1、轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩第二章第二章2-1 2-1 拉压杆的内力拉压杆的内力2-4 2-4 斜截面的应力斜截面的应力2-3 2-3 横截面上的应力横截面上的应力2-5 2-5 拉压杆的变形和位移拉压杆的变形和位移2-10 2-10 拉压超静定问题拉压超静定问题2-11 2-11 装配应力和温度应力装配应力和温度应力2-6 2-6 应变能应变能2-9 2-9 强度计算强度计算2-7 2-7 材料在拉压时的力学性能材料在拉压时的力学性能2-8 2-8 应力集中应力集中2-1 2-1 概述概述2-1 2-1 轴向拉伸与压缩的概念和实例轴向拉伸与压缩的概念和实例轴向拉压的受力特点轴向拉压的受力特点
2、作用于杆件上的外力或外力合力的作用线与杆件轴线重合。作用于杆件上的外力或外力合力的作用线与杆件轴线重合。轴向拉压的变形特点轴向拉压的变形特点杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。FFFF拉绳拉绳P课堂练习课堂练习：图示各杆：图示各杆BC段为轴向拉伸（压缩）的是（段为轴向拉伸（压缩）的是（ ）ABCDF AABCDF BABCDF CA2-2 2-2 拉拉( (压压) )杆的内力杆的内力内力：内力：指由外力作用所引起的、物体内相邻部指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分分之间分 布内力系的合力。（附加内力）布内力系的合力。（附加内力）研究内力方法：研究内力方法：截面
3、法截面法外力外力变形变形晶粒距离改变晶粒距离改变附加内力附加内力产生产生迫使迫使产生产生1. 内力的概念内力的概念FFFFmmFNFNF0 xF 0NFFFFN 称为轴力称为轴力2. 轴力和轴力图轴力和轴力图取左：取左：取右：取右：xx0 xF 0NFFNFF 得得得得NFF轴力正负号规定：轴力正负号规定：拉力拉力FNFFNF压力压力NNFF故和均为正 上述求解拉（压）杆轴力的方法称为截面法，其基本步骤是：上述求解拉（压）杆轴力的方法称为截面法，其基本步骤是： 截开：在需求内力的截面处，假想地用该截面将杆件一分为二。截开：在需求内力的截面处，假想地用该截面将杆件一分为二。代替：任取一部分，另一
4、部分对其作用以内力代替。代替：任取一部分，另一部分对其作用以内力代替。(假设为正）假设为正）平衡：建立该部分平衡方程，解出内力。平衡：建立该部分平衡方程，解出内力。FFmmFNFx0 xNFF轴力图：轴力图：为了清楚地看到轴力沿杆长的变化规律，可以用图线为了清楚地看到轴力沿杆长的变化规律，可以用图线的方式表示轴力的大小与横截面位置的关系。这样的图线称为的方式表示轴力的大小与横截面位置的关系。这样的图线称为轴力图。轴力图。x轴表示横截面位置，轴表示横截面位置，FN轴表示对应该位置的轴力大小。轴表示对应该位置的轴力大小。例如前面例题的轴力图例如前面例题的轴力图FFxFFNONFxo例例 2-1 （
5、书例（书例2-1） 一等直杆受四个轴向外力作用，如图所示。试一等直杆受四个轴向外力作用，如图所示。试作轴力图作轴力图 F1=10kNF2=25kNF3=55kNF4=20kNABCD1122F1=10kN1NF0 xF 110NFF1110NFFkN拉力F1=10kNF2=25kN2NF0 xF 2120NFFF212102535NFFFkNkNkN拉力F1=10kNF2=25kNF3=55kNF4=20kNABCD112233F4=20kN3NF0 xF 340NFF3420NFFkN 压力110NFkN235NFkN320NFkN 103520/NFkNxO几点说明几点说明：（1）荷载将杆
6、件分成几段，就取几段截面来研究）荷载将杆件分成几段，就取几段截面来研究（2）轴力大小与截面面积无关）轴力大小与截面面积无关（3）集中力作用处轴力图发生突变，突变值等于该集中力）集中力作用处轴力图发生突变，突变值等于该集中力kN20kN30kN40N1F0 xF 14030200NFkN20kN30kN40ABCD112233解：解：1-1截面截面kN20kN30N2F150kNNF得拉0 xF 230200NF2-2截面截面kN20N3F201050210kN(NF得拉)0 xF 3200NF320kN()NF 得压3-3截面截面例例 2-2 试作轴力图试作轴力图 /NFkNxO例例2- 3
7、（书例（书例2-2） 一受力如图所示的阶梯形杆件，一受力如图所示的阶梯形杆件，q为沿轴为沿轴线均匀分布的荷载。试作轴力图。线均匀分布的荷载。试作轴力图。 ABCDFFFFqlll2l解：首先求出解：首先求出A端反力端反力FRFFFqRF11330 xF 220RFqlFF32RFFqlF由截面法可得由截面法可得AB、CD段轴力：段轴力：1NRFFF3NFF22FFqRF2NFl1x0 xF 2120NRFqxFF12NFxFFl1 0Fx1 2FxlNFxFFFO课堂练习课堂练习：1. 若将图（若将图（a）中的）中的F力由力由D截面移到截面移到C截面（图截面（图b），则有（），则有（ ）( )
8、 A整个杆的轴力都不变化( ) BABBCCD段的轴力不变，、段的轴力变为零( ) CABBCCD、段的轴力不变，段的轴力变为零() DA端的约束反力发生变化ABCDF2FABCDF2F a bC2. 横截面面积为横截面面积为A，长度为，长度为l，材料比重为，材料比重为 的立柱受力如图所示。的立柱受力如图所示。若考虑材料的自重，则立柱的轴力图是（若考虑材料的自重，则立柱的轴力图是（ ）。）。FlFAlFAlFAlFAlFFFl/2l/2 A B CDB3. 作图示杆的轴力图作图示杆的轴力图F5/qF lllllF3F3F4FFxNF解：设坐标原点在自由端，解：设坐标原点在自由端，x 轴向右轴向
9、右为正。取左侧为正。取左侧x段为研究对象，内力段为研究对象，内力F FN( (x) )为：为：201( )d2xNFxkx xkx 2max1( ),2NFxkl 思考题思考题. .图示杆长为图示杆长为l，受分布力，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出作用，方向如图，试画出杆的轴力图。杆的轴力图。lq(x)FN (x)xq(x)qq lxOFNxO22kl单凭轴力的大小还不足以判断杆件的受力程度，例如：两根材单凭轴力的大小还不足以判断杆件的受力程度，例如：两根材料相同但粗细不同的杆，在相同的拉力下，随着拉力的增加，料相同但粗细不同的杆，在相同的拉力下，随着拉力的增加，则细杆一定先强度
10、不足而破坏。则细杆一定先强度不足而破坏。1. 应力的概念应力的概念2.3 2.3 横截面上的正应力横截面上的正应力从工程实用的角度，把单位面积上内力的大小，作为衡量受力程从工程实用的角度，把单位面积上内力的大小，作为衡量受力程度的尺度，并称为度的尺度，并称为应力应力。这说明拉压杆的强度除了与轴力的大小有关外，还与横截面的尺这说明拉压杆的强度除了与轴力的大小有关外，还与横截面的尺寸有关。寸有关。FFFFFNFFNF 应力的一般性定义应力的一般性定义 (书书26页）页）mFpA0limAFpA 上的上的平均应力平均应力Ac c点点总应力总应力正应力（正应力（normal stress)normal
11、 stress)切应力切应力(sheering stress)(sheering stress)应力分量应力分量 应力：分布内力在一点处的集度应力：分布内力在一点处的集度与强度密切相关与强度密切相关、应力单位：应力单位：2a1P1N / maP帕6aa1MP10 P9aa1GP10 PFAccpc2. 横截面上的正应力横截面上的正应力为了确定拉（压）杆横截面上的应力，必须首先了解分布内力为了确定拉（压）杆横截面上的应力，必须首先了解分布内力在横截面上的变化规律。这通常是根据实验观察到的拉（压）在横截面上的变化规律。这通常是根据实验观察到的拉（压）杆变形时的表面现象，对杆件内部的变形规律做出假设
12、，再利杆变形时的表面现象，对杆件内部的变形规律做出假设，再利用变形与分布内力间的物理关系，便可得到分布内力在横截面用变形与分布内力间的物理关系，便可得到分布内力在横截面上的分布规律。上的分布规律。bcdaFFacbdFNF平面假设：平面假设：杆件变形后，原杆件变形后，原为平面的横截面仍然保持为为平面的横截面仍然保持为平面，且仍垂直于轴线。平面，且仍垂直于轴线。根据平面假设，相邻两个横根据平面假设，相邻两个横截面间的所有纵向纤维的伸截面间的所有纵向纤维的伸长是相同的。再根据材料是长是相同的。再根据材料是均匀连续的假设，可以得出均匀连续的假设，可以得出横截面上的分布内力是均匀横截面上的分布内力是均
13、匀分布的。分布的。结论：正应力结论：正应力为常量为常量FNF根据静力学求合力的概念根据静力学求合力的概念AAdAdAANFNFA得得（2-1）NFA式中：为轴力， 为横截面面积。符合规定：拉应力为正，压应力为负。适用条件：（适用条件：（1）轴力过形心，即必须是轴向拉伸（压缩）轴力过形心，即必须是轴向拉伸（压缩）（2）符合平面假设）符合平面假设Saint-Venant原理：原理：FFFF2F2F2F2F影响区影响区当杆端以均匀分布的方式加力时，（当杆端以均匀分布的方式加力时，（2-1）式对任何横截面都是适用的。式对任何横截面都是适用的。当采用集中力或其他非均布的加载方式时，当采用集中力或其他非均
14、布的加载方式时，在加力点附近区域的应力分布比较复杂，在加力点附近区域的应力分布比较复杂，（2-1）式不再适用，然而影响的长度不）式不再适用，然而影响的长度不超过杆的横向尺寸。超过杆的横向尺寸。例例 2-4 （书例（书例2-3） 设例设例2-1中的等直杆为实心圆截面，直径中的等直杆为实心圆截面，直径d=20mm。试求此杆的最大工作应力。试求此杆的最大工作应力。F1=10kNF2=25kNF3=55kNF4=20kNABCD103520/NFkNxOFN，max=35kN （BC段）段）3N,maxN,max6max224 35 10 N111.4 10111.440.02maaFFPMPAd危险
15、截面危险截面：在研究拉（压）杆的强度问题时，通常把最大工作：在研究拉（压）杆的强度问题时，通常把最大工作正应力所在的横截面称为危险截面。正应力所在的横截面称为危险截面。1F2F2F2F2F123120kN240kN360kN例例2-5（书例（书例2-4） 一阶梯形立柱受力如图所示，一阶梯形立柱受力如图所示，F1120kN，F260kN。柱的上、中、下三段的横截面面积分别是。柱的上、中、下三段的横截面面积分别是A12104mm2, A22.4104mm2, A34104mm2。试求立柱的最大工作正应力。试求立柱的最大工作正应力。（不计立柱的自重）（不计立柱的自重）解：首先作出立柱的轴力图，如右图
16、所示解：首先作出立柱的轴力图，如右图所示由于立柱是变截面，必须求出各段由于立柱是变截面，必须求出各段的工作应力，经过比较才能确定最的工作应力，经过比较才能确定最大正应力。大正应力。111NFA3462120 10 N2 1010 m66 10 Pa 6 MPa （压应力）（压应力）1F2F2F2F2F123120kN240kN360kN222NFA333NFA结果表明，最大工作应力为结果表明，最大工作应力为10MPa的压应力（中段）的压应力（中段）3462240 10 N2.4 1010 m610 10 Pa 10 MPa 3462360 10 N4 1010 m69 10 Pa 9 MPa
17、例例2-5 （书例（书例2-4）一阶梯形立柱受力如图所示，一阶梯形立柱受力如图所示，F1120kN，F260kN。柱的上、中、下三段的横截面面积分别是。柱的上、中、下三段的横截面面积分别是A12104mm2, A22.4104mm2, A34104mm2。试求立柱的最大工作正应力。试求立柱的最大工作正应力。（不计立柱的自重）（不计立柱的自重）（压应力）（压应力）（压应力）（压应力）16 MPa 课堂练习：课堂练习： 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：的分布集度为：q =42kN/m，屋架中的钢拉杆为，屋架中的钢拉杆为NO.22a型工型
18、工字钢，字钢，试求钢拉杆横截面的正应力。（不计钢拉杆的自重）试求钢拉杆横截面的正应力。（不计钢拉杆的自重） 整体平衡求支反力整体平衡求支反力解：解：0 0 xAxFF2420 - 161602BAyMF 336AyFkN2mqACB16m钢拉杆钢拉杆AxFAyFBF求应力求应力NFA0 CM 局部平衡求轴力局部平衡求轴力 查书附录查书附录的型钢表：的型钢表：NO.22a工字钢工字钢A42cm22mAC8mAxFAyFNFq=42kN/mCxFCyF342672 10 N42 10 m160MPa6160 10 Pa24228336 802NF 672NFkN2-4 2-4 斜截面上的应力斜截面
19、上的应力规定：从横截面按逆时针转到斜规定：从横截面按逆时针转到斜截面的截面的a角为正，反之为负。为正，反之为负。FFmma a由平衡方程：由平衡方程：Fa aF则：则：FpAaaaAa a：斜截面面积：斜截面面积 cosAAaacoscosFFpAAaaaaapa a 为为斜截面上任一点的总（全）应力斜截面上任一点的总（全）应力Fmmpa aFa aa a仿照横截面上正应力为均匀分布仿照横截面上正应力为均匀分布的推理过程，可得到的推理过程，可得到a a 斜截面上的斜截面上的应力也是均匀分布的，用应力也是均匀分布的，用pa a表示表示为横截面上的正应力为横截面上的正应力斜截面上总应力：斜截面上总
20、应力：cospaa将将pa a 沿着斜截面的法线和切线分解：沿着斜截面的法线和切线分解：cospaaa2cosacossinaasinpaaasin22a切应力符号规定如下：它绕截面内侧某点有顺时针转动趋切应力符号规定如下：它绕截面内侧某点有顺时针转动趋势者为正；反之为负。势者为正；反之为负。Fmmpa aa a a a a aa apa a正应力正应力:切应力切应力:（2-2）00000amax00045amax45245290a9090045a min452 452轴向变形轴向变形FFl1lb1blll1NF lFllEAEA 轴向伸长：轴向伸长：引入比例常数引入比例常数E，并注意到，并注
21、意到FN=F，得到，得到实验表明，当拉杆横截面上的正应力不超过材料的比例极限时，实验表明，当拉杆横截面上的正应力不超过材料的比例极限时，不仅变形是弹性的，而且伸长量不仅变形是弹性的，而且伸长量l与拉力与拉力F和杆长和杆长l成正比，即成正比，即F llA（2-3）E称为弹性模量，表示材料在拉压时抵抗弹性变形的能力，因称为弹性模量，表示材料在拉压时抵抗弹性变形的能力，因而它是材料的一种力学性能，单位为而它是材料的一种力学性能，单位为Pa，工程中常用，工程中常用GPa。1GPa109Pa。其值与材料有关，由实验测定。例如。其值与材料有关，由实验测定。例如Q235钢：钢：E=200210GPa。EA称
22、为杆件的拉伸（压缩）刚度。称为杆件的拉伸（压缩）刚度。胡克定律胡克定律Ell纵向线应变：纵向线应变：上式通常称为单向应力状态下的胡克定律。上式通常称为单向应力状态下的胡克定律。胡克定律成立条件：胡克定律成立条件：正应力不超过材料的比例极限正应力不超过材料的比例极限 符号：拉伸为正、压缩为负FFl1lb1bNF lFllEAEA 无量纲无量纲(胡克定律的另一表达式胡克定律的另一表达式)(2-4)横向变形、泊松比横向变形、泊松比bb 横向线应变：横向线应变：vEv和 都是表示材料力学性能的弹性常数 表2-1FFl1lb1b1bbb 横向尺寸缩短量：横向尺寸缩短量：故故 与与 符号相反符号相反实验表
23、明实验表明,在材料正应力没有超过比例极限时，横向线应变与纵在材料正应力没有超过比例极限时，横向线应变与纵向线应变之比为常数，用绝对值表示为向线应变之比为常数，用绝对值表示为 符号：拉伸为负、压缩为正 符号：拉伸为正、压缩为负v 或写成或写成（2-5）称为横向变形因数或泊松比称为横向变形因数或泊松比v无量纲，由实验测定无量纲，由实验测定例例2- 6 （书例（书例2-5）已知已知： AB段段:A1 400mm2 BC段段:A2 =250mm2 ,E=210GPa求：求：(1)AB、BC段的伸长量及杆段的伸长量及杆的总伸长量；的总伸长量；(2)C截面相对截面相对B截面截面的位移和的位移和C截面的绝对
24、位移。截面的绝对位移。（1） 变形变形：物体受力以后：物体受力以后发生尺寸和形状的改变。发生尺寸和形状的改变。解：解：111NF llEA 3396240 10 N300 10 m210 10 Pa400 10 m30.143 10 m=0.143mm222NF llEA3396240 10 N200 10 m210 10 Pa250 10 m30.152 10 m=0.152mm杆的总伸长量杆的总伸长量12lll 0.295mml1300l2200ABCF40 kNl1300l2200ABCBC（伸长）（伸长）（伸长）（伸长）0.143mm+0.152mm （伸长）（伸长）显然，两个截面的相
25、对位移，显然，两个截面的相对位移，在数值上等于两个截面之间的在数值上等于两个截面之间的那段杆件的伸长（或缩短）。那段杆件的伸长（或缩短）。因此，因此，C截面与截面与B 截面的截面的相对位移是相对位移是 20.152mmBCl C=0.295mml 因因A截面固定，所以截面固定，所以C截面截面的位移就等于的位移就等于AC杆的伸长杆的伸长例例2- 6 （书例（书例2-5）已知已知： AB段段:A1 400mm2 BC段段:A2 =250mm2 ,E=210GPal1300l2200ABCF40 kNl1300l2200ABCBC求：求：(1)AB、BC段的伸长量及杆的总段的伸长量及杆的总伸长量；伸
26、长量；(2)C截面相对截面相对B截面的位移截面的位移(相对位移）和相对位移）和C截面的绝对位移。截面的绝对位移。（2） 位移位移：指物体上的一些点、：指物体上的一些点、 线、面在空间位置上的改变。线、面在空间位置上的改变。解：解：课堂练习课堂练习1. 已知已知： AAB =500mm2 ABC =200mm2 ,E=210GPa求：求：杆的总变形量。杆的总变形量。解：解： （1）作轴力图）作轴力图（2）计算变形）计算变形ACABBClll NAB ABNBC BCABBCFlFlEAEA30.0286 10 m 计算结果为负，说明整根杆发生了缩短计算结果为负，说明整根杆发生了缩短3396262
27、20 10 N0.1m10 10 N0.2m1210 10 Pa500 10 m200 10 m0.0286mm kN300.1mkN10ABC0.3mNFx20kN10kN（缩短）（缩短）2. 求求AB杆的伸长量杆的伸长量lABlqAAB NFx NFx NNFxdFxdxxdxxq NFxqx略去略去 NFx dxdlEA所以：所以：ABlldl NlFxdxEA普遍式（适合均匀、非均匀）普遍式（适合均匀、非均匀）0lqxdxEA22qlEABAC12F30已知已知：AB杆为圆截面钢杆， d1 =30mm E1=200GPa，l1=1m ；BC为正方形木杆a=150mm ， E2=10GP
28、a， F=30kN 。求：求：B结点的位移。结点的位移。解：解：取节点取节点B为研究对象为研究对象160k N ()NF拉力252k N ()NF压力BF301NF2NF例例2- 7 （书例（书例2-6）（1）受力分析并求）受力分析并求1、2杆轴力杆轴力210, cos300 xNNFFF10, sin300yNFFF解得：解得：329360 10 N 1m200 10 Pa30 10 m42 2222NF llE A3o29352 10 N 1m cos3010 10 Pa150 10 m30.42 10 m0.42mm伸长30.20 10 m0.20mm压缩1 1111NF llE A 例
29、例2- 7 （书例（书例2-6）已知已知：AB杆为圆截面钢杆， d1 =30mm E1=200GPa，l1=1m ；BC为正方形木杆a=150mm ， E2=10GPa， F=30kN 。求：求：B结点的位移。结点的位移。BAC12F30BF301NF2NF（2）求）求1、2杆变形杆变形BAC12F303B3B1B1l10.42mml 20.20mml2xBB 5yBB 223xyBB 20.20mm()l 12sin30tan30ll445BBB B1.19mm( )0.42mm0.20mmsin30tan30220.42mm0.20mm1.21mm2B2l（3）求）求B结点位移结点位移30
30、B1B2B3B4B5Bxy作位移图作位移图例例2-8 （书例（书例2-7） 三杆的横截面面积均三杆的横截面面积均为为A1000mm2，弹性模量均为，弹性模量均为E200GPa ， l=1m ； AB为刚性杆。求为刚性杆。求A、B两点的位移。两点的位移。F60kNBAl123o30F60kNBA1NF2NF3NF解：（解：（1）受力分析：取）受力分析：取AB为研究对为研究对象象30 0ANMF20 60kNxNFF2 22NF llEA0.346mm10 0yNFF396260 10 N1mcos30200 10 Pa1000 10 m30.346 10 m（拉力）（拉力）（伸长）（伸长）（2）
31、变形计算）变形计算BAl123o30A2B1A12l2osin30Axl0.692mm0AyBy 20.346mmlF60kNBA1NF2NF3NF30NF10NF260NFkN作位移图作位移图（3）求）求A、B点位移点位移0.692mmBxAx 0.346mm0.5o30课堂练习课堂练习3. 已知已知AB杆为刚性杆，杆为刚性杆，P1=5kN，P2=10kN，l=1mm。CD杆的杆的E=72GPa，A=440mm2，求，求A截面铅垂位移。截面铅垂位移。P1P2ll30ABDC30ABCP1P2BxFByFNCDF解解（1）取）取AB杆，求杆，求CD杆的轴力杆的轴力0BM122sin300NCD
32、PlPlFl 40NCDFkN（压）（压）（2）计算）计算CD杆的缩短量杆的缩短量NCD CDCDFllEA39640 101mcos3072 10440 10 maNP1.46mm（缩短）（缩短）30ABDC（3）作位移图）作位移图301C1ACDl几何关系：几何关系：1sin30CDlCC2CDl Ay112AyAACC4CDl 4 1.46mm 5.84mmFll1dF1FFl1l)(1ld OFl11dWFdl所以，拉力所以，拉力F所做的功：所做的功：V变形固体在外力作用下发变形固体在外力作用下发生弹性变形的同时，内部生弹性变形的同时，内部将积蓄能量。外力撤去后，将积蓄能量。外力撤去后
33、，变形随之消失，弹性体内变形随之消失，弹性体内积蓄的能量也同时释放出积蓄的能量也同时释放出来。来。弹性体伴随其弹性变弹性体伴随其弹性变形而积蓄的能量称为应变形而积蓄的能量称为应变能（变形能）能（变形能）利用功能原理求拉（压）杆利用功能原理求拉（压）杆的应变能，略去能量损失的应变能，略去能量损失（外力功）（外力功）W数值上数值上V(应变能）应变能）荷载荷载F1在位移增量在位移增量d(l1)上作元功上作元功:（阴影图形面积）（阴影图形面积）110()lWF dlAB110()lEAl dll 12Fl12VWF l故变形能为：故变形能为：110()lWF dl1dF1FFl1l)(1ld OFlA
34、B2()2EAllOABS12FlFEA22NF lEA22EA ll应变能国际单位：焦耳应变能国际单位：焦耳1J=1N mFll（2-6）VVv 22122EE单位体积内积蓄的应变能单位体积内积蓄的应变能2F lAl12oAB（2-7）应变能密度的国际单位：焦耳应变能密度的国际单位：焦耳/米米3（J/m3）关于应变能的一些讨论：关于应变能的一些讨论：（1）FN和和A改变情况改变情况1F2FF212Ni iiF lVEA（2）FN（x）或）或A（x）情况）情况qF用积分方法用积分方法 212NlFxVdxEA x（3）同种基本变形时不能用叠加法计算）同种基本变形时不能用叠加法计算V1F2Fl2
35、l2221222FlF lVEAEA212Ni iiF lVEA（4）有时利用应变能的概念可计算节点位移）有时利用应变能的概念可计算节点位移例例2-9 （书例（书例2-8） 试计算书例试计算书例2-6三角架内的应变能，并求节点三角架内的应变能，并求节点B的铅垂位移。的铅垂位移。BAC12F30解解: 由前面可知：由前面可知：FN1=60kN， FN2=52kNl1=1m， l2=0.866m三角架内的应变能为三角架内的应变能为221 12 2112222NNF lF lVE AE A2233293293a60 10 N1m52 10 N0.866m2 10 10 P150 10 m2 200
36、10 P30 10 m4a17.93 N m节点节点B的铅垂位移与荷载的铅垂位移与荷载F的方向相的方向相同，由弹性体的功能原理，荷载同，由弹性体的功能原理，荷载F所所作的功在数值上应等于三角架内的应作的功在数值上应等于三角架内的应变能，即变能，即BAC12F3012yFV 于是节点于是节点B的铅垂位移为的铅垂位移为2yVF 32 17.93N m30 10 N31.195 10 m 1.195mm2.7 2.7 材料在拉伸、压缩时的力学性能材料在拉伸、压缩时的力学性能本节主要介绍：低碳钢和铸铁在室温本节主要介绍：低碳钢和铸铁在室温(20。C)、静载下，通过轴向、静载下，通过轴向拉伸和压缩得到的
37、力学性能。（材料最基本的力学性能）拉伸和压缩得到的力学性能。（材料最基本的力学性能）低碳钢材料低碳钢材料碳钢的分类碳钢的分类低碳钢：含碳量低碳钢：含碳量0.25%的碳素钢的碳素钢中碳钢中碳钢: 含碳量含碳量 0.250.55%的碳素钢的碳素钢高碳钢高碳钢: 含碳量含碳量 0.552.0%的碳素钢的碳素钢实验条件：实验条件：室温室温(20左右左右)、静载、静载(载荷从载荷从零开始缓慢增加到力零开始缓慢增加到力F)标准试件标准试件0000510dldl或万能试验机万能试验机电子试验机电子试验机试验设备试验设备lFopFl图图(1)弹性阶段弹性阶段ObEatanE整个拉伸过程分为四个阶段：整个拉伸过
38、程分为四个阶段：P比例极限比例极限e弹性极限弹性极限拉伸图拉伸图 应力应力应变曲线应变曲线 abaocdeeO a 段为直线，应力与应变成正比段为直线，应力与应变成正比(Oa直线的斜率直线的斜率)pbscdfedg1P(2)屈服阶段屈服阶段bcs屈服极限屈服极限(3)强化阶段强化阶段cdb强度极限强度极限是低碳钢的重要强度指标是低碳钢的重要强度指标是低碳钢的重要强度指标是低碳钢的重要强度指标(4)颈缩阶段颈缩阶段de伸长率：伸长率：%1001lll断面收缩率：断面收缩率：1100%AAA是低碳钢的塑性指标是低碳钢的塑性指标卸载后，重新加载，加载路线基本沿卸载路线，卸载后，重新加载，加载路线基本
39、沿卸载路线，这样，材料的比例极限有所提高，但塑性降低。这样，材料的比例极限有所提高，但塑性降低。这种现象叫做这种现象叫做冷作硬化冷作硬化epabao图其它材料其它材料o2 . 0p%2 . 0名义屈服极限名义屈服极限o图45钢Q235钢合金铝黄铜35CrMnSi,b to图灰口铸铁灰口铸铁灰口铸铁拉伸时的特点：灰口铸铁拉伸时的特点：1.应力应力-应变曲线是一微弯的线段，无应变曲线是一微弯的线段，无屈服和颈缩现象。屈服和颈缩现象。2.变形很小时，试件就断了，伸长率变形很小时，试件就断了，伸长率很小，是典型的脆性材料。只有一个很小，是典型的脆性材料。只有一个强度指标强度指标 。沿横截面拉断，断口。
40、沿横截面拉断，断口平齐。平齐。,b t2. 低碳钢压缩时的低碳钢压缩时的E、s与拉与拉伸时基本相同。伸时基本相同。3. 屈服以后，试件逐渐被压成屈服以后，试件逐渐被压成鼓状，其横截面面积不断增大。鼓状，其横截面面积不断增大。4.由于试件压缩时不会发生断由于试件压缩时不会发生断裂，因此无法测定其强度极限。裂，因此无法测定其强度极限。故像低碳钢一类塑性材料的力故像低碳钢一类塑性材料的力学性能通常由拉伸实验测定。学性能通常由拉伸实验测定。1. 低碳钢压缩试样采用圆柱低碳钢压缩试样采用圆柱体，且体，且h=d。dh低碳钢压缩实验低碳钢压缩实验铸铁压缩实验铸铁压缩实验2. 应力应力-应变曲线直线段很应变曲
41、线直线段很短，近似符合胡克定律。短，近似符合胡克定律。3.3.压缩时强度极限比拉伸压缩时强度极限比拉伸时强度极限大得多，即时强度极限大得多，即b,c=(3.55) b,t 4. 材料逐渐被压成鼓状材料逐渐被压成鼓状,后后来沿与轴线大约来沿与轴线大约350方向断裂方向断裂,主要是被剪断的。主要是被剪断的。1. 铸铁压缩试样也采用圆柱铸铁压缩试样也采用圆柱体，且体，且h=2d。35AACB2.8 2.8 应力集中应力集中由前面可知，受轴向拉伸（压缩）的等直杆，其横截面上的正由前面可知，受轴向拉伸（压缩）的等直杆，其横截面上的正应力是均匀分布的。但是工程上有些拉压杆，由于实际的需要应力是均匀分布的。
42、但是工程上有些拉压杆，由于实际的需要而有切口，切槽、圆孔等，以致这些部位的横截面尺寸发生突而有切口，切槽、圆孔等，以致这些部位的横截面尺寸发生突然的改变。光弹性实验和弹性理论的分析都表明，在横截面尺然的改变。光弹性实验和弹性理论的分析都表明，在横截面尺寸急剧变化的区域，横截面上的正应力已不再均匀分布。寸急剧变化的区域，横截面上的正应力已不再均匀分布。1 1、应力集中的概念、应力集中的概念F应力集中：应力集中：由于截面尺寸突然改变而使应由于截面尺寸突然改变而使应 力局部增大的现象力局部增大的现象2、理论应力集中因数、理论应力集中因数maxtnomKKt: 理论应力集中系数理论应力集中系数, 反映
43、了应力集中的程反映了应力集中的程度，大于度，大于1。其中其中max : 应力集中的截面上的最大应力应力集中的截面上的最大应力nom : 同一截面上按净面积算出的平均应力同一截面上按净面积算出的平均应力3 3、生活中的例子、生活中的例子包装袋上的小口、边缘做成锯齿状等包装袋上的小口、边缘做成锯齿状等维维豆奶奶糖4、在静荷载作用下，由塑性材料制成的杆件可以不考虑应力、在静荷载作用下，由塑性材料制成的杆件可以不考虑应力集中的影响；质地均匀的脆性材料要考虑应力集中的影响；铸集中的影响；质地均匀的脆性材料要考虑应力集中的影响；铸铁可以不考虑由于外形改变而引起的应力集中的影响。铁可以不考虑由于外形改变而引
44、起的应力集中的影响。 在动荷载作用下，不论是塑性材料还是脆性材料均应考虑在动荷载作用下，不论是塑性材料还是脆性材料均应考虑应力集中的影响。（十四章）应力集中的影响。（十四章）2.9 2.9 强度计算强度计算由前面的分析可知，由塑性材料制成的拉（压）杆的工作正应力由前面的分析可知，由塑性材料制成的拉（压）杆的工作正应力达到材料的屈服极限达到材料的屈服极限s时，杆件将出现显著的塑性变形；由脆性时，杆件将出现显著的塑性变形；由脆性材料制成的拉（压）杆的工作正应力达到材料的强度极限材料制成的拉（压）杆的工作正应力达到材料的强度极限b时，时，杆件将发生断裂破坏。因此，把屈服极限杆件将发生断裂破坏。因此，
45、把屈服极限s 和强度极限和强度极限b分别作分别作为塑性材料和脆性材料的强度指标，统称为材料的极限应力，以为塑性材料和脆性材料的强度指标，统称为材料的极限应力，以u 表示，即表示，即一一.安全因数和许用应力安全因数和许用应力为了保证构件能够正常工作并具有必要的安全储备，不能用极限为了保证构件能够正常工作并具有必要的安全储备，不能用极限应力作为拉（压）杆最大工作正应力的限值，一般将极限应力除应力作为拉（压）杆最大工作正应力的限值，一般将极限应力除以大于以大于1的因数的因数n，作为工作正应力的最大许用值，称为材料的许，作为工作正应力的最大许用值，称为材料的许用应力，以用应力，以表示，即表示，即u脆性
46、材料塑性材料bssbssbbnnnn塑性材料为塑性材料的安全因数脆性材料为脆性材料的安全因数 un（2-12）式中：式中：n称为安全因数称为安全因数称为许用应力称为许用应力二二.强度条件强度条件为了保证拉（压）杆具有足够的强度，必须使杆件的最大工作为了保证拉（压）杆具有足够的强度，必须使杆件的最大工作正应力不超过材料拉伸（压缩）时的许用应力，即正应力不超过材料拉伸（压缩）时的许用应力，即 max（2-15）上式称为拉（压）杆的强度条件。上式称为拉（压）杆的强度条件。1.强度校核强度校核 ,maxmaxNFA已知荷载、杆件的截面尺寸和材料的许用应力，即可计算杆件的已知荷载、杆件的截面尺寸和材料的
47、许用应力，即可计算杆件的最大工作正应力，并检查是否满足强度条件的要求。这称为强度最大工作正应力，并检查是否满足强度条件的要求。这称为强度校核。校核。对于等直杆，（对于等直杆，（2-15）式可改写成）式可改写成 ,maxNFA（2-16）应用强度条件可以进行三类计算：应用强度条件可以进行三类计算：考虑到许用应力是概率统计的数值，为了经济起见，最大工考虑到许用应力是概率统计的数值，为了经济起见，最大工作正应力也可略大于材料的许用应力，一般认为以不超过许作正应力也可略大于材料的许用应力，一般认为以不超过许用应力的用应力的5%为宜。为宜。3.确定结构的许用载荷确定结构的许用载荷,m axNFA ,ma
48、xNFA 已知结构承受的荷载和材料的许用应力，即可算出杆件的最大已知结构承受的荷载和材料的许用应力，即可算出杆件的最大轴力，并由此确定杆件的横截面面积。轴力，并由此确定杆件的横截面面积。已知杆件的横截面尺寸和材料的许用应力，可根据强度条件计已知杆件的横截面尺寸和材料的许用应力，可根据强度条件计算出该杆所能承受的最大轴力，亦称许用轴力算出该杆所能承受的最大轴力，亦称许用轴力2.选择杆件的横截面尺寸选择杆件的横截面尺寸然后根据静力平衡条件，确定结构所许用的荷载。然后根据静力平衡条件，确定结构所许用的荷载。例例2-10 （书例（书例2-9）阶梯形杆如图所示。阶梯形杆如图所示。AB、BC和和CD段的横
49、段的横截面面积分别为截面面积分别为A1=1500mm2、 A2=625mm2、 A3=900mm2。杆的材料为杆的材料为Q235钢，钢，=170MPa。试校核该杆的强度。试校核该杆的强度。解：解：（1）作轴力图）作轴力图（2）校核强度）校核强度160kN220kN120kN260kNABCD/NFkNx120100160o由轴力图和各段杆的横由轴力图和各段杆的横截面面积可知，危险截截面面积可知，危险截面可能在面可能在BC段或段或CD段。段。222NFA3662100 10 N160 10160625 10 maaPMP （压应力）（压应力）BC段：段：CD段：段：333NFA3662160 1
50、0 N177.8 10177.8900 10 maaPMP（拉应力）（拉应力）故该杆满足强度条件。故该杆满足强度条件。结果表明，杆的最大正应力发生在结果表明，杆的最大正应力发生在CD段段160kN220kN120kN260kNABCD/NFkNx120100160o max3aa177.8170MPMP相对误差：相对误差：177.8 170100%4.6%5%1702a160MP压3a177.8MP拉例例2-11（书例（书例2-10） 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：荷的分布集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆材料为，屋架中的
