1、第十章 数字信号的最佳接收1回顾回顾“最佳最佳” 错误概率最小错误概率最小(1) (0/1)(0) (1/0)ePPPPPA0A1设接收信号设接收信号 对应的对应的k 维矢量维矢量 的值域为的值域为A( )r tr01AAA 若接收矢量落在区域若接收矢量落在区域A0内，则判为发送码元是内，则判为发送码元是“0”； 若接收矢量落在区域若接收矢量落在区域A1内，则判为发送码元是内，则判为发送码元是“1”。若若 ，则判为，则判为“0”；01(0)( )(1)( )PfrPf r10(1)( )(0)( )Pf rPfr若若 ，则判为，则判为“1”。似然比准则似然比准则2回顾回顾2000011( )e
2、xp ( )( )( 2)Tknfrr ts tdtn2110011( )exp ( )( )( 2)Tknf rr ts tdtn10(1)( )(0)( )Pf rPfr满足满足 ，则判为，则判为“0”。2210000011(1)exp ( )( )(0)exp ( )( )TTPr ts tdtPr ts tdtnn3回顾回顾二进制最佳接收二进制最佳接收机原理方框图机原理方框图1100EE2相乘器相乘器( )r t0( )st1( )s t0W1W-+0Tdt0Tdt二进制等先验概二进制等先验概率最佳接收机原率最佳接收机原理方框图：理方框图：相乘器相乘器( )r t0( )s t1( )
3、s t-+1100EE20Tdt0Tdt4总误码率为回顾回顾 21)0(21) 1 ()0/1 ()0() 1/0() 1 (222222dxePdxePPPPPPbxaxe先验概率对误码率的影响先验概率对误码率的影响当先验概率当先验概率P P(0) = 0(0) = 0及及P P(1) = 1(1) = 1时，时，a a = - = - 及及b b = = ，因此由上式计算出总误码率因此由上式计算出总误码率P Pe = 0e = 0。在物理意义上，这时由于发送码元只有一种可能性，即在物理意义上，这时由于发送码元只有一种可能性，即是确定的是确定的“1 1”。因此，不会发生错误。同理，若。因此，
4、不会发生错误。同理，若P P(0) = (0) = 1 1及及P P(1) = 0 (1) = 0 ，总误码率也为零。，总误码率也为零。5回顾回顾dxePcxe22221当先验概率相等时：当先验概率相等时：对于给定的噪声功率对于给定的噪声功率 2 2，误码率仅和两种码元波形之差，误码率仅和两种码元波形之差 s s0(0(t t) ) s s1(1(t t)的能量有关，而与波形本身无关。差别越大，的能量有关，而与波形本身无关。差别越大，c c 值越值越小，误码率小，误码率P Pe e也越小。也越小。当先验概率不等时：当先验概率不等时：由计算表明，先验概率不等时的误码率将略小由计算表明，先验概率不
5、等时的误码率将略小于先验概率相等时的误码率。就误码率而言，于先验概率相等时的误码率。就误码率而言，先验概率相等是最坏的情况。先验概率相等是最坏的情况。6回顾回顾002)1 (212)1 (121nEerfcnEerfPbbe式中xzdzexerf022)()(1)(xerfxerfc 误差函数 互补误差函数Eb 码元能量； 码元相关系数；n0 噪声功率谱密度。上式是一个非常重要的理论公式，它给出了理论上二进制等能量数字信号误码率的最佳（最小可能）值最佳（最小可能）值。在下图中画出了它的曲线。实际通信系统中得到的误码率只可能比它差，但是绝对不可能超过它。7回顾回顾误码率曲线误码率曲线dB8多进制
6、误码率曲线：由此曲线看出，对于给定的误码率，当k增大时，需要的信噪比Eb/n0减小。当k 增大到时，误码率曲线变成一条垂直线；这时只要Eb/n0等于0.693(-1.6 dB)，就能得到无误码的传输。Pe0.693Eb/n0回顾回顾9content10.5 随相数字信号的最佳接收10.6 起伏数字信号的最佳接收10.7 实际接收机和最佳接收机的性能比较10.8 数字信号的匹配滤波接收法1010.5 随相数字信号的最佳接收假设： （1）2FSK信号的能量相等、先验概率相等、互不相关； （2）通信系统中存在带限白色高斯噪声； （3）接收信号码元相位的概率密度服从均匀分布。因此，可以将此信号表示为：
7、因此，可以将此信号表示为：)cos(),()cos(),(11110000tAtstAts及将此信号随机相位的概率密度表示为：及将此信号随机相位的概率密度表示为：其他处, 020,2/1)(00f其他处, 020,2/1)(11f1110.5 随相数字信号的最佳接收由于已假设码元能量相等，故有由于已假设码元能量相等，故有ssTTbEdttsdtts00121020),(),(而且，在讨论确知信号的最佳接收时，对于先验概率相等的而且，在讨论确知信号的最佳接收时，对于先验概率相等的信号，我们按照下式条件作判决：信号，我们按照下式条件作判决：若接收矢量r使f1(r) f0(r)，则判发送码元是“0”
8、，若接收矢量r使f0(r) f1(r)，则判发送码元是“1”。现在，由于接收矢量具有随机相位，故上式中的现在，由于接收矢量具有随机相位，故上式中的f0(r)和和f1(r)分分别可以表示为：别可以表示为：2000000)/()()(dfffr rr r2011111)/()()(dfffr rr r12上两式经过复杂的计算后，代入判决条件，就可以得出最终的上两式经过复杂的计算后，代入判决条件，就可以得出最终的判决条件：判决条件：10.5 随相数字信号的最佳接收若接收矢量r 使M12 M02，则判为发送码元是“0”，若接收矢量r 使M02 M12，则判为发送码元是“1”。上面就是最终判决条件，其中
9、：上面就是最终判决条件，其中：,20200YXM,21211YXMSTtdttrX000cos)(STtdttrY000sin)(STtdttrX011cos)(STtdttrY011sin)(按照上面判决准则构成的随相信号最佳接收机的结构示于下图中。按照上面判决准则构成的随相信号最佳接收机的结构示于下图中。13最佳接收机的结构最佳接收机的结构相关器平 方cos0t相 加相关器平 方sin0t相关器平 方cos1t相 加相关器平 方sin1t比 较r(t)Y0X1Y1X010.5 随相数字信号的最佳接收1410.5 随相数字信号的最佳接收误码率：误码率：随相信号最佳接收机的误码率，用类似10.
10、4节的分析方法，可以计算出来，结果如下：)2/exp(210nEPbe上述最佳接收机及其误码率也就是上述最佳接收机及其误码率也就是2FSK2FSK确知信号的非相确知信号的非相干接收机和误码率。干接收机和误码率。)2/(21rerfcPe)2/exp(21rPe1510.5 随相数字信号的最佳接收因为随相信号的相位带有由信道引入的随机变化，所以因为随相信号的相位带有由信道引入的随机变化，所以在接收端不可能采用相干接收方法。在接收端不可能采用相干接收方法。换句话说，相干接收只适用于相位确知的信号。对于随相信号换句话说，相干接收只适用于相位确知的信号。对于随相信号而言，非相干接收已经是最佳的接收方法
11、了。而言，非相干接收已经是最佳的接收方法了。R1610.6 起伏数字信号的最佳接收仍以仍以2FSK2FSK信号为例简要地讨论其最佳接收问题。信号为例简要地讨论其最佳接收问题。假设：假设：（1 1）通信系统中的噪声是带限白色高斯噪声；）通信系统中的噪声是带限白色高斯噪声；（2 2）信号是互不相关的等能量、等先验概率的）信号是互不相关的等能量、等先验概率的2FSK2FSK信号。信号。（3 3）2FSK2FSK信号的表示式：信号的表示式：)cos(),()cos(),(111111000000tAAtstAAts2 , 1, 0,2exp)(222iAAAVfisisii式中，式中，A A0 0和和
12、A A1 1是由于多径效应引起的随机起伏振幅，它们服是由于多径效应引起的随机起伏振幅，它们服从同一瑞利分布：从同一瑞利分布：172 , 1, 0,2exp)(222iAAAVfisisii2 , 1,20,2/1)(ifii222siAE10.6 起伏数字信号的最佳接收式中，s2为信号的功率；而且0和1的概率密度服从均匀分布：此外，由于Ai是余弦波的振幅，所以信号si(t, i, Ai)的功率s2和其振幅Ai的均方值之间的关系为：18接收矢量的概率密度接收矢量的概率密度: :10.6 起伏数字信号的最佳接收由于接收矢量不但具有随机相位，还具有随机起伏的振由于接收矢量不但具有随机相位，还具有随机
13、起伏的振幅，故此概率密度幅，故此概率密度f f0 0( (r) )和和f f1 1( (r) )分别可以表示为：分别可以表示为： 20000000000),/()()()(ddAAffAffrr r 20111111011),/()()()(ddAAffAffrr r经过繁复的计算，上两式的计算结果如下：经过繁复的计算，上两式的计算结果如下：19)(2exp)(2002022000sssssTnnMTnnKfr r)(2exp)(2002122001sssssTnnMTnnKfr r10.6 起伏数字信号的最佳接收式中式中knTsdttrnK2)(1exp020n0 噪声功率谱密度；噪声功率谱
14、密度； n2 噪声功率噪声功率20误码率：误码率：10.6 起伏数字信号的最佳接收)/(210nEPe实质上，和随相信号最佳接收时一样，比较实质上，和随相信号最佳接收时一样，比较f f0 0( (r) )和和f f1 1( (r) )仍仍然是比较然是比较MM0 02 2和和MM1 12 2的大小。的大小。所以，不难推论，起伏信号最佳接收机的结构和随相信号最佳所以，不难推论，起伏信号最佳接收机的结构和随相信号最佳接收机的一样。接收机的一样。但是，这时的最佳误码率则不同于随相信号的误码率。这时的但是，这时的最佳误码率则不同于随相信号的误码率。这时的误码率等于：误码率等于：式中，式中， 接收码元的统
15、计平均能量。接收码元的统计平均能量。E21误码率曲线误码率曲线10.6 起伏数字信号的最佳接收由此图看出，在有衰落时，性能随误码率下降而迅速变坏。当误码率等于10-2时，衰落使性能下降约10 dB；当误码率等于10-3时，下降约20 dB。R2210.7 实际接收机和最佳接收机的性能比较相干相干2ASK信号信号非相干非相干2ASK信号信号相干相干2FSK信号信号非相干非相干2FSK信号信号相干相干2PSK信号信号差分相干差分相干2DPSK信号信号同步检测同步检测2DPSK信号信号4/21rerfc04/21nEerfcb4/exp21r04/exp21nEb2/21rerfc02/21nEer
16、fcb2/exp21r02/exp21nEbrerfc210/21nEerfcbrexp210/exp21nEbrerfcrerfc21100211nEerfcnEerfcbb实际接收机的Pe最佳接收机的Pe2310.8 数字信号的匹配滤波接收法什么是匹配滤波器？什么是匹配滤波器？用线性滤波器对接收信号滤波时，使抽样时刻上输出信号噪声用线性滤波器对接收信号滤波时，使抽样时刻上输出信号噪声比最大的线性滤波器称为匹配滤波器。比最大的线性滤波器称为匹配滤波器。假设条件：假设条件：接收滤波器的传输函数为接收滤波器的传输函数为H(f)，冲激响应为，冲激响应为h(t)，滤波器输入，滤波器输入码元码元s(t
17、)的持续时间为的持续时间为Ts，信号和噪声之和，信号和噪声之和r(t)为：为：sTttntstr0),()()(式中，式中，s(t) 信号码元，信号码元， n(t) 高斯白噪声；高斯白噪声；2410.8 数字信号的匹配滤波接收法并设信号码元并设信号码元s(t)的频谱密度函数为的频谱密度函数为S(f)，噪声，噪声n(t)的双边功的双边功率谱密度为率谱密度为Pn(f) = n0/2，n0为噪声单边功率谱密度。为噪声单边功率谱密度。输出电压：输出电压：假定滤波器是线性的，根据线性电路叠加定理，当滤波器输入假定滤波器是线性的，根据线性电路叠加定理，当滤波器输入电压电压r(t)中包括信号和噪声两部分时，
18、滤波器的输出电压中包括信号和噪声两部分时，滤波器的输出电压y(t)中中也包含相应的输出信号也包含相应的输出信号so(t)和输出噪声和输出噪声no(t)两部分，即：两部分，即：)()()(tntstyoodfefSfHtsftjo2)()()(式中式中2510.8 数字信号的匹配滤波接收法输出噪声功率：输出噪声功率：由由3.4-73.4-7可得可得)()()()()(*)(2fPfHfPfHfHfPRRYdffHndfnfHNo2002)(22)(dffHndfefSfHNtsrftjoo2022200)(2)()()(0这时的输出噪声功率这时的输出噪声功率No等于等于输出信噪比：输出信噪比：2
19、610.8 数字信号的匹配滤波接收法匹配滤波器的传输特性：匹配滤波器的传输特性：利用施瓦兹不等式求利用施瓦兹不等式求 r0的最大值的最大值dxxfdxxfdxxfxf2221221)()()()()()(*21xkfxf若若其中其中k k为任意常数，则上式的等号成立。为任意常数，则上式的等号成立。将上信噪比式右端的分子看作是上式的左端，并令0221)()(),()(ftjefSxffHxf2710.8 数字信号的匹配滤波接收法则有0022022022)()(2)()(nEndffSdffHndffSdffHrdffSE2)(式中式中而且当而且当02)(*)(ftjefkSfH时，上式的等号成立
20、，即得到最大输出信噪比时，上式的等号成立，即得到最大输出信噪比2E/n0。上式表明，上式表明，H(f)就是我们要找的最佳接收滤波器传输特性。它就是我们要找的最佳接收滤波器传输特性。它等于信号码元频谱的复共轭（除了常数因子外）。等于信号码元频谱的复共轭（除了常数因子外）。故称此滤波故称此滤波器为匹配滤波器。器为匹配滤波器。2810.8 数字信号的匹配滤波接收法匹配滤波器的冲激响应函数：匹配滤波器的冲激响应函数：)()()()()()(*)()(00)(2)(2*2222000ttksdttskdsdfekdfedeskdfeefkSdfefHthttfjttfjfjftjftjftj由上式可见，
21、匹配滤波器的冲激响应由上式可见，匹配滤波器的冲激响应h(t)就是信号就是信号s(t)的的镜像镜像s(-t)，但在时间轴上（向右）平移了，但在时间轴上（向右）平移了t0。 2910.8 数字信号的匹配滤波接收法000tttt1-t1t2-t1-t2t2s(t)s(-t)h(t)t0(a)(b)(c)图解：图解：3010.8 数字信号的匹配滤波接收法实际的匹配滤波器：实际的匹配滤波器：一个实际的匹配滤波器应该是物理可实现的，其冲激响一个实际的匹配滤波器应该是物理可实现的，其冲激响应必须符合因果关系，在输入冲激脉冲加入前不应该有应必须符合因果关系，在输入冲激脉冲加入前不应该有冲激响应出现，即必须有：
22、冲激响应出现，即必须有：0, 0)(tth当0, 0)(0ttts当0, 0)(ttts当或满足条件或满足条件即要求满足条件即要求满足条件上式的条件说明，接收滤波器输入端的信号码元上式的条件说明，接收滤波器输入端的信号码元s(t)在抽在抽样时刻样时刻t0之后必须为零。之后必须为零。3110.8 数字信号的匹配滤波接收法)()(tTksths一般不希望在码元结束之后很久才抽样，故通常选择在码元末一般不希望在码元结束之后很久才抽样，故通常选择在码元末尾抽样，即选尾抽样，即选t0 = Ts。故匹配滤波器的冲激响应可以写为故匹配滤波器的冲激响应可以写为这时，若匹配滤波器的输入电压为这时，若匹配滤波器的
23、输入电压为s s( (t t) )，则输出信号码元，则输出信号码元的波形为：的波形为：)()()()()()()()(sssoTtkRdTtsskdTstskdhtsts3210.8 数字信号的匹配滤波接收法)()()()()()()()(sssoTtkRdTtsskdTstskdhtsts上式表明，匹配滤波器输出信号码元波形是输入信号码元波形上式表明，匹配滤波器输出信号码元波形是输入信号码元波形的自相关函数的的自相关函数的k倍。倍。k是一个任意常数，它与是一个任意常数，它与r0的最大值无关；的最大值无关；通常取通常取k 1。33例题：【例例10.1】设接收信号码元设接收信号码元s(t)的表示
24、式为的表示式为tTttss其他, 00, 1)(sfTjftjefjdtetsfS22121)()(试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。【解】上式所示的信号波形是一个矩形脉冲，如下图所示,其频谱为由由02)(*)(ftjefkSfHssfTjfTjeefjfH22121)(令k = 1，可得其匹配滤波器的传输函数为tTss(t)134例题：由由)()(0ttksthssTttTsth0),()(令令k k = 1 = 1，还可以得到此匹配滤波器的冲激响应为，还可以得到此匹配滤波器的冲激响应为此冲激响应示于右图。此冲激响应示于右图。表面上看来，
25、表面上看来，h(t)的形的形状和信号状和信号s(t)的形状一样。的形状一样。实际上，实际上，h(t)的形状是的形状是s(t)的波形以的波形以t = Ts / 2为轴线反为轴线反转而来。由于转而来。由于s(t)的波形对的波形对称于称于t = Ts / 2，所以反转后，所以反转后，波形不变。波形不变。tTsh(t)135例题由式由式)()(soTtkRtstTsso(t)可以求出此匹配滤波器的输出信号波形如下：由其传输函数由其传输函数ssfTjfTjeefjfH22121)(可以画出此匹配滤波器的方框图如下：可以画出此匹配滤波器的方框图如下：36例题因为上式中的因为上式中的(1/j2 f)是理想积分器的传输函数，而是理想积分器的传输函数，而exp(-j2 fTs)是延迟时间为是延迟时间为Ts的延迟电路的传输函数。的延迟电路的传输函数。延迟Ts理想积分器延迟Ts37谢谢观赏 THANKS!383940414243444546
