1、刘爱玲刘爱玲小学数学教师小学数学教师学科专业知识及其拓展学科专业知识及其拓展1提纲：提纲：一、关于小学数学教师进行学科知识及其拓展的培训意见一、关于小学数学教师进行学科知识及其拓展的培训意见1 1、培训内容、培训内容2 2、培训方式、培训方式3 3、评价与考核建议、评价与考核建议二、关于小学数学教师的学科专业知识及其拓展的认识二、关于小学数学教师的学科专业知识及其拓展的认识1 1、小学教师的知识结构、小学教师的知识结构2 2、小学数学教师的学科专业知识、小学数学教师的学科专业知识三、小学数学教师的学科专业知识及其拓展三、小学数学教师的学科专业知识及其拓展（一）小学数学知识体系中（一）小学数学知
2、识体系中“数与代数数与代数”的知识及其拓展的知识及其拓展 （二）小学数学知识体系中（二）小学数学知识体系中“空间与图形空间与图形”的知识及其拓展的知识及其拓展 （三）小学数学知识体系中（三）小学数学知识体系中“统计与概率统计与概率”的知识及其拓展的知识及其拓展 （四）小学数学知识体系中（四）小学数学知识体系中“实践与综合应用实践与综合应用”的知识及其拓展的知识及其拓展 （五）数学小资料（五）数学小资料2一、关于小学数学教师进行学科知识及其拓展的培训意见一、关于小学数学教师进行学科知识及其拓展的培训意见1、培训内容培训内容v（1 1）帮助教师们系统地掌握小学数学知识体系及其结构，）帮助教师们系统
3、地掌握小学数学知识体系及其结构，包括能解答教科书（如人教版包括能解答教科书（如人教版1212册）所有的练习题和复习题。册）所有的练习题和复习题。v（2 2）帮助教师们正确理解小学数学知识体系中容易误解的）帮助教师们正确理解小学数学知识体系中容易误解的数学概念与有关知识，使他们的小学数学知识得到横向拓展。数学概念与有关知识，使他们的小学数学知识得到横向拓展。v（3 3）立足于教学的需要，帮助教师们开阔知识视野，使他）立足于教学的需要，帮助教师们开阔知识视野，使他们的小学数学知识得到一定的纵向延伸。们的小学数学知识得到一定的纵向延伸。2、培训形式、培训形式v（1 1）集中培训辅导：可根据实际情况，
4、分段分块进行辅导，）集中培训辅导：可根据实际情况，分段分块进行辅导，帮助教师们解决小学数学知识体系中的疑难问题。帮助教师们解决小学数学知识体系中的疑难问题。v（2 2）校本培训学习：布置学习任务和作业任务，让教师们）校本培训学习：布置学习任务和作业任务，让教师们各自完成学习任务，自我提高各自完成学习任务，自我提高. .3一、关于小学数学教师进行学科知识及其拓展的培训意见一、关于小学数学教师进行学科知识及其拓展的培训意见3、评价与考核建议、评价与考核建议小学数学教师的学科知识拓展培训的评价可分为如下两部分：小学数学教师的学科知识拓展培训的评价可分为如下两部分： （1 1）学习态度和完成作业情况评
5、价，占一定比例；）学习态度和完成作业情况评价，占一定比例； （2 2）小学数学知识过关考试（卷面考试），占比例大些。）小学数学知识过关考试（卷面考试），占比例大些。小学数学知识考试的内容：小学数学知识考试的内容： 以以小学数学课程标准小学数学课程标准中中“内容标准内容标准”所涉及的所涉及的小学小学数学知识数学知识作为考试基本内容；作为考试基本内容； 试题设计建议：试题设计建议：（1 1）基本的数学概念及计算题，（基本的数学概念及计算题，（2 2）综）综合题（中等难度），（合题（中等难度），（3 3）知识拓展题。）知识拓展题。4二、关于小学数学教师的学科专业知识及其拓展的认识二、关于小学数学教师
6、的学科专业知识及其拓展的认识1 1、小学教师的知识结构、小学教师的知识结构 教育知识教育知识小学教师的知识小学教师的知识 学科知识学科知识 学科教学知识学科教学知识 2 2、小学数学教师的专业知识、小学数学教师的专业知识 本体性知识本体性知识 小学数学教师的专业知识小学数学教师的专业知识 条件性知识条件性知识 实践性知识实践性知识 5（一）小学数学知识体系中（一）小学数学知识体系中“数与代数数与代数”的知识及其拓展的知识及其拓展2、小学数学中数的结构：、小学数学中数的结构： 正整正整数数 整数整数 零零 负整负整数数 有理数有理数 正分正分数数 分数分数 实数实数 负分数负分数 无理数：无限不
7、循环小数，如， ，等等。263、小学数学中对于数及其运算的几点深入理解、小学数学中对于数及其运算的几点深入理解 （1）对）对“自然数自然数”的理解的理解0为什么规定为自然数为什么规定为自然数 （2）对于分数的理解）对于分数的理解 （3）分数和小数的关系）分数和小数的关系 （4）关于）关于0为什么不能做除数为什么不能做除数 （5）对小学数学整除性的理解）对小学数学整除性的理解 （6）为什么要引进负数？）为什么要引进负数？（7）对近似数和近似值的理解）对近似数和近似值的理解（8）关于估算）关于估算 （一）小学数学知识体系中（一）小学数学知识体系中“数与代数数与代数”的知识及其拓的知识及其拓展展7
8、（一）小学数学知识体系中（一）小学数学知识体系中“数与代数数与代数”的知识及其拓展的知识及其拓展4、对小学数学中的、对小学数学中的“解决问题解决问题”理解理解 （解决问题与传统的应用题的区别）解决问题与传统的应用题的区别）（1）重视过程的教学）重视过程的教学。 （2）不仅仅依附一个知识点）不仅仅依附一个知识点 （3）具体问题具体分析）具体问题具体分析 （4）问题的开放性和多元性）问题的开放性和多元性 8（一）小学数学知识体系中（一）小学数学知识体系中“数与代数数与代数”的知识及其拓展的知识及其拓展5、常见的量、常见的量年级年级上学期上学期下学期下学期一一钟表的认识（时针分针）钟表的认识（时针分
9、针） 认识人民币；认识人民币； 认识时认识时间间二二长度单位长度单位 克和千克克和千克 三三毫米、分米、千米的认毫米、分米、千米的认识；识； 吨的认识；吨的认识； 时、时、分、秒分、秒 年、月、日；年、月、日； 24时计时计时法时法 9（一）小学数学知识体系中（一）小学数学知识体系中“数与代数数与代数”的知识及其拓展的知识及其拓展5、常见的量、常见的量（1）关于量与计量及的计算）关于量与计量及的计算 事物的多少、长短、大小、轻重、快慢等，这些可以测定的事物的多少、长短、大小、轻重、快慢等，这些可以测定的客观事物的特征叫做量。客观事物的特征叫做量。 把一个要测定的量同一个作为标准的量相比较叫做计
10、量。把一个要测定的量同一个作为标准的量相比较叫做计量。 用来作为计量标准的量叫做计量单位。用来作为计量标准的量叫做计量单位。 （2）对北京时间的理解）对北京时间的理解（3）质量和重量的区别）质量和重量的区别（4）名数与不名数）名数与不名数10（一）小学数学知识体系中（一）小学数学知识体系中“数与代数数与代数”的知识及其拓展的知识及其拓展6、比和比例、比和比例 知识内容分布：小学数学六上学期学习：比；知识内容分布：小学数学六上学期学习：比；六下学习：比例，正、反比例、比例尺，六下学习：比例，正、反比例、比例尺， 图形的图形的放大与缩小。放大与缩小。 （1）关于比和比例的知识要点）关于比和比例的知
11、识要点 （2）比和比例应用题）比和比例应用题 （3）比例的解题策略）比例的解题策略 （4）正、反比例应用题的解题策略）正、反比例应用题的解题策略 （5）分数，除法和比三者之间的联系和区别）分数，除法和比三者之间的联系和区别 （6）对相关联的量一定成正比例或反比例的理解）对相关联的量一定成正比例或反比例的理解11（一）小学数学知识体系中（一）小学数学知识体系中“数与代数数与代数”的知识及其拓展的知识及其拓展v7、探索规律、探索规律算式中的规律探索规律数列中的规律“式”的规律数形结合的规律如一个数乘如一个数乘11，101的计算。的计算。 12311=1353， 58734101=5932134 考
12、虑相邻两项的关系，或一组数的关考虑相邻两项的关系，或一组数的关系，找到规律。系，找到规律。 几个算式排列在一起，从中发现规律。几个算式排列在一起，从中发现规律。 数形结合的规律从图形对称或排列数形结合的规律从图形对称或排列找规律找规律 。12（一）小学数学知识体系中（一）小学数学知识体系中“数与代数数与代数”的知识及其拓展的知识及其拓展v7、探索规律、探索规律v（1）电话联系人的问题）电话联系人的问题（五下打电话）v第第n n分钟所有接到通知的队员和老师的总数就是一个等比数分钟所有接到通知的队员和老师的总数就是一个等比数列，通项公式为列，通项公式为a an n=2n=2n，到第，到第n n分钟
13、所有接到通知的队员总数分钟所有接到通知的队员总数就是（就是（2n-12n-1）人）人, , 即即1，3，7，15，31 。v（2）因数是）因数是11，101的规律的规律v12311=1353 58734101=5932134v 1 2 3 =13531 3 5 3 5 8 7 3 4 = 59321345 9 3 2 1 3 413（二）小学数学知识体系中（二）小学数学知识体系中“空间与图形空间与图形”的的知识及其拓展知识及其拓展141、内容介绍：、内容介绍：（1）几何形体内容分布与说明）几何形体内容分布与说明 （2）图形与变换内容分布及说明）图形与变换内容分布及说明（3）图形与位置内容分布及
14、说明）图形与位置内容分布及说明（4）测量的内容分布）测量的内容分布“空间与图形空间与图形”的知识及其拓展的知识及其拓展152、平面图形认识和计算的知识要点、平面图形认识和计算的知识要点3、对小学数学空间与图形的几点深入理解（1）对直线、射线和线段的理解）对直线、射线和线段的理解 （2）对数学中的点、线、面的理解）对数学中的点、线、面的理解（3）对确定左右位置的理解）对确定左右位置的理解（4）对位置的理解）对位置的理解有序数对（，）有序数对（，） “空间与图形空间与图形”的知识及其拓展的知识及其拓展16（三）小学数学知识体系中（三）小学数学知识体系中“统计与概率统计与概率”的知识及其拓展的知识及
15、其拓展 1、统计知识分布、统计知识分布2、可能性、可能性三年级上册 体验有些事件的发生是确定的，有些则不确定 。五年级上册 用恰当的词语来描述事件发生的可能性大小，还要通过量化的方式，用分数描述事件发生的概率 。17（三）小学数学知识体系中（三）小学数学知识体系中“统计与概率统计与概率”的知识及其拓展的知识及其拓展 3、统计与概率知识结构图、统计与概率知识结构图特征量特征量18（三）小学数学知识体系中（三）小学数学知识体系中“统计与概率统计与概率”的知识及其拓展的知识及其拓展 4、对统计与概率的几点深入理解、对统计与概率的几点深入理解（1）统计的基本思想）统计的基本思想 研究如何从样本的统计性
16、质去推测相应总体的统计性质研究如何从样本的统计性质去推测相应总体的统计性质, ,即如何根据样本去探求有关总体的规律性。即如何根据样本去探求有关总体的规律性。 统计过程：提出问题、收集数据、整理数据、作出决策、统计过程：提出问题、收集数据、整理数据、作出决策、进行交流、评价与改进。进行交流、评价与改进。 （2）对可能性和概率的理解）对可能性和概率的理解（3）概率与统计的关系）概率与统计的关系 （4）确定事件、必然事件和随机事件）确定事件、必然事件和随机事件 19（四）小学数学知识体系中（四）小学数学知识体系中“实践与综合应用实践与综合应用”的知识拓展的知识拓展人教版教材中人教版教材中“数学广角数
17、学广角”教学内容教学内容20（四）小学数学知识体系中（四）小学数学知识体系中“实践与综合实践与综合应用应用”的知识拓展的知识拓展1、排列、组合、排列、组合2、集合思想、集合思想 德国数学家康尔创立的集合论，其主要思想方法可德国数学家康尔创立的集合论，其主要思想方法可归结为概括原则、外延原则和一一对应原则。归结为概括原则、外延原则和一一对应原则。 21（四）小学数学知识体系中（四）小学数学知识体系中“实践与综合实践与综合应应 用用”的知识拓展的知识拓展3、等量代换、等量代换 用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）。另
18、一种量（或另一种量的一部分）。4、运筹思想和对策论都是比较系统、抽、运筹思想和对策论都是比较系统、抽象的数学思想方法象的数学思想方法 22（四）小学数学知识体系中（四）小学数学知识体系中“实践与综合实践与综合应用应用”的知识拓展的知识拓展 5、极限思想与小学数学、极限思想与小学数学 6、抽屉原理、抽屉原理 把把 m m个物体任意分放进个物体任意分放进n n 个空抽屉里（个空抽屉里（m m n n， n n是非是非0 0自然数），那么一定有一个抽屉中放自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少进了至少2 2个物体；把多于个物体；把多于 kn kn个物体任意分放进个物体任意分放进 n n个空抽屉里（
19、个空抽屉里（k k是正整数），那么一定有一个抽是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（屉中放进了至少（k+1k+1）个物体。）个物体。 23（四）小学数学知识体系中（四）小学数学知识体系中“实践与综合实践与综合应用应用”的知识拓展的知识拓展7、数学建模、数学建模8、植树问题、植树问题 植树问题（人教版四下册数学广角）的三种情况植树问题（人教版四下册数学广角）的三种情况: :两端都栽的情况，棵数两端都栽的情况，棵数 = = 间隔数间隔数 + 1+ 1；只栽一端的情；只栽一端的情况，棵数况，棵数 = = 间隔数；两端都不栽的情况，棵数间隔数；两端都不栽的情况，棵数 = = 间隔间隔数数 - 1
20、- 1 。“三种情况三种情况”的区分以及相应的计算法则的区分以及相应的计算法则( (“加一加一”“”“不加不减不加不减”“”“减一减一”) )看成一种看成一种“规律规律”要求学生牢固地掌握，从而能在面对新的类似问题时要求学生牢固地掌握，从而能在面对新的类似问题时不假思索地直接加以应用。不假思索地直接加以应用。24（四）小学数学知识体系中（四）小学数学知识体系中“实践与综合实践与综合应用应用”的知识拓展的知识拓展9、鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题（六上数学广角）思路：假设法的应用 251、推理（三上、推理（三上P126）比较上层和下层，可知1瓶中的等于2瓶小的，即中瓶是400克；再比较中层和下层，知1
21、大瓶等于2中瓶，故大瓶等于800克。2、排列题（三下、排列题（三下P98）用5、0、7、6排成（1）小于1的三位小数；（2）大于7而小数部分是三位数的小数。（1）P =321=6，（2）P -P =6-2=4。（五）数学小资料（五）数学小资料33332226（五）数学小资料（五）数学小资料 3、填数题（四上、填数题（四上P48） 将10、15、20、30、40、60排成等边三角形，每边的积相等。要找出三组数，它们有相同的公倍数1200。应是20、15、40，20、60、10，40、30、10。 4、格子乘法（四上、格子乘法（四上P57） 5、神奇的莫比乌斯带（四上、神奇的莫比乌斯带（四上P77
22、） 27（五）数学小资料（五）数学小资料 6、找百宝箱密码（四上、找百宝箱密码（四上P95） 用不定方程解，设六位数为 十万万千百十个 8 Y 0 X 4 X ,0 X 9，0 Y 9. （800+10Y）（10X+4）= 35，即Y=35X66， 当X=2时，Y=4，所求的六位数是840242。 另，可用不定方程求四下P47的3个数。28（五）数学小资料（五）数学小资料 7、数字推理（四下、数字推理（四下P119） 1号第3名，2号第4名，3号第2名，4号第1名。 8、“数字黑洞数字黑洞”（五上P31） 任取一个四位数，只要四个数字不全相同，按数字递减顺序排列，构成最大数作为被减数；按数字递
23、增顺序排列，构成最小数作为减数，其差就会得6174；如不是6174，则按上述方法再作减法，至多不过7步（含0可排在首位）就必然得到6174。29（五）数学小资料（五）数学小资料 9、哥德巴赫猜想、哥德巴赫猜想（五下P26） 每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和，如12 = 5 + 7；每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和，如77=53+17+7。 陈氏定理（1966年证明）：任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积（简称1+2）。30（五）数学小资料（五）数学小资料 10、找次品、找次品（五下P137） 观察可知，3的指数就是找次品需要测的次数。
24、 11、排列组合问题、排列组合问题（五下P143） 用1、2、3、4数字卡组成多少个两位的偶数。 12、比（六上P48） a/6=b/4 a:b=6:4=3:231（五）数学小资料（五）数学小资料 13、黄金分割、黄金分割（六上P51）：如果线段AB=a,那么黄金分割点C有两个AC=（-1）a/2。 15、周长一定时、周长一定时，围成的长方形、正方开、圆，哪个面积最大。（六上P74） 设周长为C，正方形面积是C/16，圆的面积是C/4，即C/16C/4。 32（五）数学小资料（五）数学小资料 16、一百馒头一百僧、一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁。（六上P117）
25、 把1个大僧和3个小僧分成1组，1组吃馒头4个，1004=25（组），即大和尚25（人），小和尚325=75（人）。 33（五）数学小资料（五）数学小资料 17、斐波那契数列斐波那契数列（六下P65）：斐波那契首先研究的一种递归数列，从第三项起，它的每一项都等于前两项之和。 此数列的前几项为1，1，2，3，5等等。 在生物数学中（如兔子繁殖等），许多生物现象都会呈现出斐波那契数列的规律。斐波那契数列相邻两项的比值趋近于黄金分割数。斐波契数列1，1，2，3，5，8，13，21，.。从第三项起，后二数之比2/3,3/5,4/8,8/13,13/21,.近似值的。34（五）数学小资料（五）数学小资料
26、 18、七桥问题（六下、七桥问题（六下P95） 18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。这就是柯尼斯堡七桥问题。 欧拉注意到，如果一个图能一笔画成，那么一定有一个起点开始画，也有一个终点。图上其它的点是“过路点”画的时候要经过它。 现在对照七桥问题的图，所有的顶点都是奇点，共有四个，所以这个图肯定不能一笔画成。35（五）数学小资料数学小资料 19、储蓄与纳税、储蓄与纳税 （1）储蓄：利率在一定存期（年、月或日）内的利息与本金的比。 利息=本金利率存期， 本利和=本金（1+利率存期）。 （2）纳税：纳税的种类较多，一般的计法：应纳税额需纳税的款项额征收率。36（五）数学小资料数学小资料 20、九章算术、九章算术 九章算术大约成书于东汉初年，书中载有246个应用题目的解法，涉及到算术、初等代数、初等几何等多方面内容。 刘徽是三国时代魏国人。他自幼熟读九章算术，在魏陈留王景元四年（263）前后，为我国古代数学经典著作九章算术作注，做了许多创造性的数学理论工作，对我国古代数学体系的形成和发展影响很大，在数学史上占有突出的地位。37
