1、 5.1 AHP 5.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 一、一、递阶层次结构模型递阶层次结构模型 首先要把问题条理化、层次化，构造出能够反映系统内在联系的递阶层 次结构模型。将具有共同属性的元素归并为一组，作为结构模型的一个层 次。同一 层次的元素既对下一层次元素起着制约作用，同时又受到上一层 次元素的制约。这样，构造了递阶层次结构模型。AHP的层次结构，既可以 是序列型的，也可以是非序列型的。一般来说，可以将层次分为三种类型： 最高层。只包含一个元素，表示总目标层。 中间层。包含若干层元素，表示实现总目标所涉及到的各子目标， 称目标层。 最低层。表示实现各决策目标的可行方案，称为方案层
2、。 1 5.1 AHP 5.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 一、一、递阶层次结构模型递阶层次结构模型 层次结构中相邻两层次元素之间的关系用直线标明，称为作用线，元素之间不存 在关系，就没有作用线。如果某一元素与相邻下一层次所有元素均有关系，则称此元 素与下一层次存在完全层次关系；如果某元素仅与相邻下一层次部分元素存在关系， 则称为不完全层次关系。 在实际操作中，模型的层次数由系统的复杂程度和决策的实际需要而定，不宜过多。每一层次元素一般不要超过9个，过多的元素会给主观判断比较带来困难。构造一个合理而简洁的层次结构模型，是AHP方法的关键。 GC1C2Cs总目标总目标第第1层子目标层子目
3、标第第n层子目标层子目标方案层方案层)1(2g)1(1ng)1(1g)(1ng)(2ng)(nnng2 5.1 AHP 5.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 一、一、递阶层次结构模型递阶层次结构模型 例1 构建科研课题决策的层次结构模型。决策往往涉及众多因素：成果贡献、人 才培养、可行性、发展前景四个目标。和这四个目标相关的因素又有以下几个： 实用价值。研究成果给社会带来的效益，包括经济效益和社会效益。实用价值与成果贡献、人才培养、发展前景等目标都有关系。 科技水平。课题在学术上的理论价值以及在同行中的领先水平。科技水平直接关系到成果贡献、人才培养、发展前景。 优势发挥。课题发挥本单位学
4、科及人才优势程度，体现与同类课题比较的有利因素。与人才培养、课题可行性、发展前景均有关系。 难易程度。指课题本身的难度以及课题组现有人才、设备条件所决定的成功可能性。与课题可行性、发展前景相关联。 研究周期。课题研究预计所需时间，与可行性直接相关。 财政支持。是指课题的经费、设备以及经费来源。与课题可行性、发展前景直接相关。 科研课题决策，就是综合上述各种目标和因素，确定各个课题的相对优劣次 序，以供优选课题和安排科研力量参考。为此，建立科研课题决策的层次结构模 型。模型从上到下，分为四个层次，层次之司的关联情况均以作用线标明。 3 5.1 AHP 5.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理
5、一、一、递阶层次结构模型递阶层次结构模型 综合评价科研课题综合评价科研课题A课题课题1成果贡献成果贡献B1人才培养人才培养B2可行性可行性B3发展前景发展前景B4实实用用价价值值C1科科技技水水平平C2优优势势发发挥挥C3难难易易程程度度C4研研究究周周期期C5财财政政支支持持C6经经济济效效益益C11社社会会效效益益C12课题课题N4 5.1 AHP 5.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 二、判断矩阵及其二、判断矩阵及其特征向量特征向量 AHP方法采用优先权重作为区分方案优劣程度的指标。 优先权重是一种相对度量数，表示方案相对优劣的程度，其数值介于0和 1之间。在给定的决策准则之下，数
6、值越大，方案越优，反之越劣。方案层各 方案关于目标准则体系整体的优先权重，是通过递阶层次从上到下逐层计算 得到。这个过程称为递阶层次权重解析过程。 例2设有3个物体，它们的重量分别为g g1 1，g g2 2，g g3 3。为了测出各物体的重量，现将每一物体与其它物体重量两两比较：第i个物体重量与其它物体重量相比较，得到3个重量比值g gi i/g/g1 1 ，g gi i/g/g2 2，g gi i/g/g3 3 (i=1,2,3)。构成一个3行3列的矩阵A，称为3个物体重量的判断矩阵。 1112133 3212223313233/()/ijggggggAagggggggggggg 5 5.
7、1 AHP 5.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 二、判断矩阵及其二、判断矩阵及其特征向量特征向量 设3个物体重量组成的向量为 111121321222323132333/gggggggA Ggggggggggggggg 123(,)TGggg 11223333333ggggGgg 3AGG 根据线性代数知识，3是矩阵A的最大特征值，G是矩阵A属于特征值3的特征向量。因此，物体测重问题就转化为求判断矩阵的特征值和对应的特征向量，3个物体的 重量，就是判断矩阵最大特征值3的特征向量的各个分量。 6 5.1 AHP 5.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 二、判断矩阵及其二、判断矩阵及其
8、特征向量特征向量 实际中，判断矩阵的构造采用Saaty引用的1-9标度方法，各级标度含义如下表。 标度标度定定 义义含含 义义1同样重要同样重要两元素对某准则同样重要两元素对某准则同样重要3稍微重要稍微重要两元素对某准则，一元素比另一元素稍微重要两元素对某准则，一元素比另一元素稍微重要5明显重要明显重要两元素对某准则，一元素比另一元素明显重要两元素对某准则，一元素比另一元素明显重要7强烈重要强烈重要两元素对某准则，一元素比另一元素强烈重要两元素对某准则，一元素比另一元素强烈重要9极端重要极端重要两元素对某准则，一元素比另一元素极端重要两元素对某准则，一元素比另一元素极端重要2,4,6,8相邻标
9、度中值相邻标度中值表示相邻两标度之间折衷时的标度表示相邻两标度之间折衷时的标度上列标度倒数上列标度倒数反比较反比较元素元素i i对元素对元素j j的标度为的标度为a aij，反之为，反之为l/al/aij 1-9标度法则符合人的认识规律，有一定科学依据。从人的直觉判断能力看，在区分事物数量差别时，习惯使用相同、较强、强、很强、极端强等判断语言。根据心理学实验表明，多数人对不同事物在相同准则上的差异，其分辨能力介于5-9级之间，1-9标度反映了多数人的判断能力。Saaty将l-9标度方法和其它标度方法进行对比，大量模拟实验证明，1-9标度是可行的，与其它标度方法比较，能更有效地将思维判断数量化。
10、 7 5.1 AHP 5.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 二、判断矩阵及其二、判断矩阵及其特征向量特征向量 例3设有3个元素A1，A2，A3，现在构造关于准则Cr的判断矩阵 CrAlA2A3Ala11a12a13A2a21a22a23A3a31a32a3315/14513/14/131A8 5.1 AHP 5.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 三、判断矩阵的一致性三、判断矩阵的一致性 定义1:设1(1)1,(2),1,2,iiijjiaai jma；()0,ijm mAa ，A A如果满足下列二个条件：则称 A A 为互反矩阵。 定义2:设()0,ijm mAa ，A A如果满足
11、下列三个条件：则称 A A 为一致性矩阵。1(1)1,(2),(3), ,1,2,ikiiijijjijkaaaai j kmaa；9 5.1 AHP 5.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 三、判断矩阵的一致性三、判断矩阵的一致性 定理1(PerronPerron):设()0,ijm mAa ，A A则： A A 有最大的正特征值 maxmax，并且 maxmax是单根，其余特征值的模均小于 maxmax 定理2:设()0,ijm mAa ，A AA A 是互反矩阵。 A A 的属于 maxmax的特征向量 X X0 0 若 maxmax是 A A 的最大特征值，则 maxmax m m
12、 若 1 1, , 2 2, , , m m 是是A A的特征值的特征值，则,0ijijij A A 是一致性矩阵的充分必要条件是是一致性矩阵的充分必要条件是 maxmax=m=m 10 5.1 AHP 5.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 三、判断矩阵的一致性三、判断矩阵的一致性定理2:设()0,ijm mAaA ，A A 是一致性矩阵，则： 一致性正矩阵是互反正矩阵； A A 的转置矩阵AT也是一致性矩阵； A A 的每一行均为任意指定一行的正数倍数； A A 的最大特征值max=m，其余特征值均为0 ； 若若A A的属于的属于 maxmax的特征向量为的特征向量为 TmxxxX),
13、(21,( ,1,2,)iijjxai jmx 有有： 产生问题：根据决策者主观判断所构造的判断矩阵具有互反性， 但是不一定具有一致性，即不一定满足15/ 14513/ 14/ 131A, ,1,2,3ikijjkaai j ka ；11 5.1 AHP 5.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 三、判断矩阵的一致性三、判断矩阵的一致性 尽管判断矩阵不具有完全的一致性，仍希望它的最大特征值max略大于阶数m，其余特征值接近于零，称之为满意的一致性。这样，计算出的层次单排序结果才是合理的。因此，必须对判断矩阵的一致性进行检验，使之达到满意的一致性标准。 设判断矩阵A的全部特征值为：1= max
14、，2，m 由于A是互反矩阵，aii=1，(i=1，2，m)。由矩阵理论有max21mmiiiam max2,|miim 即即 为达到满意一致性，除了max之外，其余特征值尽量接近于零。取2max|.11miimC Imm 作为检验判断矩阵一致性指标。 12 5.1 AHP 5.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 三、判断矩阵的一致性三、判断矩阵的一致性C.I越大，偏离一致性越大。反之，偏离一致性越小。判断矩阵的阶数m越大，判断的主观因素造成的偏差越大，偏离一致性也就越大，反之，偏离一致性越小。当阶数m2时，C.I=0，判断矩阵具有完全一致性。因此，必须引入平均随机一致性指标R.I，随判断矩
15、阵的阶数而变化，如下表。这些R.I值是用随机方法构造判断矩阵，经过1000次以上的重复计算，求出一致性指标，并加以平均而得到的。 阶数12345678R.I.000.520.891.121.261.361.41阶数9101112131415R.I.1.461.491.521.541.561.581.59一致性指标C.I与同阶平均随机一致性指标R.I的比较值，称为一致性比率.CICRR I 13 5.1 AHP 5.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 三、判断矩阵的一致性三、判断矩阵的一致性用一致性比率C.R检验判断矩阵的一致性，当C.R越小时，判断矩阵的一致性越好。一般认为，当C.R0.1
16、时，判断矩阵符合一致性标准，层次单排序的结果是可以接受的。否则，需要修正判断矩阵，直到检验通过。判断矩阵的一致性检验步骤是： 第一步：求出一致性指标 1.maxmmIC第二步：查表得到平均随机一致性指标 R.I 第三步：计算一致性比率 IRICRC.当C.R0.1时，接受判断矩阵，否则，修改判断矩阵 14 5.1 AHP 5.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 四、判断矩阵求解四、判断矩阵求解判断矩阵 A=(aij)mm 是决策者主观判断的描述，求解判断矩阵并不要求过高的精度。有根法、和法及幂法，幂法适于在计算机上运算。 （1）根法 第一步：计算A的每一行元素之积 Mi 第二步：计算Mi的
17、m次方根ai 第三步：对向量a=(a1,a2,am)T作归一化处理， 1/miikkwaa 令令 得到最大特征值对应的特征向量W=(w1,w2,wm)T 第四步：求A的最大特征值maxmax1()1miiiAWmw 15 5.1 AHP 5.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 四、判断矩阵求解四、判断矩阵求解: :（1）根法 mmmmmmaaaaaaaaaA21222211121111112122122212mmmmmmmMaaaMaaaMaaa1122mmmmmaMaMaM 1122/miimiimmmiiwaawaaWwaa max111112112max111max1,mmmmmmm
18、mwawawawawwawaww max,AWW 11111212122222max12mmmmmmmmwwaaaaaawwaaaww 即即：11max()iimmiiiawawAWww 取算述平均值： max1()1miiiAWmw 16 5.1 AHP 5.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 四、判断矩阵求解四、判断矩阵求解: :（1）根法 例3求解下列判断矩阵的最大特征值及其对应的 特征向量，并进行一致性检验。 14/16/1413/1631A14/16/1413/1631A184/31/24M 2.620741.100640.34668a 0.64420.27060.0852W 1
19、231360.64421.9627()1 / 3140.27060.8261()1 / 61 / 410.08520.2609()AWAWAWAW 312max1123()()()()113miiiAWAWAWAWmwwww 1 1.96270.82610.20693 0.64420.27060.0852 3.0535 17 5.1 AHP 5.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 四、判断矩阵求解四、判断矩阵求解: :（1）根法 进行一致性检验： max3.05353.0.0268131mC Im .0.0268.0.05150.1.0.52C IC RR I 所以，判断矩阵A满足一致性检
20、验。 18 5.1 AHP 5.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 四、判断矩阵求解四、判断矩阵求解（2）和法 第一步：判断矩阵A的元素按列作归一化处理得到矩阵Q 第二步：将矩阵Q的元素按行相加，得到向量a 第三步：对向量a=(a1,a2,am)T作归一化处理， 1/miikkwaa 令令 得到最大特征值对应的特征向量W=(w1,w2,wm)T 第四步：求A的最大特征值maxmax1()1miiiAWmw 19 5.1 AHP 5.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 四、判断矩阵求解四、判断矩阵求解: :（2）和法 mmmmmmaaaaaaaaaA2122221112111111112
21、122111112121122222211111112221111/mmmiimmimiiimmmiimmimiiimmmmmimmimmmimiiiqaaqaaqaaqaaqaaqaaQqaaqaaqaa 11112122122212mmmmmmmaqqqaqqqaaqqq1122/miimiimmmiiwaawaaWwaa 20 5.1 AHP 5.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 四、判断矩阵求解四、判断矩阵求解: :（2）和法max111112112max111max1,mmmmmmmmwawawawawwawaww max,AWW 11111212122222max12mmmm
22、mmmmwwaaaaaawwaaaww 即即：11max()iimmiiiawawAWww 取算述平均值： max1()1miiiAWmw 21 5.1 AHP 5.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 四、判断矩阵求解四、判断矩阵求解: :（2）和法 例3求解下列判断矩阵的最大特征值及其对应的 特征向量，并进行一致性检验。 14/16/1413/1631A14/16/1413/1631A6/912/176/112/94/174/111/91/171/11Q1.9180.82120.2068a0.63930.27370.0869W 1231360.63931.9818()1 / 3140.2
23、7370.8344()1 / 61 / 410.08690.2619()AWAWAWAW 312max1123()()()()113miiiAWAWAWAWmwwww 1 1.98180.83440.26193 0.63930.27370.0869 3.0541 22 5.1 AHP 5.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 四、判断矩阵求解四、判断矩阵求解: :（2）和法 进行一致性检验： max3.05413.0.0271131mC Im .0.0271.0.05210.1.0.52C IC RR I 所以，判断矩阵A满足一致性检验。 23 5.1 AHP 5.1 AHP方法的基本原理方
24、法的基本原理 四、判断矩阵求解四、判断矩阵求解（3）幂法：逐步迭代方法，容易编程计算 第一步：k=0，任取初始正向量 第二步：k=1，迭代计算定理：设()0,ijm mAaA ，则limkTkkAEC WEAE (0)(0)(0)(0)12(,) ,TmXxxx (0)0maxiimx ，其中 E=(1,1,1)T，C 为常数(0 )(0 )0,XYm (1)(0)XA Y (1)1,maxiiMx (1)(1)1,XYm 第k+1步：迭代计算（k=0,1,2,3,）(1)( )kkXA Y (1)1,maxkkiiMx (1)(1)1,kkkXYm 24 5.1 AHP 5.1 AHP方法的
25、基本原理方法的基本原理 四、判断矩阵求解四、判断矩阵求解（3）幂法：逐步迭代方法，容易编程计算 第三步：精度检查，当|m|mk+1k+1-m-mk k| ，转入第四步；否则令k=k+1，转入第二步 第四步：求最大特征值和对应的特征向量 max1km (1)(1)1,kmkiiYWy 返回返回25作业：作业： 假如你现在面临毕业择业，可能有学校（工作假如你现在面临毕业择业，可能有学校（工作1 1）、科研单）、科研单位（工作位（工作2 2）、企业（工作）、企业（工作3 3）可以去选择，一般依据兴趣、工资待）可以去选择，一般依据兴趣、工资待遇、发展前途、地理位置、同事关系、地理位置、单位名气这几个遇、发展前途、地理位置、同事关系、地理位置、单位名气这几个因素择业，请试用因素择业，请试用AHPAHP法分析你对选择这三类工作的顺序。法分析你对选择这三类工作的顺序。26 兴兴 趣趣27
