1)、1002998 =(1000+2)(1000-2) =10002+2
7、1000-21000-22 = 10002-22 =999996(2)、 200004199996观察下列多项式，并进行计算，你观察下列多项式，并进行计算，你能发现什么规律？能发现什么规律？ (x+1)(x-1)=x2-x+x-1=x2-1 (m+2)(m-2)=m2-2m+2m-22=m2-22=m2-4 (2x+1)(2x-1)=(2x) 2-2x+2x-1=(2x) 2-1=4x 2-1 (a+b)(a-b)=a2-b2 两个数的和与这两两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的差的积等于这两个数的平方差。个数的平方差。 从边长为a的大正方形底板上挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），然
8、后将其裁成两个矩形（如图乙），通过计算阴影的面积可以验证公式(a+b)(a-b)=a2-b2aaa-bba-bbaba-b快乐学习快乐学习1： 运用平方差公式计算 ( 3x+2 )( 3x-2)=(3x)2-22=9x2-4 (b+2a)(2a-b) =(2a)2-b2=4a2-b2 ( -x+2y )(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2 下列各式计算对不对？若不对应怎样改正？下列各式计算对不对？若不对应怎样改正？(1)(x+2)(x-2)= x1)(x+2)(x-2)= x2 2-2-2(2)(-3a-2)(3a-2)= 9a(2)(-3a-2)(3a-2)= 9a2 2-4
9、-44-9a4-9a2 2 x x2 2-4-4快乐学习快乐学习2： 计 算 10298=(100+2)(100-2)=1002-22=9996 (y+2 )( y-2)-(y-1)(y+5)= y2-22-(y2+5y-y-5)= y2-4-y2-4y+5= -4y+1试一试：试一试： ( a+b)(-b+a) (3a+2b)(3a-2b) (a5-b2)(a5+b2) (a+b)(a-b)(a2+b2)a2-b29a2-4b2a10-b4a4-b4 算一算：算一算： （x+y )( x-y)+(2x+y )( 2x-y） x(x-3)-(x+7)(x-7)填一填填一填: （_+_）（）（_
10、-_）= - 9 （a+2b+2c）（）（a+2b-2c）写成平方差公式）写成平方差公式形式：形式：_5x2-2y2-3x+492a2a3 3 (a+2b)2-(2c)2 200004199996=（200000+4）（200000-4）= 2000002 - 42= 40000000000 - 16= 39999999984谢谢 谢谢!请同学们探究下列问题：一位老人非常喜欢孩子每请同学们探究下列问题：一位老人非常喜欢孩子每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个们来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来
11、两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，孩子，老人就给每个孩子两块塘，（1）第一天有）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（2）第二天有）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（些孩子多少块糖？（3）第三天这（）第三天这（a+b）个孩子一起）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（4）这）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？总数哪个多？多多少
12、？为什么？(1)a2 (2)b2 (3)(a+b)2 (4)(a+b)2-(a2+b2)在上面问题中遇到了两个数和的平方的运算，如何在上面问题中遇到了两个数和的平方的运算，如何进行这样的运算呢？进行这样的运算呢？我们知道我们知道a2=aa，所以，所以(a+b)2=(a+b)(a+b)，这样，这样就转化成多项式与多项式的乘积了就转化成多项式与多项式的乘积了能不能将能不能将(a+b)2转化为我们学过的知识去解决呢？转化为我们学过的知识去解决呢？像研究平方差公式一样，我们探究一下像研究平方差公式一样，我们探究一下(a+b)2的运的运算结果有什么规律算结果有什么规律计算下列各式，你能发现什么规律？计算
13、下列各式，你能发现什么规律？ （1）(p+1)2=(p+1)(p+1)=_； （2）(m+2)2=_； （3）(p-1)2=(p-1)(p-1)=_； （4）(m-2)2=_； （5）(a+b)2=_； （6）(a-b)2=_(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+p+p+1=p2+2p+1(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+2m+m2+22=m2+4m+4（3）(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2+p(-1)+(-1)p+(-1)(-1) =p2-2p+1（4）(m-2)2=(m-2)(m-2) =m2+m(-2)+(-2)m+(-2)(-2)=m2-4m+4（5）(
14、a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2（6）(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2通过上面的研究，你能用语言叙述完全平方公式吗？通过上面的研究，你能用语言叙述完全平方公式吗？完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的的平方和，加（或减）它们的积的2倍倍用符号怎么表述呢？用符号怎么表述呢？(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式你能
15、根据图（你能根据图（1）和图（）和图（2）中的面积说明完全平方公）中的面积说明完全平方公式吗？式吗？先看图（先看图（1），可以看出大正方），可以看出大正方形的边长是形的边长是a+b还可以看出大还可以看出大正方形是由两个小正方形和两正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，个矩形组成， 所以大正方形所以大正方形的面积等于这四个图形的面积的面积等于这四个图形的面积之和阴影部分的正方形边长之和阴影部分的正方形边长是是a，所以它的面积是，所以它的面积是a2；另一个小正方形的边长是另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是，所以它的面积是b2；另；另外两个矩形的长都是外两个矩形的长都是a，宽都是，宽都是b，所
16、以每个矩形的，所以每个矩形的面积都是面积都是ab；大正方形的边长是；大正方形的边长是a+b，其面积是，其面积是(a+b)2于是就可以得出：于是就可以得出：(a+b)2=a2+2ab+b2这正这正好符合完全平方公式好符合完全平方公式 如图（如图（2）中，大正方形的边长）中，大正方形的边长是是a，它的面积是，它的面积是a2；矩形；矩形DCGE与矩形与矩形BCHF是全等图形，是全等图形，长都是长都是a，宽都是，宽都是b，所以它们，所以它们的面积都是的面积都是ab；正方形；正方形HCGM的边长是的边长是b，其面积就是，其面积就是b2；正方形正方形AFME的边长是（的边长是（a-b），所以它的面积是），
17、所以它的面积是(a-b)2从图中可以看出正方形从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形的面积减去两个矩形DCGE和和BCHF的面积再的面积再加上正方形加上正方形HCGM的面积的面积 也就是：也就是：(a-b)2=a2-2ab+b2这也正好符合完全平方公式这也正好符合完全平方公式数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一步理解完全平方公式的结构特征现在，大家可以步理解完全平方公式的结构特征现在，大家可以轻松解开课时提出的老人用糖招待孩子的问题了轻松解开课时提出的老人用糖招待孩子的问题了(a+b)2-(a2
18、+b2) =a2+2ab+b2-a2-b2=2ab 于是得孩于是得孩子们第三天得到的糖果总数比前两天他们得到的糖果子们第三天得到的糖果总数比前两天他们得到的糖果总数多总数多2ab块块例例3 运用完全平方公式计算运用完全平方公式计算:(1) (4m+n)2; (2) (y- )2.12解解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2(4m)n+n2 = 16m2+8mn +n2; (2) (y - )2 = y2 - 2y + ( )2 = y2-y + 12121214例例4 运用完全平方公式计算运用完全平方公式计算:(1) 1022 ; (2) 992 .解解: (1) 1022 =
19、(100 +2) 2 = 1002 +21002 + 22 = 10 000 +400 +4 = 10 404 .(2) 992 = (100 -1)2 = 1002 -21001+12 = 10 000 - 200 + 1 = 9 801.1、完全平方公式的内容是什么？、完全平方公式的内容是什么？2、请同学们总结完全平方公式的结构特征。、请同学们总结完全平方公式的结构特征。公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方而另一项是左边二项式中两项乘积的方而另一项是左边二项式中两项
20、乘积的2倍倍(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b23、我们要正确理解公式中字母的广泛含义：它、我们要正确理解公式中字母的广泛含义：它可以是数字、字母或其他代数式，只要符合公可以是数字、字母或其他代数式，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式式的结构特征，就可以运用这一公式 整式的乘除与因式分解那么那么(a+b)(a+b)和和(a-b)(a-b)是否是否也能用一个公式来表示呢？也能用一个公式来表示呢？ 完 全 平 方 公 式 一块边长为a米的正方形实验田，计算下列各式，你能发现什么？计算下列各式，你能发现什么？(1) (p+1)2 =(p+1)(p+1)=(2)
21、(m+2)2=(3) (p-1)2 =(p-1)(p-1)=(4) (m-2)2 =p2+2p+1(m+2)(m+2)=m2+4m+4p2-2p+1(m-2)(m-2)=m2- 4m+4计算下列各式，你能发现什么？计算下列各式，你能发现什么？(1) (p+1)2 =(2) (m+2)2=(3) (p-1)2 =(4) (m-2)2 =p2+2p+1=p2+2p1+12m2+4m+4=m2+2m2+22p2-2p+1=p2-2p1+12m2- 4m+4=m2-2m2+22猜想猜想 (a+b)2= (a -b)2=a2+2ab+b2a2 - 2ab+b2 完全平方公式 bbaa2)(ba(a+b)
22、a2ab2bababab2+完全平方和公式：完全平方公式完全平方公式 的图形理解的图形理解aabb(a-b)2)(ba2aab222aabbaababab2bbbb完全平方差公式：完全平方公式完全平方公式 的图形理解的图形理解 初 识 完全平方 公式b.b)2b2b2式公式特点：公式特点：4 4、公式中的字母、公式中的字母a a，b b可以表示数，单项式和可以表示数，单项式和 多项式多项式。1 1、积为二次三项式；、积为二次三项式；2 2、积中两项为两数的平方和；、积中两项为两数的平方和；3 3、另一项是两数积的、另一项是两数积的2 2倍，且与乘式中倍，且与乘式中 间的符号相同。间的符号相同。首平方，尾平方，积的2倍在中央 例题解析 自己做 纠 错 练 习;(a)22(a )1+12;拓 展 练 习随堂练习2151本节课你的收获是什么？的条件，即为“两数和(或差)的平方”，然后应用公式计算. 括号, 是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键
