1、第一节一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、 定积分的定义定积分的定义三、三、 定积分的性质定积分的性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的概念及性质 第五五章 一、定积分问题举例一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及x以及两直线bxax,所围成 , 求其面积 A .?A机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xfy abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（
2、九个小矩形）（九个小矩形）1xix1ixxabyo解决步骤解决步骤 :1) 大化小大化小.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底 ,)(if为高的小矩形, 并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2, 1,nii机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) 近似和近似和.niiAA1niiixf1)(4) 取极限取极限. 令, max1inix则曲边梯形面积niiAA10limniiixf1
3、0)(lim机动 目录 上页 下页 返回 结束 xabyo1xix1ixi当分割无限加细，即0,2. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动, ,)(21TTCtvv且,0)(tv求在运动时间内物体所经过的路程 s.已知速度思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路程的精确值解决步骤解决步骤:1) 大化小大化小., ,1iiitt任取将它分成, ),
4、2, 1(,1nittii在每个小段上物体经2) 常代变常代变.,)(代替变速以iv得iiitvs)(,1,21个分点中任意插入在nTT),2, 1(nisi), 2, 1(nin 个小段过的路程为3) 近似和近似和.iniitvs1)(4) 取极限取极限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述两个问题的共性共性: 解决问题的方法步骤相同 :“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 abxo二、定积分定义二、定积分定义 ( P225 ),)(上定义在设函数baxf的若对,ba任一种分法,210
5、bxxxxan,1iiixxx令任取, ,1iiixxi时只要0max1inixiniixf1)(总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数)(xf在区间,ba上的定积分定积分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 有界，baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba注意注意：baxxfd)(battfd)(bauufd)(baxxfd)(iniixf10)(lim3( )dbaif xx（ ）若存在，对区间a,b进行特殊分割，分点取特殊的取法得到的和
6、式极限存在且与定积分值相等，反之不成立.定积分的几何意义定积分的几何意义:Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和A机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.上连续在函数,)(baxf.,)(可积在baxf定理定理2.,)(上有界在函数baxf且只有有限个间断点 可积的充分条件可积的充分条件:(证明略)机动 目录 上页 下页 返回 结束 .,)(可积在baxfo1 xyni例例1. 利用定义计算定积分.d102xx解解: 将 0,1 n 等分, 分点为niix
7、 ), 1 ,0(ninix1,nii取),2, 1(ni2xy iiiixxf2)(则32niiinixf)(1niin1231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nn注注o1 xyniiniixxx120102limdnlim31)12)(11 (61nn2xy 注 目录 上页 下页 返回 结束 1iin取 注注 利用,133) 1(233nnnn得133) 1(233nnnn1) 1( 3) 1( 3) 1(233nnnn1131312233两端分别相加, 得1) 1(3n)21 ( 3nn即nnn3323nii12332) 1( nnnnii1261) 12)(1(n
8、nn)21 ( 3222n1201x dx0 x 1x 2x1y 12014x dx例例2 2 利用定积分几何意义，求定积分解解 上式表示介于, , , 之间所围的面积，从而有 011121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例例3. 用定积分表示下列极限:ninnin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd110机动 目录 上页 下页 返回 结束 x01ni 1ni说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ,)(baCxf设,d)(存在则baxxf根据定积分定义可
9、得如下近似计算方法:), 1 ,0(nixiaxi,nabx), 1 ,0()(niyxfii记baxxfd)(. 1xyxyxyn110)(110nnabyyy将 a , b 分成 n 等份: abxoyix1ix(左矩形公式)(21nnabyyy(右矩形公式)baxxfd)(. 2xyxyxyn21baxxfd)(. 3xyyii211)()(21110nnyyyynab(梯形公式)11ni为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, 例如辛普森机动 目录 上页 下页 返回 结束 abxoyix1ix公式, 复化求积公式等, 并有现成的数学软件可供调用.三、定积分的性质三、定积分的性质2.(
10、)d( )dbaabf xxf xx 0d)(aaxxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.为方便起见，约定：()ab3. ( )( )d( )d( )dbbbaaaf xg xxf xxg xx证证:iiinixgf)()(lim10左端= 右端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010baxd. 24.( )d( )dbbaak f xxkf xx( k 为常数)ab定积分的性质：（假定定积分都存在，且不考虑积分上（假定定积分都存在，且不考虑积分上 下限的大小）下限的大小）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）bccabaxxfx
11、xfxxfd)(d)(d)(. 5证证: 当bca时,因)(xf在,ba上可积 ,所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixfabc0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）abc当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如,cba则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( )d( )d( )dbcbaacf xxf xxf xx
12、例例4 4 设设 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上规规定定当当1 x时时，5)( xf, 102152dxxdx原式原式. 6 xyo126. 若在 a , b 上()ba0)(1iinixf则.0d)(xxfba证证:,0)(xfbaxxfd)(0)(lim10iinixf推论推论1. 若在 a , b 上, )()(xgxf则xxfbad)(xxgbad)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 ()ba推论推论2.xxfbad)(xxfbad)(证证:)( xf)(xf)(xf)(ba xxfx
13、xfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ) , ( )0,( )( )d0.bfxa bfxfxfxxa设在上连续，且不恒为零，则有 推论推论3.3.00000000-+ , ,()0,()( ),2( )( )+( )+( )0bxxbaaxxxa bf xf xxf xf x dxf x dxf x dxf x dx证：假设由连续性知：存在U( , ) a,b,使得从而0()f x解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20d
14、xx （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）7. 设, )(min, )(max,xfmxfMbaba则)(d)()(abMxxfabmba)(ba 解解,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x, 0 )(xf在在2,4 上上单单调调下下降降,故故4 x为为极极大大点点，2 x为为极极小小点点,22)4( fM,2)2( fm,442 ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx,sin)(xxxf 8. 积分中值定理积分中值定理, ,)(baCxf若则至少存在一点, ,ba使)(d)(
15、abfxxfba证证:,)(Mmbaxf别为上的最小值与最大值分在设则由性质性质7 可得Mxxfabmbad)(1根据闭区间上连续函数介值定理,上至少存在一在,ba, ,ba点使xxfabfbad)(1)(因此定理成立.性质7 目录 上页 下页 返回 结束 oxbay)(xfy 说明说明:.都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解为baxf故它是有限个数的平均值概念的推广.机动 目录 上页 下页 返回 结束 积分中值定理对abxxfbad)(因nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn 在区间在区间,ba上至少存在一上至少存在一个点个点 ，积分
16、中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab )( f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为等于同一底边而高为)( f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。)(d)(abfxxfba解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有,2, xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f . 6 内容小结内容小结1. 定积分的定义 乘积和式的极限2. 定积分的性质3. 积分中值定理机动 目录 上页 下页 返回
17、结束 矩形公式 梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算01xn1n2nn 1思考与练习思考与练习1. 用定积分表示下述极限 :nnnnnIn) 1(sin2sinsin1lim解解:10sinlimnknnkI1n0dsin1xxnn2nn) 1( 0 x或)(sinlim10nknnkIn110dsinxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 如何用定积分表示下述极限 nnnnnnIn) 1(sinsin2sin1lim提示提示:nknnkI1sinlim1nnnnnsin1limnnnn) 1(sin1lim0dsin1xx极限为 0 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 p 经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量p Study Constantly, And You Will Know Everything. The More You Know, The More Powerful You Will Be写在最后感谢聆听不足之处请大家批评指导Please Criticize And Guide The Shortcomings结束语讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
