1、第第9章章 联立方程模型联立方程模型9.1 联立方程模型的概念联立方程模型的概念 含有两个以上方程的模型称为含有两个以上方程的模型称为联立方程模型。联立方程模型。1. 联立方程模型中变量的分类：联立方程模型中变量的分类： （1）内生变量。由模型系统决定）内生变量。由模型系统决定其取值的变量，是随机变量。若内其取值的变量，是随机变量。若内生变量在某个方程中作解释变量，生变量在某个方程中作解释变量，则该方程存在随机解释变量问题，则该方程存在随机解释变量问题，方程中参数的最小二乘估计量是有方程中参数的最小二乘估计量是有偏和不一致的。偏和不一致的。 （2）外生变量。由模型系统以外的）外生变量。由模型系
2、统以外的因素决定其取值的变量。在方程中只因素决定其取值的变量。在方程中只能作解释变量，且与随机项之间独立。能作解释变量，且与随机项之间独立。 （3）预定变量。滞后内生变量和外）预定变量。滞后内生变量和外生变量的统称。滞后内生变量与现期生变量的统称。滞后内生变量与现期随机项之间独立。若某个方程中只有随机项之间独立。若某个方程中只有预定变量作解释变量，则该方程参数预定变量作解释变量，则该方程参数的最小二乘估计量具有无偏和最小方的最小二乘估计量具有无偏和最小方差性。差性。2. 联立方程模型中方程的分类：联立方程模型中方程的分类： （1）随机方程（行为方程）。含有）随机方程（行为方程）。含有随机项和未
3、知参数的方程。其中的参随机项和未知参数的方程。其中的参数需要估计。数需要估计。 （2）非随机方程（定义方程）。不）非随机方程（定义方程）。不含有随机项和未知参数的方程，不需含有随机项和未知参数的方程，不需要估计参数。要估计参数。 例例9.1 一个简化的凯恩斯宏观经一个简化的凯恩斯宏观经济模型济模型t01 t1tCaa Y =+消费方程消费方程ttttYCG=+收入方程收入方程t01 t2 t12tbb Yb Y =+投资方程投资方程其中其中Ct为消费，为消费，It为投资，为投资，Yt为国为国民收入，民收入，Gt为政府支出，为政府支出，Yt1为为Yt的滞后项。内生变量包括的滞后项。内生变量包括
4、Ct、It、Yt ，外生变量为，外生变量为Gt ，预定内生变，预定内生变量为量为Yt 1 ，预定变量包括，预定变量包括 Gt、 Yt 1 。消费方程和投资方程为随。消费方程和投资方程为随机方程，收入方程为非随机方程。机方程，收入方程为非随机方程。9.2 联立方程模型的分类联立方程模型的分类1. 结构模型：结构模型： 描述经济变量之间直接影响关描述经济变量之间直接影响关系的模型。结构模型中的方程称为系的模型。结构模型中的方程称为结构方程，结构方程中的系数称为结构方程，结构方程中的系数称为结构参数，结构参数组成的矩阵称结构参数，结构参数组成的矩阵称为结构参数矩阵。为结构参数矩阵。例例9.1的结构参
5、数矩阵为的结构参数矩阵为tttt1t10120CYYG10-a00-a01 -b-b0-b-1 -110-10例例9.2 某农产品的市场局部均衡模型某农产品的市场局部均衡模型1tt01 t2 tDaa Pa Y =+需求方程需求方程2tt01 t12tSbb Pb W =+供给方程供给方程ttDS=均衡方程均衡方程其中其中Dt为需求量，为需求量，St为供给量，为供给量，Pt为价为价格，格，Yt为消费者收入，为消费者收入，Wt为天气状况，为天气状况，Pt1为为Pt的滞后值。这是结构模型，内的滞后值。这是结构模型，内生变量包括生变量包括 Dt、St、Pt ，外生变量包，外生变量包括括Yt 、Wt
6、，预定内生变量为，预定内生变量为Pt 1 ，预，预定变量包括定变量包括 Yt、 Wt 、Pt 1 。需求方。需求方程、供给方程是随机方程，均衡方程程、供给方程是随机方程，均衡方程是非随机方程。结构参数矩阵为是非随机方程。结构参数矩阵为结构模型的一般形式为结构模型的一般形式为tttAYBX +=(9.1)ttttt1t120120DSPYPW10-a-a00-a0100-b-b-b-1 -100000 Tt1tmtTt1tktTt1tmtYYmXXkmmYXAB =其中为个内生变量其中为个内生变量组成的向量，为 个组成的向量，为 个预定变量组成的向量，预定变量组成的向量，为个随机项组成的向量。模
7、型中包括为个随机项组成的向量。模型中包括个结构方程，为结构参数矩阵。个结构方程，为结构参数矩阵。2. 简化模型：简化模型： 将内生变量表示为预定变量和随将内生变量表示为预定变量和随机项的函数。（机项的函数。（9.1）式化为）式化为11tttYABXA =+11tt,CAB VA =记,上式为记,上式为tttYCXV=+（9.2）称为参数关系式。称为参数关系式。1CAB=（9.3）（9.2）式称为（）式称为（9.1）式的简化模）式的简化模型。简化模型中的方程称为简化方型。简化模型中的方程称为简化方程，简化方程中的参数称为简化参程，简化方程中的参数称为简化参数，简化参数组成的矩阵数，简化参数组成的
8、矩阵C称为简称为简化参数矩阵。化参数矩阵。例例9.3 某商品的市场局部均衡模型为某商品的市场局部均衡模型为t01 t2 t1tDaa Pa Y =+需求方程需求方程t01 t2t2tSbb Pb W =+供给方程供给方程ttDS=均衡方程均衡方程简化模型为简化模型为002tt11112t1t11babPWababaYvab=+12t3 t1tcc Wc Yv=+1 00 11 2ttt11112 1t2t12a ba ba bDSWababa bYvab=+45t6 t2tcc Wc Yv=+参数关系式为参数关系式为00212111121 00 13411111 22 1561112,babc
9、, c,ababaa ba bccababa ba bc, cabab=可得可得 简化参数的最小二乘估计量具有无简化参数的最小二乘估计量具有无偏和最小方差性。但根据参数关系式得偏和最小方差性。但根据参数关系式得到的结构参数估计量是有偏和一致的。到的结构参数估计量是有偏和一致的。1521632112211041 1041 1acc ,bcc ,a(ab ) , bc (ab ) ,aca c ,bcb c=9.3 模型的识别概念模型的识别概念例例9.4 某商品的市场局部均衡模型为某商品的市场局部均衡模型为t01 t2 t3 t1tDaa Pa Ya P =+需求方程需求方程t01 t2tSbb
10、P =+供给方程供给方程ttDS=均衡方程均衡方程简化模型为简化模型为0023ttt1t111111baaaPYPvababab =+12 t3 t1tcc Yc Pv =+1 00 12 1ttt11113 1t2t11a ba ba bDSYababa bPvab =+45t6 t2tcc Yc Pv =+参数关系式为参数关系式为002121111baac, c,abab=31 00 1341111aa ba bc, c,abab=2 13 1561111a ba bc, cabab=可得可得15263bcccc,=或或041 1bcc b=0123a ,a ,a ,a无解。无解。 例例9
11、.3 和例和例9.4 说明，利用简化说明，利用简化参数和参数关系式求解结构参数，参数和参数关系式求解结构参数，存在惟一解、多个解、无解三种情存在惟一解、多个解、无解三种情况。况。1. 恰好识别：恰好识别： 通过简化参数和参数关系式可通过简化参数和参数关系式可得结构参数的惟一解，称该结构方得结构参数的惟一解，称该结构方程恰好识别。每个结构方程都恰好程恰好识别。每个结构方程都恰好识别，称该结构模型恰好识别。例识别，称该结构模型恰好识别。例9.3中的需求方程和供给方程均恰好中的需求方程和供给方程均恰好识别，该模型恰好识别。识别，该模型恰好识别。2. 过度识别：过度识别： 通过简化参数和参数关系式可得
12、通过简化参数和参数关系式可得结构参数的多个解，称该结构方程过结构参数的多个解，称该结构方程过度识别。例度识别。例9.4中的供给方程过度识别。中的供给方程过度识别。 恰好识别和过度识别统称可识别。恰好识别和过度识别统称可识别。每个结构方程均可识别，称该结构模每个结构方程均可识别，称该结构模型可识别。可识别但不是恰好识别的型可识别。可识别但不是恰好识别的结构模型称为过度识别。结构模型称为过度识别。3. 不可识别：不可识别： 通过简化参数和参数关系式得通过简化参数和参数关系式得不到结构参数，称该结构方程不可不到结构参数，称该结构方程不可识别。存在结构方程不可识别，称识别。存在结构方程不可识别，称该结
13、构模型不可识别。例该结构模型不可识别。例9.4中的需中的需求方程不可识别，该结构模型不可求方程不可识别，该结构模型不可识别。识别。4. 可识别的等价定义：可识别的等价定义： 某个结构方程与全部结构方程某个结构方程与全部结构方程的任意线性组合具有不同的统计形的任意线性组合具有不同的统计形式，即有不完全相同的内生变量或式，即有不完全相同的内生变量或预定变量，称该结构方程可识别；预定变量，称该结构方程可识别；否则为不可识别。否则为不可识别。例例9.4中，对任意实数中，对任意实数 和和 可得可得1 2 ，1 t2t12t12tDS()D()S+=+=+1 02 01 12 2t1 2 t1 3 t3t
14、(ab )(aa )Pa Ya P =+ 该方程与供给方程有不同的统该方程与供给方程有不同的统计形式，故供给方程可识别。该方计形式，故供给方程可识别。该方程与需求方程有相同的统计形式，程与需求方程有相同的统计形式，故需求方程不可识别，对该方程的故需求方程不可识别，对该方程的参数估计，不能确定是针对哪个参数估计，不能确定是针对哪个 和和 的值，即不能确定估计了哪个的值，即不能确定估计了哪个方程，因此参数估计没有意义。方程，因此参数估计没有意义。1 2 9.4 结构方程的识别条件结构方程的识别条件1. 阶条件：阶条件：iKMiGi 记 为结构模型中变量的总数， 记 为结构模型中变量的总数，为第 个
15、结构方程中变量的个数，为第 个结构方程中变量的个数，为方程个数。对第 个结构方程。为方程个数。对第 个结构方程。i(1)KMG1i=当时，称阶条件当时，称阶条件成立，此时若第 个结构方程可识别，成立，此时若第 个结构方程可识别，则为恰好识别。则为恰好识别。i(2)KMG1i当时，称阶条件当时，称阶条件成立，此时若第 个结构方程可识别，成立，此时若第 个结构方程可识别，则为过度识别。则为过度识别。i(3)KMG1i当时，称阶条件不当时，称阶条件不成立，第 个结构方程一定不可识别。成立，第 个结构方程一定不可识别。2. 秩条件：秩条件：步骤为步骤为（1）写出结构参数矩阵；）写出结构参数矩阵； （2
16、）删去第）删去第i个结构方程系数所在个结构方程系数所在行，及该行中非零系数所在列；行，及该行中非零系数所在列； （3）余下的子矩阵）余下的子矩阵A0 B0 ，若秩，若秩等于等于G1, 则称秩条件成立，第则称秩条件成立，第i个结个结构方程可识别；否则若秩小于构方程可识别；否则若秩小于G1, 则秩条件不成立，第则秩条件不成立，第i个结构方程不个结构方程不可识别。可识别。例例9.5 简化的凯恩斯宏观经济模型简化的凯恩斯宏观经济模型t01 t2 t1tCaa Ya T =+消费方程消费方程t01 t3tTcc Y =+税收方程税收方程ttttYCG=+收入方程收入方程t01 t2 t12tbb Yb
17、Y =+投资方程投资方程 结构参数矩阵为结构参数矩阵为且且 K=6 , G=4 。 ttttt1t21121CTYYG10-a-a00010-b-b0001-c00-1-10-A B001= 对消费方程，阶条件中，对消费方程，阶条件中，M1=3 , KM1=G1=3, 阶条件成立，且取等阶条件成立，且取等号。秩条件中，删去号。秩条件中，删去A B中第中第1行行和第和第1、3、4各列，得各列，得 2001 -b0000-11A B0-=其秩其秩=2G1, 阶条件成立，且取大阶条件成立，且取大于号。秩条件中，删去于号。秩条件中，删去A B中第中第3行和第行和第3、4各列，得子矩阵各列，得子矩阵 0
18、02100001 -b0-1 -10-1A B=其秩其秩=3=G1 , 秩条件成立。结合阶秩条件成立。结合阶条件，税收方程过度识别。条件，税收方程过度识别。 收入方程不需估计参数，因此收入方程不需估计参数，因此不需要进行识别。不需要进行识别。 综上所述，该结构模型不可识别。综上所述，该结构模型不可识别。9.5 联立方程模型的估计方法联立方程模型的估计方法1. 间接最小二乘法（间接最小二乘法（ILS法）：法）： 适用于恰好识别的结构方程，步适用于恰好识别的结构方程，步骤为骤为（1）写出结构模型对应的简化模型；）写出结构模型对应的简化模型；（2）对每个简化方程应用最小二乘）对每个简化方程应用最小二
19、乘法估计简化参数；法估计简化参数； （3）利用简化参数估计值和参数关）利用简化参数估计值和参数关系式得到该结构方程参数的估计值。系式得到该结构方程参数的估计值。 统计性质：小样本下估计量有偏，统计性质：小样本下估计量有偏，大样本下估计量一致。大样本下估计量一致。2. 工具变量法（工具变量法（IV法）：法）： 适用于有内生变量作解释变量的适用于有内生变量作解释变量的结构方程。步骤为结构方程。步骤为 （1）选取工具变量，满足条件：与作）选取工具变量，满足条件：与作解释变量的内生变量高度相关，与随机项解释变量的内生变量高度相关，与随机项不相关。通常选取外生变量作为工具变量。不相关。通常选取外生变量作
20、为工具变量。 （2）分别用工具变量和该结构方程中）分别用工具变量和该结构方程中的预定变量乘以方程两边并对样本观测值的预定变量乘以方程两边并对样本观测值求和，其中与随机项的乘积和为求和，其中与随机项的乘积和为0，得到，得到与未知结构参数一样多的线性方程，求解与未知结构参数一样多的线性方程，求解得到结构参数的估计值。得到结构参数的估计值。 统计性质：小样本下估计量有偏，统计性质：小样本下估计量有偏，大样本下估计量一致。大样本下估计量一致。3. 两阶段最小二乘法（两阶段最小二乘法（2SLS法）：法）： 主要用于过度识别的结构方程。主要用于过度识别的结构方程。步骤为步骤为(1)YY 对作解释变量的内生
21、变量 的简对作解释变量的内生变量 的简化方程应用最小二乘法，得估计值。化方程应用最小二乘法，得估计值。(2)YY 用代替结构方程右边作解释用代替结构方程右边作解释变量的内生变量 ，再应用最小二乘变量的内生变量 ，再应用最小二乘法得到该结构方程中参数的估计值。法得到该结构方程中参数的估计值。 统计性质：小样本下有偏，大统计性质：小样本下有偏，大样本下估计量一致。样本下估计量一致。例例9.6 联立方程模型联立方程模型1t1 1t22t3 2t1tYa Xa Xa Y =+2t1 3t2 1t2tYb Xb Y =+结构参数矩阵为结构参数矩阵为 312211-a-a-a0-b100-bA B=且且K
22、=5 , G=2 。 对第一个方程对第一个方程,阶条件中阶条件中, M1=4 , KM1=G1=1, 阶条件成立且取等号。阶条件成立且取等号。秩条件中，删去秩条件中，删去A B中第中第1行和第行和第1、2、3、4各列，得子矩阵各列，得子矩阵 001A Bb=其秩其秩=G1 , 秩条件成立。结合阶条秩条件成立。结合阶条件，第一个方程恰好识别。件，第一个方程恰好识别。 应用间接最小二乘法估计第一个应用间接最小二乘法估计第一个方程。简化方程为方程。简化方程为121t1t2t3 23 23 13t1t3 2aaYXX1 a b1 a ba bXv1 a b=+1 1t22t33t1tc Xc Xc X
23、v=+1 22 22t1t2t3 23 213t2t3 2a ba bYXX1 a b1 a bbXv1 a b=+41t52t63t2tc Xc Xc Xv=+参数关系式为参数关系式为12123 23 2aac, c,1 a b1 a b=3 11 2343 23 2a ba bc, c,1 a b1 a b=2 21563 23 2a bbc, c1 a b1 a b=解得解得336acc ,=113 4aca c,=223 5aca c=。1t2t161612333611342235YYccccaaaacc , aca c,aca c= 对对和和的的简简化化方方程程应应用用最最小小二二乘
24、乘法法，得得简简化化参参数数、 、的的估估计计值值、 、, ,代代入入得得结结构构参参数数、的的估估计计值值。 对第二个方程对第二个方程,阶条件中阶条件中, M2=3 , KM2=2G1, 阶条件成立且取大于阶条件成立且取大于号。秩条件中，删去号。秩条件中，删去A B中第中第2行和行和第第1、2、3各列，得子矩阵各列，得子矩阵 0012A Baa=其秩其秩=1=G1 , 秩条件成立。结合阶秩条件成立。结合阶条件，第二个方程过度识别。条件，第二个方程过度识别。1t1t1 1t22t33t1t1t1t1t2t1 3t21t2t1212YYc Xc Xc XvYYvYb Xb Yv,bbbb =+=
25、+=+ 应用两阶段最小二乘法估计第二 应用两阶段最小二乘法估计第二个方程。对的简化方程个方程。对的简化方程应用最小二乘法，应用最小二乘法，得。再将其代入第二个得。再将其代入第二个结构方程得结构方程得应用最小二乘法得、的估计、 。应用最小二乘法得、的估计、 。9.6 案例分析案例分析 英国英国19481968年消费年消费Ct、国民、国民生产总值生产总值Yt、投资、投资It和政府支出和政府支出Gt数数值见表值见表9-1（P254）。建立模型）。建立模型t01 t2t11tCaa Ya C =+消费方程消费方程ttttYCG=+收入方程收入方程t01 t12tbb Y =+投资方程投资方程 结构参数
26、矩阵为结构参数矩阵为 tttt1t1t121CYCYG10-a-a000100-b0-1-1100-1A B=且且 K=6 , G=3 。 对消费方程对消费方程,阶条件中阶条件中, M1=3 , KM1=3G1, 阶条件成立且取大于阶条件成立且取大于号。删去号。删去A B中第中第1行和第行和第1、3、4各列，得各列，得 1001 -b0-10-1A B=其秩其秩=2=G1 , 秩条件成立。结合阶秩条件成立。结合阶条件，消费方程过度识别。采用两条件，消费方程过度识别。采用两阶段最小二乘法估计参数。阶段最小二乘法估计参数。tt01t2 t13t1tYYcc Gc Yc Cv=+ 第一步，对的简化方
27、程 第一步，对的简化方程应应用最小二乘法，得用最小二乘法，得ttt1t1Y3251.91.207G0.087Y1.346C =+tt01t2t11tY ,Caa Ya C =+ 第二步，计算并对消费方程 第二步，计算并对消费方程应用最应用最小二乘法，得小二乘法，得标准标准差差ttt1C75.930.0846Y1.1643C=+(436.9)(0.21)(0.34)2R0.992 ,d1.63= 对投资方程，因为只有预定变量对投资方程，因为只有预定变量作解释变量，可直接应用最小二乘法，作解释变量，可直接应用最小二乘法，得到得到tt14045.380.3102Y =+2R0.9887=完成估计的联立方程模型为完成估计的联立方程模型为ttttYCG=+ttt1C75.930.0846Y1.1643C =+tt14045.380.3102Y =+
