1、 2.1光线传播光线传播 光线矩阵光线矩阵 透镜波导透镜波导 光线在反射镜间的传播光线在反射镜间的传播 光线在类透镜介质中的传播光线在类透镜介质中的传播 2.2光束传播光束传播 2.3高斯光束的变换高斯光束的变换 光线？光线？ 几个前提几个前提 几何光学意义上的光线几何光学意义上的光线0 近轴光线近似近轴光线近似 光学元件绕光轴旋转对称光学元件绕光轴旋转对称 均匀介质均匀介质 坐标系及方向的规定坐标系及方向的规定 光线在光轴上方，光线在光轴上方，r0；反之，；反之，r00；反之，；反之，r r00，相对于凸透镜，相对于凸透镜f0,凹反射镜凹反射镜（2）R0微分方程的解为微分方程的解为 若考虑光
2、线入射初始条件若考虑光线入射初始条件为为 ，则可以求出，则可以求出 ，因此微分方程的解可以写成：，因此微分方程的解可以写成：221200( )cossinkkr zczczkk00rr210200;kcr crk20202000222000cossinsincoszzkkkzzkkkrrrrkkkzzkkk 2020002022200000cos sinsin coskkkr zrzrzkkkkkkrzrzrzkkk 2max0sinkr zrzk如右图的曲线可以代表在类透镜如右图的曲线可以代表在类透镜介质中传播的光线，只是在幅度介质中传播的光线，只是在幅度上作了夸大。从该方程可以得出上作了夸
3、大。从该方程可以得出结论：当结论：当k20时，类透镜介质对时，类透镜介质对光线起汇聚作用，相当于正透镜。光线起汇聚作用，相当于正透镜。 (2)k20当当k20时，光线微分方程的解可以表示为：时，光线微分方程的解可以表示为：从方程可以得出结论，随着从方程可以得出结论，随着z的不断增加，的不断增加，r(z)不断增不断增大，当大，当 ，因此，因此k20的类透镜介质对的类透镜介质对光线具有发散性，类似于负透镜的作用。光线具有发散性，类似于负透镜的作用。 练习：证明练习：证明2-1-39式式 2200002022200000coshsinhsinhcoshkkkr zz rz rkkkkkkrzz rz
4、 rkkk, ( )zr z 2.2.1类透镜介质中的波动方程类透镜介质中的波动方程 在各向同性、无电荷分布的介质中，在各向同性、无电荷分布的介质中，Maxwell方程组的微分形式为：方程组的微分形式为：(1)(2)0(3)EHtHEutE 对对2式求旋度：式求旋度：22HEEuutt 2EEE 且由且由3式：式：10EEEEE 在各向同性介质中有介电常数不随位置而发生变化，即在各向同性介质中有介电常数不随位置而发生变化，即0222(4)EuEt 综合上三式可以得到综合上三式可以得到假设折射率假设折射率n的空间变化很小，即的空间变化很小，即n(r)满足慢变近似，此时可以将电磁场表示为：满足慢变
5、近似，此时可以将电磁场表示为：0( , , , )Re( , , )i tE x y z tE x y z e代入代入(4)式式220022( )0( )( )Ek r Ek rur波动方程波动方程也称亥姆也称亥姆霍兹方程霍兹方程 当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时，上式最后一项可以表示为：当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时，上式最后一项可以表示为：22( )( )( ) 1rk ruri当当 代表吸收介质，代表吸收介质， 代表增益介质代表增益介质00上式表示复数波数，我们考虑波数表示形式为上式表示复数波数，我们考虑波数表示形式为222002( )k rkk k r其中其中k0、k2都可以
6、是复数，这个表达式可以理解为波数与位置都可以是复数，这个表达式可以理解为波数与位置r和介质的特和介质的特性性k2都有关系。由波数的定义：都有关系。由波数的定义： 可以得到可以得到n(r)的表达式：的表达式：2( )( )k rn r222200200( )( )1222kn rk rkk k rkrk的情况的情况该表达式就是类透镜介质该表达式就是类透镜介质的折射率表达式，证明我的折射率表达式，证明我们考虑的们考虑的k(r)表达式代表表达式代表的正是在类透镜介质中的的正是在类透镜介质中的情况。情况。2222000011222kkkrnrkk级数级数展开展开下面我们研究类透镜介质中波动方程的解，考
7、虑在介质中传播的是一种近似下面我们研究类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中传播的是一种近似平面波，即能量集中在光轴附近，沿光轴方向传播。可以假设光场的横向分平面波，即能量集中在光轴附近，沿光轴方向传播。可以假设光场的横向分布只与布只与 有关，因此波动方程中的算符有关，因此波动方程中的算符 可以表示为：可以表示为：我们假设我们假设 ，其中，其中a为集中大部分能量的横截面半径，这一假设说明为集中大部分能量的横截面半径，这一假设说明衍射效应很弱，因此可以将推导局限于单一的横向场分量，其单色平面波的衍射效应很弱，因此可以将推导局限于单一的横向场分量，其单色平面波的表达式为：表达式为： 其中其中e-i
8、kz表示波数为表示波数为k的严格平面波，为了研的严格平面波，为了研究修正平面波，我们引入了修正因子究修正平面波，我们引入了修正因子 ，它包含了相位和振幅修，它包含了相位和振幅修正两部分。正两部分。该修正因子满足慢变近似：该修正因子满足慢变近似： 将这些相关假设带入波动方将这些相关假设带入波动方程可以得到：程可以得到：令修正因子取以下形式：令修正因子取以下形式：22rxy2222222221rzrrrz 2( , , )ikzEx y z e( , , )x y z2, kk 22220ikkkr20exp( )2 ( )kEi p zrq z为什么取这种形式？这是对波动方程为什么取这种形式？这
9、是对波动方程进行长期研究得到的解，既满足方程，进行长期研究得到的解，既满足方程，又有明确的、能够被实验证实的物理又有明确的、能够被实验证实的物理意义。意义。 通过将修正因子带入被假设修正过的波动方程，可以得到：通过将修正因子带入被假设修正过的波动方程，可以得到： 该方程对不同该方程对不同r都成立，因此都成立，因此r的各次项系数应该为零，整理得到：的各次项系数应该为零，整理得到： 该式称为类透镜介质中的简化的波动方程。该式称为类透镜介质中的简化的波动方程。2222221220( )( )( )kkrik rkpkk rq zq zq z2220110( )( )( )( )krq zq zkip
10、 zrq z 项系数项系数 2.2.2均匀介质中的高斯光束均匀介质中的高斯光束 均匀介质可以认为是类透镜介质的一种特例，即均匀介质可以认为是类透镜介质的一种特例，即k2=0时的类透镜介时的类透镜介质，此时简化波动方程为：质，此时简化波动方程为： 引入一中间函数引入一中间函数S，使，使 代入上式得到代入上式得到 得出得出 该微分方程的解为该微分方程的解为 ，a、b为复常数为复常数 则则 由由p与与q的关系得到的关系得到 C1不影响振幅和相位的分布，因此可以设不影响振幅和相位的分布，因此可以设C1=0。2110qq1( )( )( )S zq zS z222( )0SS SSSS0S Sazb1(
11、 )aq zazb0bqzzqa0iipqzq 10ln 1zpiCq 将上述结果代入到将上述结果代入到 的表达式中有：的表达式中有：满足该表达式的满足该表达式的q0有很多形式，但对其研究发现纯虚数形式的有很多形式，但对其研究发现纯虚数形式的q0可以可以得到有物理意义的波，因此假设得到有物理意义的波，因此假设q0具有如下表达形式：具有如下表达形式：将将q0的表达式带入（的表达式带入（1）式中，其指数的两项可以分别表示为：）式中，其指数的两项可以分别表示为：2000expln 1(1)2()zKEiirqqz2002,qik 122220002222222200001expln 1exptan1
12、 (/)expexp2()1 (/)21 (/)zziizkrrikrqzzzz 人为定义以下参数：人为定义以下参数：2222200220022200211200200( )11( )11( )tantanzzzzzR zzzzzzzzzz 将上述参数带入到光场的表达式，将上述参数带入到光场的表达式，整理可以得到光场的表达式：整理可以得到光场的表达式：200020222002( , , )( , , )exp( )( )2 ( )1exp( )( )( )2 ( )expexp( )( )( )2 ( )ikzE x y zx y z ekrEi kzzizq zikEi kzzrzzR zr
13、krEi kzzzzR z该式所表示的是均匀介质中波动方程的一个解，称为基本高斯光束解，其横向依赖该式所表示的是均匀介质中波动方程的一个解，称为基本高斯光束解，其横向依赖关系只包含关系只包含r，而与方位角无关。那些与方位角相关的分布是高阶高斯光束解。，而与方位角无关。那些与方位角相关的分布是高阶高斯光束解。上面最后一个表达式中的两项，前一项是振幅项，后一项是相位项。上面最后一个表达式中的两项，前一项是振幅项，后一项是相位项。为什么是这个解？还有其他解吗？为什么是这个解？还有其他解吗？ 高斯分布：高斯分布： 在统计学中更多的被称为正态分在统计学中更多的被称为正态分布，它指的是服从以下概率密度布，
14、它指的是服从以下概率密度函数的分布：函数的分布：221( ; ,)exp22xf x Johann Carl Friedrich Gauss (17771855) 2002exp( )( )rEEzz高斯光束基本特性高斯光束基本特性 振幅分布特性振幅分布特性由高斯光束的表达式可以得到：由高斯光束的表达式可以得到：在在z截面上，其振幅按照高斯函数规律变化，如图所示。截面上，其振幅按照高斯函数规律变化，如图所示。将在光束截面内，振幅下降到最大值的将在光束截面内，振幅下降到最大值的1/e时，离光轴的距离时，离光轴的距离 定义为该处的光斑半径。定义为该处的光斑半径。2002exp( )( )rEEzz
15、( )rz由由 的的定义定义可以得到：可以得到：即光束半径随传输距离的变化规律为双即光束半径随传输距离的变化规律为双曲线，在曲线，在z=0z=0时有最小值时有最小值 ，这个位置，这个位置被称为高斯光束的束腰位置。被称为高斯光束的束腰位置。( ) z222200( )1zzz0等相位面特性等相位面特性 从高斯光束解的相位部分可以得到传输过程中的总相移为：从高斯光束解的相位部分可以得到传输过程中的总相移为： 将上式同标准球面波的总相移表达式比较：将上式同标准球面波的总相移表达式比较： 可以得出结论，在近轴条件下高斯光束的等相位面是以可以得出结论，在近轴条件下高斯光束的等相位面是以R(z)为半径的球
16、为半径的球面，球面的球心位置随着光束的传播不断变化，由面，球面的球心位置随着光束的传播不断变化，由R(z)的的表达式表达式可知：可知： z=0时，时， ,此时的等相位面是平面；此时的等相位面是平面； 时，时， ，此时等相位面也是平面；此时等相位面也是平面； 时，时， ，此时的等相位面半径最小；此时的等相位面半径最小； 22120( , , )( )tan2 ( )2 ( )krrzx y zkzzk zR zR z22;2xykzkzRR ( )R z z ( )R zz 0zz 0( )2R zz 瑞利长度瑞利长度 当光束从束腰传播到当光束从束腰传播到 处时，光束半径处时，光束半径 ，即光斑
17、面积增大为最小值的两倍，这个范围称为瑞利范即光斑面积增大为最小值的两倍，这个范围称为瑞利范围，从束腰到该处的长度称为高斯光束的瑞利长度，通围，从束腰到该处的长度称为高斯光束的瑞利长度，通常记作常记作 。 在实际应用中，一般认为基模高斯光束在瑞利长度范围在实际应用中，一般认为基模高斯光束在瑞利长度范围内是近似平行的，因此也把瑞利距离长度称为准直距离。内是近似平行的，因此也把瑞利距离长度称为准直距离。从瑞利长度表达式从瑞利长度表达式 可以得出结论，高斯可以得出结论，高斯光束的束腰半径越小，其准直距离越长，准直性越好。光束的束腰半径越小，其准直距离越长，准直性越好。0zz 0( )2z200/z f
18、高斯光束的孔径高斯光束的孔径 从基模高斯光束的光束半径表达式可以得到截面上振幅的分布为：从基模高斯光束的光束半径表达式可以得到截面上振幅的分布为： 则其光强分布为：则其光强分布为： 考虑垂直于高斯光束传播方向上存在一无限大平面，以光轴为中心开一考虑垂直于高斯光束传播方向上存在一无限大平面，以光轴为中心开一半径为半径为a的孔，则透过该孔径的光功率与总功率的比值为左下式，通过计的孔，则透过该孔径的光功率与总功率的比值为左下式，通过计算可以得到不同孔径的功率透过率。算可以得到不同孔径的功率透过率。 在激光应用中，高斯光束总要通过各种光学元件，从上面推导可知，只在激光应用中，高斯光束总要通过各种光学元
19、件，从上面推导可知，只要光学元件的孔径大于要光学元件的孔径大于3/2，即可保证高斯光束的绝大部分功率有效透，即可保证高斯光束的绝大部分功率有效透过。过。2022( )exprI rI202( )exprA rA22002200( )221 exp( )2I rrdrdPTPI rrdrd 孔径半径孔径半径a/23/22功率透过比功率透过比39.3%86.5%98.89%99.99%远场发散角远场发散角 从高斯光束的等相位面半径以及光束半径的分布规律可以知道，在瑞利从高斯光束的等相位面半径以及光束半径的分布规律可以知道，在瑞利长度之外，高斯光束迅速发散，定义当长度之外，高斯光束迅速发散，定义当
20、时高斯光束振幅减小到时高斯光束振幅减小到最大值最大值1/e处与处与z轴夹角为高斯光束的远场发散角（半角）：轴夹角为高斯光束的远场发散角（半角）： 包含在全远场发散角内的光束功率占包含在全远场发散角内的光束功率占高斯光束总功率的高斯光束总功率的86.5%高斯光束在轴线附近可以看成一种高斯光束在轴线附近可以看成一种非均匀高斯球面波非均匀高斯球面波，在传播过程中，在传播过程中曲率中心不断改变曲率中心不断改变，其振幅在横截面内为一，其振幅在横截面内为一高斯分布高斯分布，强度集中在轴，强度集中在轴线及其附近，且等相位面保持线及其附近，且等相位面保持球面球面。z 00( )limzzzz2.2.3类透镜介
21、质中的高斯光束类透镜介质中的高斯光束 类透镜介质中类透镜介质中k20，此时的简化波动方程为：，此时的简化波动方程为： 其解仍可以采用与均匀介质中相类似的处理方式得到，最终可以求出：其解仍可以采用与均匀介质中相类似的处理方式得到，最终可以求出：22110( )( )( )( )kq zq zkip zq z 22022220cossin( )sincoskkkqzzkkkq zkkkqzzkkk类透镜介质中的基本高斯光束解仍然可以采取类透镜介质中的基本高斯光束解仍然可以采取的形式，如果我们只讨论其中包含的形式，如果我们只讨论其中包含r2的指数部分：的指数部分：仍取仍取 ，则，则q(z)可以表示成
22、：可以表示成：将将(2)式代入式代入(1)式可以得到：式可以得到：其中其中(z)(z)是光斑半径，是光斑半径，R(z)R(z)是等相位面曲率半径，其物理意义同均是等相位面曲率半径，其物理意义同均匀介质中的基本高斯光束解相同，然而数学表达式比较复杂。匀介质中的基本高斯光束解相同，然而数学表达式比较复杂。20exp( )2 ( )kEi p zrq z2exp(1)2 ( )kriq z200qi 211(2)( )( )( )iq zR zz222exp( )2 ( )rkrizR z 前面得到了类透镜介质中高斯光束参数前面得到了类透镜介质中高斯光束参数q(z)的复数表达形的复数表达形式：式：
23、q0是由边界条件求出的光束初始条件，将上式同前面得到是由边界条件求出的光束初始条件，将上式同前面得到的的光线矩阵光线矩阵比较：比较：22022220cossin( )sincoskkkqzzkkkq zkkkqzzkkk202020222000cossinsincoskkkzzkkkABCDkkkzzkkk00( )AqBq zCqD2.2.4高斯光束的高斯光束的ABCD法则法则 按照光线矩阵规则，按照光线矩阵规则，ABCD矩阵元构成的光线矩阵是表示输出平面上和矩阵元构成的光线矩阵是表示输出平面上和输入平面上光线参数之间的关系，因此我们取：输入平面上光线参数之间的关系，因此我们取： 该式表示了
24、类透镜介质中传播的高斯光束的传输变换规则，可以证明，该式表示了类透镜介质中传播的高斯光束的传输变换规则，可以证明，高斯光束在其他光学元件上透射或反射都遵循这一规则，则以规则称为高斯光束在其他光学元件上透射或反射都遵循这一规则，则以规则称为高斯光束高斯光束q参数变换法则，简称参数变换法则，简称ABCD法则。法则。 需要注意的是需要注意的是ABCD法则同光线传播规则虽然都是用光线矩阵来描述，法则同光线传播规则虽然都是用光线矩阵来描述，但是高斯光束的但是高斯光束的ABCD法则不同于光线传输的矩阵乘法。法则不同于光线传输的矩阵乘法。 高斯光束经过变换之后仍然为高斯光束高斯光束经过变换之后仍然为高斯光束
25、121AqBqCqD例：以焦距为例：以焦距为f的薄透镜为例的薄透镜为例 薄透镜的光线矩阵为薄透镜的光线矩阵为 则由则由ABCD法则可以得到法则可以得到 考虑到：考虑到： 代入到代入到(1)式中，并且比较实部与虚部得到：式中，并且比较实部与虚部得到： 上面的第一个公式表明薄透镜两面的高斯光束光斑半径相同，这与薄透上面的第一个公式表明薄透镜两面的高斯光束光斑半径相同，这与薄透镜的特性是一致的；第二个公式表明薄透镜两面等相位面的曲率半径满镜的特性是一致的；第二个公式表明薄透镜两面等相位面的曲率半径满足成像公式，即球面中心是关于该透镜的共轭像点，这与薄透镜对球面足成像公式，即球面中心是关于该透镜的共轭
26、像点，这与薄透镜对球面波成像的规律是一致的。波成像的规律是一致的。1011ABCDf12121111(1)q ABqq CDqqf 211122222111111( )( )( )iqRiq zR zziqR 2121111;RRf 我们比较一下下面两个公式：我们比较一下下面两个公式： 由这两个公式我们可以看出高斯光束参数由这两个公式我们可以看出高斯光束参数q(z)与球面波曲与球面波曲率半径率半径R(z)之间的相似性，称之间的相似性，称q(z)为高斯光束的复曲率半为高斯光束的复曲率半径，其表达式为：径，其表达式为： 当当 时，上式可以得出时，上式可以得出 而此时我们讨论的而此时我们讨论的对象已
27、经从波动光学过渡到了几何光学。对象已经从波动光学过渡到了几何光学。1212111111;qqfRRf2011iqR0qR经过两个光学元件的高斯光束经过两个光学元件的高斯光束 设两个光学元件的光线矩阵为设两个光学元件的光线矩阵为 入射高斯光束参数为入射高斯光束参数为q1，经，经过第一个光学元件后有：过第一个光学元件后有： 经过第二个光学元件后：经过第二个光学元件后： 其中：其中： 其规律同光线传输规律相同，可以推广到任意个光学元件的传输情况。其规律同光线传输规律相同，可以推广到任意个光学元件的传输情况。11221122,ABABCDCD 1112111q ABqq CD222132221TTTT
28、q ABq ABqq CDq CD11221122TTTTABABABCDCDCD 2.2.5高斯光束在透镜波导中的传播高斯光束在透镜波导中的传播 光线通过双周期透镜波导单元的光线矩阵为（光线通过双周期透镜波导单元的光线矩阵为（ABCD），那么经），那么经过过S个周期后，联系个周期后，联系S1面和第面和第1面的光线矩阵是：面的光线矩阵是： 其中：其中：STTTTDCBADCBAsin()sin(1) sinsin()sin;cossin()2sinsin()sin(1) sinTTTTAssABsBADCsCDssD221212121211111dAfdBdfdCfffdddDfff 用数学归
29、纳用数学归纳法可以证明法可以证明高斯光束通过透镜波导的稳定性条件由光束参数变换法则：要使得上式中qs+1为有限值，即光束约束在透镜波导内传播，就要求为实数，即 ，由此可得到光束稳定性条件：如果为虚数，不妨设=ia，则 会随着S的增加而增加，qs+1没有确定值，不稳定。11111sin()sin(1) sin()sin()sin()sin(1) TTsTTA qBqC qDAssqBsCsqDsscos1121021221ffdfdfd1sin()2ssi seei 2.2.6均匀介质中传播的高阶高斯光束均匀介质中传播的高阶高斯光束 前面推导均匀介质中的基模高斯光束解时曾假设振幅横向分布与方位角
30、无关，如果考虑方位角的变化 ，则算符可以表示为： 此时波动方程的特解为： 代入波动方程，分离变量后解得：022222211zrrrr22222222(1)02222(1)0dxdxxxdxdxdydxxyrdydy022( , , )ikzxyEx y z e其解为厄米多项式 仍为基本高斯光束解，所以总的解为其中的m、n为x、y方向上的零点数，此时高阶高斯光束分布为厄米-高斯光束，表示为TEMmn模式。22mnxxHyyH( , , )x y z0,022222( , , )22( )( )( )()exp(1) ( )( )2 ( )ml mnxyEx y zEHHzzzxyk xyikzm
31、nzzR z012233( )1( )2( )42( )812HxH xxHxxHxxx 几种高阶高斯光束的光强分布图几种高阶高斯光束的光强分布图TEM0TEM1TEM2Hm(x)222xyFeHm(x)FIH2m(x)F2 2.3.1高斯光束的特征参数高斯光束的特征参数 1、由、由(1)、(2)式可知，只式可知，只要确定了束腰的位置和半要确定了束腰的位置和半径径0 0，就可以确定任何位，就可以确定任何位置的光束半径和等相位面置的光束半径和等相位面半径等参数；半径等参数； 2 2、当确定了某一确定位、当确定了某一确定位置置z z处的处的(z)(z)和和R(z)R(z)后，后，也可以通过也可以通
32、过(1)(1)、(2)(2)式求式求出束腰位置及大小；出束腰位置及大小；2222200220022200211200200( )11(1)( )11(2)( )tantan(3)(4)zzznznzR zzzzzzzznznz12220122( )( ) 1( )( )( ) 1( )zzR zR zzR zz3、用、用q参数表示参数表示 由由q参数的定义：参数的定义： 可知可知q参数将参数将R(z)和和(z)联系在联系在一起了，可以求得：一起了，可以求得： 令令q0=q(0)，则：，则： 通过这些公式，我们可以用高斯光束的通过这些公式，我们可以用高斯光束的q参数来描述高斯光束。参数来描述高斯
33、光束。 以上三组参数都可以用来确定高斯光束的具体结构，需要根据实际问题以上三组参数都可以用来确定高斯光束的具体结构，需要根据实际问题来灵活选择使用哪种参数。来灵活选择使用哪种参数。211( )( )( )iq zR zz211Re( )( )11Im( )( )R zq zzq z 20002011(0),(0)(0)(0)iRqiifqR 2.3.2高斯光束通过薄透镜的传输高斯光束通过薄透镜的传输 普通球面波波前曲率半径的传播规律普通球面波波前曲率半径的传播规律 当球面波通过焦距为当球面波通过焦距为F的薄透镜时，其的薄透镜时，其波前曲率半径满足：波前曲率半径满足： 将上面两式与光线矩阵相比较
34、可以得到将上面两式与光线矩阵相比较可以得到球面波的传播规律：球面波的传播规律：121211( )( )( )()( )R zzR zR zzzR zL21111( )( )R zR zF121( )/1RR zRF121( )( )( )AR zBR zCR zD101L101/1F 高斯光束高斯光束q参数的变换规律参数的变换规律 高斯光束在近轴部分可以看作一系列非均匀、曲率中心不断改变高斯光束在近轴部分可以看作一系列非均匀、曲率中心不断改变的球面波，也具有类似于普通球面波的曲率半径的球面波，也具有类似于普通球面波的曲率半径R的参数，即的参数，即q参参数：数： 通过整理通过整理q的表达式可以得
35、到：的表达式可以得到： 可以得到通过长度为可以得到通过长度为L的均匀介质后的的均匀介质后的q参数为：参数为： 其中其中q2=q(z2)，q1=q1(z1)分别为分别为z1和和z2面处的面处的q参数；参数；211( )( )( )iq zR zz220222020( )1( )1R zzzzz21211( )( )()( )q zq zzzq zL其中其中200( )q zizqz 透过薄透镜传播的高斯光束透过薄透镜传播的高斯光束q参参数变换数变换 由薄透镜性质可知，在紧靠薄透由薄透镜性质可知，在紧靠薄透镜的镜的M1和和M2两个面上的光斑大小两个面上的光斑大小和强度分布是一样的，即：和强度分布是
36、一样的，即： 可以证明经过薄透镜变换后在像可以证明经过薄透镜变换后在像方继续传输的光束仍为高斯光束。方继续传输的光束仍为高斯光束。 从从q参数表达式以及参数表达式以及1式可以得到式可以得到： R R2 2为等相位面曲率半径，由球面为等相位面曲率半径，由球面波球率半径的变换公式可得：波球率半径的变换公式可得：12( )( )(1)ll2212222111( )iiq zRR21111111( )iRFq zF 通过将上面推出的公式同球面波的传播特性公式相比较，通过将上面推出的公式同球面波的传播特性公式相比较，可以看到无论是在对自由空间的传播或对通过光学系统的可以看到无论是在对自由空间的传播或对通
37、过光学系统的变换，高斯光束的变换，高斯光束的q参数都起着和普通球面波的曲率半径参数都起着和普通球面波的曲率半径R相同的作用，因此有时将相同的作用，因此有时将q参数称作高斯光束的复曲率参数称作高斯光束的复曲率半径；半径； 高斯光束通过光学元件时高斯光束通过光学元件时q参数的变换规律可以类似的用参数的变换规律可以类似的用光线矩阵表示出来：光线矩阵表示出来： 由前面的讨论我们知道可以用由前面的讨论我们知道可以用q参数描述一个高斯光束的参数描述一个高斯光束的具体特征，而且可以通过具体特征，而且可以通过q参数和参数和ABCD法则很方便的描法则很方便的描述一个高斯光束在通过光学元件时的传输规律，因此我们述
38、一个高斯光束在通过光学元件时的传输规律，因此我们将主要采用将主要采用q参数来分析薄透镜高斯光束传输问题。参数来分析薄透镜高斯光束传输问题。121( )( )( )Aq zBq zCq zD 已知入射高斯光束束腰半径为已知入射高斯光束束腰半径为0 0，束腰位置束腰位置与透镜的距离为与透镜的距离为l，透镜的焦距为，透镜的焦距为F，各参数相，各参数相互关系如下图，则有：互关系如下图，则有： z=0处，处， 在在A面处：面处： 在在B面处：面处： 在在C面处：面处：200(0)/qqi0( )q Aql111( )( )q Bq AF( )( )Cq Cq Bl由上面的由上面的q(C)可以确定经过薄透
39、镜传输后的高斯光束特性，下面分情况讨论可以确定经过薄透镜传输后的高斯光束特性，下面分情况讨论薄透镜的变换规律。薄透镜的变换规律。当当C面取在像方束腰处，此时面取在像方束腰处，此时 ，由上一页的方程联立可，由上一页的方程联立可以求出：以求出：由由 得出：得出：得到的式子是高斯光束束腰的变换关系式。得到的式子是高斯光束束腰的变换关系式。1,Re0CCRq 2222002222002()(1)()()CCl FlFqlFiFlFlRe 1/0Cq22022202202220()/0()/()/CCl FllFFlFqiFl2222022022200()()/111Im 1/1CClF FllFlFl
40、qFF 当满足当满足 条件时，由束腰位置关系公式：条件时，由束腰位置关系公式：由束腰半径的关系公式：由束腰半径的关系公式：束腰半径是高斯光束所有光斑半径的最小值，可以将其类比为几何光学中光束的焦点，束腰半径是高斯光束所有光斑半径的最小值，可以将其类比为几何光学中光束的焦点，在满足假设条件的情况下，物方、像方高斯光束经过薄透镜后束腰位置和半径的变换在满足假设条件的情况下，物方、像方高斯光束经过薄透镜后束腰位置和半径的变换规律与几何光学中的物、像规律相符，由此可见当满足条件时可以用几何光学的方法规律与几何光学中的物、像规律相符，由此可见当满足条件时可以用几何光学的方法粗略的研究近轴高斯光束。粗略的
41、研究近轴高斯光束。当不满足以上条件时，则不能套用几何光学的结论，例如当当不满足以上条件时，则不能套用几何光学的结论，例如当 时，可以求出时，可以求出此时物方、像方高斯光束的束腰都位于焦点处，这与几何光学中平行光成像于无穷远此时物方、像方高斯光束的束腰都位于焦点处，这与几何光学中平行光成像于无穷远处的结论不相符。处的结论不相符。2222201fllFFF或22220()()/lF FlFlF2FlFlFlFlF111 llF220222001111lFF00FlklFl几何光学薄透镜成像垂轴放大率公式几何光学薄透镜成像公式lF lF如果令如果令 ，即像方高斯光束束腰位于透镜前焦面，可以利用前面的
42、公式求出束腰，即像方高斯光束束腰位于透镜前焦面，可以利用前面的公式求出束腰的半径：的半径：ClF222222()()()CFFlF fqiaibFlfFlf20222222()()()fFFlaFlfF fbFlf其中：其中：2222211CCCabiiqababR20222211ImCCbfqabFF 0CF 2.3.3高斯光束的聚焦高斯光束的聚焦 高斯光束的聚焦，指的是通过适当的光学系统高斯光束的聚焦，指的是通过适当的光学系统减小像方高斯光束的束腰半径，从而达到对其减小像方高斯光束的束腰半径，从而达到对其进行聚焦的目的。进行聚焦的目的。 1、F一定时，一定时，0 0随着随着l l变化的情况
43、变化的情况我们将通过前面得到的高斯光束通过薄透镜变我们将通过前面得到的高斯光束通过薄透镜变换时束腰半径变换规律研究其规律：换时束腰半径变换规律研究其规律：220222001111lFFA A、当、当lFlF时，时， 0 0随着随着l的增大而单调的减小，当的增大而单调的减小，当 时，由时，由公式公式可以得出结论可以得出结论更进一步的，如果满足更进一步的，如果满足 时，有：时，有：若同时满足若同时满足 则则可以得出结论，当物方高斯可以得出结论，当物方高斯光束束腰远离透镜时，距离光束束腰远离透镜时，距离l的增加以及焦距的增加以及焦距F的减小都会的减小都会引起像方高斯光束束腰半径引起像方高斯光束束腰半
44、径的减小，即聚焦效果的增强。的减小，即聚焦效果的增强。以上的讨论都没有考虑透镜孔以上的讨论都没有考虑透镜孔径引起的衍射效应。径引起的衍射效应。l 00, lFlF222220022222222000111111( )lllFFFF根据高斯光束参数定义0( )Fl22220()0()/lFlF FlFFFlF 此时此时20lf222220222220001111lfllFfFfF00FlC、当、当l=F时，时，0有极大值：有极大值：而且可以得出：而且可以得出：l=F，从，从0的公式可以看出，只有在的公式可以看出，只有在Ff0；2、两个腔的相对位置固定，即、两个腔的相对位置固定，即l0=l+l为固
45、定值，要两个模式匹配，为固定值，要两个模式匹配，对对F有一定的限制，将得到的两个等式相加得到：有一定的限制，将得到的两个等式相加得到：令令 ，可以得到：，可以得到：A，l0为已知值，当指定为已知值，当指定F的值时，可以根据上式解出的值时，可以根据上式解出l和和l。002200002lFFf 0000A22222000(4)2()0A Fl FlA f 2.3.6高斯光束的自再现变换高斯光束的自再现变换 如果一个高斯光束通过透镜后其结构不发生变化，即参数不发生如果一个高斯光束通过透镜后其结构不发生变化，即参数不发生变化，称这种变换为高斯光束的自再现变换。变化，称这种变换为高斯光束的自再现变换。
46、1、焦距为、焦距为F的薄透镜对高斯光束的自再现变换的薄透镜对高斯光束的自再现变换 由自再现的定义和薄透镜变换公式可以求出：由自再现的定义和薄透镜变换公式可以求出： 将将F的表达式带入薄透镜变换关系可以求出的表达式带入薄透镜变换关系可以求出 则物方高斯光束在薄透镜表面上等相位面的曲率半径为：则物方高斯光束在薄透镜表面上等相位面的曲率半径为： 这就是高斯光束薄透镜自再现变换的条件。这就是高斯光束薄透镜自再现变换的条件。00; ll2202201111lFF22012lFlll220( )1R lll1( )2FR l 2、球面反射镜对高斯光束、球面反射镜对高斯光束的自再现变换的自再现变换 由球面反
47、射镜和薄透镜的等由球面反射镜和薄透镜的等效性可知所有公式都适用于效性可知所有公式都适用于球面反射镜，可以得到球面球面反射镜，可以得到球面反射镜自再现变换条件：反射镜自再现变换条件：R球球=R(l)=2F 即当入射在球面镜上的高斯即当入射在球面镜上的高斯光束的等相位面曲率半径正光束的等相位面曲率半径正好等于球面镜的曲率半径时，好等于球面镜的曲率半径时，可以实现对入射高斯光束的可以实现对入射高斯光束的自再现变换，这种情况也称自再现变换，这种情况也称为反射镜与高斯光束波前匹为反射镜与高斯光束波前匹配。配。 3、高斯光束自再现变换与稳定球面腔、高斯光束自再现变换与稳定球面腔 由由ABCD法则有：法则有
48、：MMMAqBqCqD00MMqqll MMMAqBqCqD2()0MMCqDA qB211()0MMBADCqq2()()412MDAADBCqB22/4/4/22DABCADADiBB21 () /42ADDAiBB1ADBC2;()BRDA12412ADB211iqR要要为实数：为实数：光线稳定条件光线稳定条件112AD 任何满足该条件的模式，都是任何满足该条件的模式，都是腔的自再现模。腔的自再现模。 唯象地考虑：高斯光束的等相唯象地考虑：高斯光束的等相位面在光轴附近的区域内可以位面在光轴附近的区域内可以近似看作球面，只要光腔的反近似看作球面，只要光腔的反射镜曲率半径和等相位面曲率射镜曲
49、率半径和等相位面曲率半径相等，则高斯光束被其反半径相等，则高斯光束被其反射后参数不发生变化，即实现射后参数不发生变化，即实现自再现。自再现。 此处为考虑衍射，而是在严格此处为考虑衍射，而是在严格傍轴近似条件下到处的结论。傍轴近似条件下到处的结论。 光线传播光线传播 光线矩阵光线矩阵 双周期透镜波导光线稳定条件双周期透镜波导光线稳定条件 光束传播光束传播 均匀介质中的高斯光束均匀介质中的高斯光束 高阶高斯光束高阶高斯光束 高斯光束变换高斯光束变换 ABCD法则法则 聚焦、准直聚焦、准直 匹配、自再现变换匹配、自再现变换 初始条件是平行光入射，因此初始条件是平行光入射，因此r0=0;根据类透镜介质中的根据类透镜介质中的光线传播方程：光线传播方程： 2020002022200000cos sinsin coskkkr zrzrzkkkkkkrzrzrzkkk 20022000cossinkr lrlkkkrlrlkk 2 ( )1( )rlr l222000( )1 ( )r lkkhctglrlkk
