1、5/17/20221章数学模型一、控制系统的运动微分方程二、非线性数学模型的线性化三、拉氏变换和拉氏反变换四、传递函数五、系统方框图和信号流图六、控制系统传递函数推导举例七、小结、数学模型的基本概念、数学模型的基本概念章数学模型5/17/20222、数学模型的基本概念l 数学模型数学模型 数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。 静态数学模型静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。 动态数学模型动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。 第二章 数学模型5/17/20223l 建立
2、数学模型的方法建立数学模型的方法 解析法 实验法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。第二章 数学模型5/17/20224被控对象被控对象执行器执行器传感器传感器干扰干扰对控制系统的哪些部分建模对控制系统的哪些部分建模建模的三个要素建模的三个要素建立数学模型建立数学模型获取参数获取参数验证模型验证模型
3、被控对象被控对象传感传感(感知感知)控制器控制器目标任务目标任务执行器执行器干扰干扰/破坏破坏干扰干扰/破坏破坏干扰干扰/破坏破坏干扰干扰/破坏破坏第二章 数学模型5/17/20225建模方法建模方法系统辨识法系统辨识法给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性近系统的输入输出特性微分方程微分方程自然科学定理自然科学定理 基尔霍夫定律（电学）基尔霍夫定律（电学）牛顿定律（力学）牛顿定律（力学） 热力学定律（热力学）热力学定律（热力学）机理分析法：能量机理分析法：能量/物质平衡原理物质平衡原理第二章
4、 数学模型5/17/20226l 数学模型的形式数学模型的形式 时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差 分方程、状态方程 复数域：传递函数、结构图 频率域：频率特性 第二章 数学模型5/17/20227一、控制系统的运动微分方程l 建立数学模型的一般步骤建立数学模型的一般步骤 分析系统工作原理和信号传递变换的过程， 确定系统和各元件的输入、输出量； 从输入端开始，按照信号传递变换过程，依 据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各 元件、部件的动态微分方程； 消去中间变量，得到描述元件或系统输入、 输出变量之间关系的微分方程； 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排第二章 数学模型5/17/202
5、28l 控制系统微分方程的列写控制系统微分方程的列写 机械系统机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素： 质量mfm(t)参考点x (t)v (t)()()(22txdtdmtvdtdmtfm第二章 数学模型5/17/20229 弹簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)ttKdttvKdttvtvKtKxtxtxKtf)()()()()()()(2121第二章 数学模型5/17/202210 阻尼dttdxCdttdxdttdxCtCvtvtvCtfC)()()()()()()(2121CfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)
6、v2(t)第二章 数学模型5/17/202211q 机械平移系统)()()()()()()()(22txdtdCtftKxtftxdtdmtftftfoCoKoKCimmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)机械平移系统及其力学模型fC(t)静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响第二章 数学模型5/17/202212)()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo式中，m、C、K通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。第二章 数学模型显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量
7、。 5/17/202213q 弹簧阻尼系统xo(t)0fi(t)KC弹簧-阻尼系统系统运动方程为一阶常系数微分方程。 )()()(tftKxtxdtdCioo)()()(tftftfKCi第二章 数学模型5/17/202214 电气系统 电阻)()(tRitu电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。Ri(t)u(t)第二章 数学模型5/17/202215 电容dttiCtu)(1)(Ci(t)u(t) 电感dttdiLtu)()(Li(t)u(t)第二章 数学模型5/17/202216dttiCtudttiCtidtdLtRituoi)(1)()(1)()()(q R-L-C无源电路网络第二章
8、 数学模型LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C无源电路网络5/17/202217一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微分方程。 )()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo若L=0，则系统简化为：)()()(tututudtdRCioo第二章 数学模型5/17/202218 小结 物理本质不同的系统，可以有相同的数学模 型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一 方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方 法） 。 从动态性能看，在相同形式的输入作用下， 数学模型相同而物理本质不同的系统其输出 响应相似。相似系统是控制理论中进行实验 模拟的基础； 第二章 数学模型5/1
9、7/202219 通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等 于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性 质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容 等）的个数；因为系统每增加一个独立储能 元，其内部就多一层能量（信息）的交换。 系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决 于系统的结构及其参数。 第二章 数学模型5/17/202220确定模型参数确定模型参数 参数计算、测量参数计算、测量如：电阻、电感，车辆的几何参数等如：电阻、电感，车辆的几何参数等 参数辨识参数辨识5/17/202221模型验证模型验证 通过仿真验证和修改系统设计通过仿真验证和修改系统设计模型验证模型验证Model仿真结果是否可信？仿真结果
10、是否可信？5/17/202222Plant 脉冲响应模型的建立与验模脉冲响应模型的建立与验模 脉冲响应模型描述脉冲响应模型描述 建模实例建模实例Plant待确定的脉待确定的脉冲响应系数冲响应系数 脉冲响应系数获取脉冲响应系数获取模型验证模型验证 5/17/202223脉冲响应曲线脉冲响应曲线模型验证模型验证脉冲响应系数脉冲响应系数模型验证模型验证 5/17/202224 设计控制器模型设计控制器模型 仿真仿真 验证控制器的模型验证控制器的模型 真真 真真 真真 被控对象被控对象传感传感(感知感知)控制器控制器目标任务目标任务执行器执行器干扰干扰/破坏破坏干扰干扰/破坏破坏干扰干扰/破坏破坏干扰
11、干扰/破坏破坏5/17/202225 线性系统与非线性系统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统； q 线性系统线性是指系统满足叠加原理，即：)()()(2121xfxfxxf 可加性：)()(xfxf 齐次性：)()()(2121xfxfxxf或：第二章 数学模型5/17/202226用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。q 非线性系统为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性系统简化为线性系统处理。 实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。 第二章 数学模型5/17/202227
12、液体系统节流阀节流阀qi(t)qo(t)H(t)液位系统设液体不可压缩，通过节流阀的液流是湍流。 )()()()()(tHtqtqtqdttdHAooiA：箱体截面积；第二章 数学模型5/17/202228)()()(tqtHtHdtdAi上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为非线性系统。 ：由节流阀通流面积和通流口的结构形式决定的系数，通流面积不变时，为常数。第二章 数学模型5/17/202229q 线性系统微分方程的一般形式 式中，a1，a2，an和b0，b1，bm为由系统结构参数决定的实常数，mn。 )()()()()()()()(111101111txbtxdtdbtxdtdbtxd
13、tdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn第二章 数学模型5/17/202230二、非线性数学模型的线性化l 线性化问题的提出线性化问题的提出 线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系 统工作范围，将非线性微分方程近似为线性 微分方程进行处理。 非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻 尼力与速度的平方成反比；齿轮啮合系统由 于间隙的存在导致的非线性传输特性；具有 铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等。 第二章 数学模型5/17/202231 线性化的提出q 线性系统是有条件存在的，只在一定的工作 范围内具有线性特性； q 非线性系统的分析和综合是非常复
14、杂的； q 对于实际系统而言，在一定条件下，采用线 性化模型近似代替非线性模型进行处理，能 够满足实际需要。 第二章 数学模型5/17/202232l 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 泰勒级数展开法 函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数展开式为： 3003320022000)()(! 31)()(! 21 )()()()(xxxxdxxfdxxxxdxxfdxxxxdxxdfxfxfy第二章 数学模型5/17/202233)()()(000 xxxxdxxdfxfy略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：0)(xxdxxdfK或：y - y0 = y =
15、Kx， 其中：上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；第二章 数学模型5/17/202234增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。 对多变量系统，如：y = f (x1, x2)，同样可采用泰勒级数展开获得线性化的增量方程。 第二章 数学模型5/17/202235)()(),(202210112010202101202101xxxfxxxfxxfyxxxxxxxx22110 xKxKyyy增量方程：),(20100 xxfy 静态方
16、程：2021012021012211,xxxxxxxxxfKxfK其中：第二章 数学模型5/17/202236 滑动线性化切线法 0 xy=f(x)y0 x0 xyy非线性关系线性化A线性化增量增量方程为：y y =xtg切线法是泰勒级数法的特例。第二章 数学模型5/17/202237l 系统线性化微分方程的建立系统线性化微分方程的建立 步骤 q 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； q 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； q 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微 分方程； 第二章 数学模型5/17/202238 实例：液位系统的线性化 )()()(tqtHtHdtdAi20022000
17、)(! 21)(HHHdHHdHHHdHHdHH0000,ioiqHqq解解：稳态时：)(tH非线性项的泰勒展开为：第二章 数学模型节流阀节流阀qi(t)qo(t)H(t)液位系统5/17/202239HHHHHHdHHdHH0000021)(则：iiqqHHHHHdtdA000021)(由于：注意到：HdtdHHdtd)(0第二章 数学模型5/17/202240)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi实际使用中，常略去增量符号而写成：)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi所以：此时，上式中H(t)和qi(t)均为平衡工作点的增量。第二章 数学模型5/17/202241l 线性化
18、处理的注意事项线性化处理的注意事项 线性化方程的系数与平衡工作点的选择有关； 线性化是有条件的，必须注意线性化方程适 用的工作范围； 某些典型的本质非线性，如继电器特性、间 隙、死区、摩擦等，由于存在不连续点，不 能通过泰勒展开进行线性化，只有当它们对 系统影响很小时才能忽略不计，否则只能作 为非线性问题处理。 第二章 数学模型5/17/202242inout0近似特性曲线真实特性饱和非线性inout0死区非线性inout0继电器非线性inout0间隙非线性第二章 数学模型5/17/202243三、拉氏变换和拉氏反变换l 拉氏变换拉氏变换 设函数f(t) (t0)在任一有限区间上分段连续，且存
19、在一正实常数，使得：0)(limtfett则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：s=+j（，均为实数）；0)()()(dtetftfLsFst第二章 数学模型5/17/2022440dtest称为拉普拉氏积分；F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数，它是一个复变函数；f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。l 拉氏反变换拉氏反变换 0,)(21)()(1tdsesFjsFLtfjjstL1为拉氏反变换的符号。第二章 数学模型5/17/202245l 几种典型函数的拉氏变换几种典型函数的拉氏变换 q 单位阶跃函数1(t) 10tf(t)单位阶跃函数0100)( 1t
20、tt)0)(Re(101 )(1)(10ssesdtettLstst第二章 数学模型5/17/202246q 指数函数atetf)(（a为常数）指数函数0tf(t)1)0)(Re(,1 0)(0asasdtedteeeLtasstatat第二章 数学模型5/17/202247q 正弦函数与余弦函数 正弦及余弦函数10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-10sinsindtettLst0coscosdtettLst由欧拉公式，有： tjtjtjtjeeteejt21cos21sin第二章 数学模型5/17/2022480)Re(112121sin2200ssjsjsjdteedtee
21、jtLsttjsttj从而：22cossstL同理：第二章 数学模型5/17/202249q 单位脉冲函数(t) 0tf(t)单位脉冲函数1)0(1lim)0(0)(0tttt且)1 (1lim1lim)(000sstesdtetL)()1 (lim)1 (1lim00seesss由洛必达法则：1lim)(0setL所以：第二章 数学模型5/17/202250q 单位速度函数（斜坡函数） 10tf(t)单位速度函数1000)(ttttf0)Re(1)(2000ssdtsesetdttetfLststst第二章 数学模型5/17/202251q 单位加速度函数02100)(2ttttf0)Re(
22、121)(302ssdtettfLst单位加速度函数0tf(t)函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到。 第二章 数学模型5/17/202252l 拉氏变换积分下限的说明拉氏变换积分下限的说明 在某些情况下，函数f(t)在t0处有一个脉冲函数。这时必须明确拉氏变换的积分下限是0还是0+，并相应记为：0)()(dtetftfLst000)()()()(dtetftfLdtetftfLstst第二章 数学模型5/17/202253l 拉氏变换的主要定理拉氏变换的主要定理 叠加定理 q 齐次性：Laf(t)=aLf(t)，a为常数；q 叠加性：Laf1(t)+bf2(t)
23、=aLf1(t)+bLf2(t) a，b为常数；显然，拉氏变换为线性变换。第二章 数学模型5/17/202254 微分定理 0)()0(),0()()(ttfffssFdttdfL00)(0)()(dtsedttdfsetfdtetfststst证明证明：由于dttdfLssfsF)(1)0()(即：第二章 数学模型5/17/202255)0()()(fssFdttdfL所以：)0()0()0()()()0()0()()()1(21222nnnnnnffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdL同样有：式中，f (0)，f (0)，为函数f(t)的各阶导数在t=0时的值。第二章 数学模型
24、5/17/202256)()()()()()(222sFsdttfdLsFsdttfdLssFdttdfLnnn当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时（零初始条件）：第二章 数学模型5/17/202257 积分定理 0)()0(,)0()()()1()1(tdttffsfssFdttfL)(1)(sFsdttfL当初始条件为零时：若f(0+) f(0)，则：sfssFdttfLsfssFdttfL)0()()()0()()()1()1(第二章 数学模型5/17/202258证明证明：0)()(dtedttfdttfLst00)()(dtsetfsedttfststssFsf)()0()
25、1(0)(10)(1dtetfstdttfsst第二章 数学模型5/17/202259)(1)(sFsdttfLnn)0(1)0(1)(1)()1()1(1nnnnfsfssFsdttfL同样：当初始条件为零时：第二章 数学模型5/17/202260 延迟定理 )()(sFetfLs设当t0时，f(t)=0，则对任意0，有：函数 f(t-)0tf(t)f(t)f(t-)第二章 数学模型5/17/202261 位移定理 )()(asFtfeLat例：2222cossinsstLstL2222)()(cos)(sinasasteLasteLatat第二章 数学模型5/17/202262 初值定理
26、证明证明：)(lim)0()(lim0ssFftfst初值定理建立了函数f(t)在t=0+处的初值与函数sF(s)在s趋于无穷远处的终值间的关系。 0)0()(lim)(lim)(lim0fssFdtedttdfdttdfLsstss)(lim)0(ssFfs即：第二章 数学模型5/17/202263 终值定理 )(lim)()(lim0ssFftfst若sF(s)的所有极点位于左半s平面， 即：)(limtft存在。则：第二章 数学模型证明证明：)0()(lim)0()(lim)(lim000fssFfssFdttdfLsss5/17/202264终值定理说明f(t)稳定值与sF(s)在s=
27、0时的初值相同。)(lim)(0ssFfs第二章 数学模型)0()()()(lim)(lim0000ffdtdttdfdtedttdfdttdfLstss又由于：)0()(lim)0()(0fssFffs即：5/17/202265 卷积定理 )()()()(sGsFtgtfLttdtgfdgtftgtf00)()()()()(*)(若t p=1 -12 0 25 126p = 1 -12 0 25 126第二章 数学模型5/17/202287用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式，即：num = b0 b1 bm den = a0 a1 anMATLAB提供函数residue用于实
28、现部分分式展开，其句法为：r, p, k = residue(num, den)其中，r, p分别为展开后的留数及极点构成的列向量、k为余项多项式行向量。第二章 数学模型5/17/202288若无重极点，MATLAB展开后的一般形式为：)()()()2() 1 () 1 () 1 ()(sKnpsnrpsrpsrsF若存在q重极点p(j)，展开式将包括下列各项：qjpsqjrjpsjrjpsjr)()1()()1()()(2第二章 数学模型5/17/202289例例：求的部分分式展开。2450351026523911)(234234sssssssssF num=1 11 39 52 26; d
29、en=1 10 35 50 24; r,p,k=residue(num,den)r = 1.0000 2.5000 -3.0000 0.5000p = -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000k = 1展开式为：115 . 02335 . 241)(sssssF第二章 数学模型5/17/202290例例：求的部分分式展开。27956510)(23425ssssssssF num=1 0 0 10 5 6; den=1 5 9 7 2; r,p,k=residue(num,den)r = -4.0000 20.0000 -20.0000 10.0000p = -2.0000
30、 -1.0000 -1.0000 -1.0000k = 1 -5展开式为：5) 1(10) 1(2012024)(32ssssssF第二章 数学模型5/17/202291num, den = residue(r, p, k)函数 residue 也可用于将部分分式合并，其句法为： r = 1 2 3 4; p = -1 -2 -3 -4; k = 0; num, den = residue(r, p, k)num = 10 70 150 96den = 1 10 35 50 24例例：24503510961507010)(23423ssssssssF第二章 数学模型5/17/202292l 应
31、用拉氏变换解线性微分方程应用拉氏变换解线性微分方程 求解步骤q 将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方 程； q 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表 达式；q 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。 第二章 数学模型5/17/202293原函数（微分方程的解）象函数微分方程象函数的代数方程拉氏反变换拉氏变换解代数方程拉氏变换法求解线性微分方程的过程第二章 数学模型5/17/202294 实例)()(6)(5)(22txtxdttdxdttxdiooo设系统微分方程为：若xi (t) =1(t)，初始条件分别为xo(0)、xo(0)，试求xo(t)。解解：对微分方程左边进行拉氏变换： )0(
32、)0()()(222ooooxsxsXsdttxdL第二章 数学模型5/17/202295)0()0()5()()65()(6)(5)(222ooooooxxssXsstxdttdxdttxdL即：)0(5)(5)(5oooxssXdttdxL)(6)(6sXtxLoo第二章 数学模型5/17/202296stLsXtxLii1)( 1)()(323265)0()0()5()65(1)(2132122sBsBsAsAsAssxxsssssXooo对方程右边进行拉氏变换：sxxssXssooo1)0()0()5()()65(2从而：第二章 数学模型5/17/20229761065121sssA2
33、12) 3(12sssA313)2(13sssA)0()0(323)0()0()5(1ooooxxssxxsB)0()0(232)0()0()5(2ooooxxssxxsB第二章 数学模型5/17/202298) 0( ) 0() 0(2) 0() 0(3 312161)(3232texxexxeetxtootootto)0312161)(32teetxtto3)0()0(22)0()0(333122161)(sxxsxxssssXooooo所以：查拉氏变换表得：当初始条件为零时：第二章 数学模型零状态响应零输入响应5/17/202299q 应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始 条件已自动地
34、包含在微分方程的拉氏变换式 中，因此，不需要根据初始条件求积分常数 的值就可得到微分方程的全解。 q 如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏 变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。 由上述实例可见：第二章 数学模型q 系统响应可分为两部分：零状态响应和零输 入响应 5/17/2022100作业：2-3（3, 7, 8, 13, 17） 2-4 (2, 3) 5/17/2022101四、传递函数l 传递函数的概念和定义传递函数的概念和定义 传递函数 第二章 数学模型在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。 零初始条件：q t0时，输入量及其各阶导数均为
35、0；q 输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工 作状态，即t 0 时，输出量及其各阶导数也 均为0；5/17/2022102第二章 数学模型 传递函数求解示例 q 质量-弹簧-阻尼系统的传递函数 )()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo)()()()(2sFsKXsCsXsXmsioooKCsmssFsXsGio21)()()(所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：按照定义，系统的传递函数为：5/17/2022103第二章 数学模型q R-L-C无源电路网络的传递函数 )()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo)()()()(2sUsUsRCsUsUL
36、Csiooo11)()()(2RCsLCssUsUsGio所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：5/17/2022104第二章 数学模型q 几点结论 传递函数是复数s域中的系统数学模型， 其参数仅取决于系统本身的结构及参数， 与系统的输入形式无关。 若输入给定，则系统输出特性完全由传递函 数G(s) 决定，即传递函数表征了系统内在的 固有动态特性。 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关 系来描述系统的固有特性。即以系统外部的 输入输出特性来描述系统的内部特性。 5/17/2022105第二章 数学模型 传递函数的一般形式)()()()()()()()()(111101111mntxbtxdtd
37、btxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio考虑线性定常系统当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：5/17/2022106第二章 数学模型mmmmbsbsbsbsM1110)(nnnnasasasasN1110)(令：)()()()()(sNsMsXsXsGio则：N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统的特征根。特征方程决定着系统的动态特性。N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。l 特征方程、零点和极点特
38、征方程、零点和极点 特征方程5/17/2022107第二章 数学模型式中，K称为系统的放大系数或增益。当s=0时： G(0)=bm/an=K从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。因此K 反应了系统处于静态时，输出与输入的比值。 5/17/2022108第二章 数学模型 零点和极点 )()()()()()()(210210nmiopspspsazszszsbsXsXsG将G(s)写成下面的形式： N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根s=pj (j=1, 2, , n)，称为传递函数的极点；式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根s=zi
39、(i=1, 2, , m)，称为传递函数的零点；系统传递函数的极点就是系统的特征根。零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。5/17/2022109第二章 数学模型 零、极点分布图 将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称为传递函数的零、极点分布图。图中，零点用“O”表示，极点用“”表示。 G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零极点分布图0 12312-1-2-3-1-2j5/17/2022110第二章 数学模型l 传递函数的几点说明传递函数的几点说明 传递函数是一种以系统参数表示的线性定常 系统输入量与输出量之间的关系式；传递函 数的概念通常只适用于线性定常系统； 传递函数是
40、s 的复变函数。传递函数中的各 项系数和相应微分方程中的各项系数对应相 等，完全取决于系统结构参数； 5/17/2022111第二章 数学模型 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零 时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于 相对静止状态。因此，传递函数原则上不能 反映系统在非零初始条件下的全部运动规律； 传递函数只能表示系统输入与输出的关系， 无法描述系统内部中间变量的变化情况。 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出 的关系，只适合于单输入单输出系统的描述。 5/17/2022112第二章 数学模型l 脉冲响应函数脉冲响应函数 初始条件为0时，系统在单位脉冲输入作用下的输出响应的拉氏变换为：
41、)()()()(sGsXsGsY即：)()()()(11tgsGLsYLtyg(t)称为系统的脉冲响应函数（权函数）。系统的脉冲响应函数与传递函数包含关于系统动态特性的相同信息。5/17/2022113第二章 数学模型l 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数 环节 具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。经常遇到的环节称为典型环节。 任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所组成。 5/17/2022114第二章 数学模型 环节的分类 )()()()()()()(210210nmiopspspsazszszsbsXsXsG假设系统有b个实零点，c 对复零点，d 个实
42、极点，e对复极点和v个零极点，由线性系统传递函数的零、极点表达式：可见：b+2c = m v+d+2e = n5/17/2022115第二章 数学模型iiiiiisszs1),1(1jjjjjjTsTTsps1),1(1对于实零点zi=i和实极点pj=j ，其因式可以变换成如下形式：5/17/2022116第二章 数学模型) 12(12)()(2222221ssssjsjszszs对于复零点对z=+j和z+1= j ，其因式可以变换成如下形式：2222,1式中，5/17/2022117第二章 数学模型对于复极点对pk=k+jk和pk+1=k jk ，其因式可以变换成如下形式：) 12(1 2
43、)()(2222221sTsTTssjsjspspskkkkkkkkkkkkk2222,1kkkkkkkT式中，5/17/2022118第二章 数学模型ekkkkdjjvcbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()(于是，系统的传递函数可以写成：ekkdjjcbiiTTabK1211210011式中，为系统放大倍数。5/17/2022119第二章 数学模型121,11,1, 12, 1,2222TssTTsssssK由上式可见，传递函数表达式包含六种不同的因子，即：一般，任何线性系统都可以看作是由上述六种因子表示的典型环节的串联组合。上述六种典型环节
44、分别称为：典型环节典型环节5/17/2022120第二章 数学模型比例环节：K一阶微分环节：s+11222ss二阶微分环节：s1积分环节：11Ts惯性环节：12122TssT振荡环节：5/17/2022121第二章 数学模型)()(sXesXiso实际系统中还存在纯时间延迟现象，输出完全复现输入，但延迟了时间，即xo(t)=xi(t-)，此时：sesG)(或：se因此，除了上述六种典型环节外，还有一类典型环节延迟环节 。5/17/2022122第二章 数学模型)()(sXesXiso实际系统中还存在纯时间延迟现象，输出完全复现输入，但延迟了时间，即xo(t)=xi(t-)，此时：sesG)(或
45、：se因此，除了上述六种典型环节外，还有一类典型环节延迟环节 。5/17/2022123第二章 数学模型 典型环节示例 q 比例环节 输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。其运动方程为：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、xi(t)分别为环节的输出和输入量；K比例系数，等于输出量与输入量之比。5/17/2022124第二章 数学模型KsXsXsGio)()()(比例环节的传递函数为：z1z2ni(t)no(t)齿轮传动副R2R1ui(t)uo(t)运算放大器KzzsNsNsGio21)()()(KRRsUsUsGio12)()()(5/17/2022125第二章 数学模型q 惯性环
46、节 )()()(tKxtxtxdtdTioo1)()()(TsKsXsXsGio凡运动方程为一阶微分方程：形式的环节称为惯性环节。其传递函数为： T时间常数，表征环节的惯性，和 环节结构参数有关式中，K环节增益（放大系数）；5/17/2022126第二章 数学模型)()()(tKxtKxdttdxCiooKCTTskCsKsG,11)(如：弹簧-阻尼器环节xi(t)xo(t)弹簧-阻尼器组成的环节KC5/17/2022127第二章 数学模型q 微分环节 输出量正比于输入量的微分。dttdxtxio)()(运动方程为：ssXsXsGio)()()(传递函数为：式中，微分环节的时间常数在物理系统中
47、微分环节不独立存在，而是和其它环节一起出现。5/17/2022128第二章 数学模型dttdKtuito)()(sKssUsGtio)()()(如：测速发电机uo(t) i (t)测 速 发 电 机式中， Kt为电机常数。 无负载时：5/17/2022129第二章 数学模型RCui(t)uo(t)i(t)无源微分网络无源微分网络 RtituRtidttiCtuoi)()()()(1)(RCTTsTsRCsRCssG,11)(显然，无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，称之为惯性微分环节，只有当|Ts|1时，才近似为微分环节。 5/17/2022130第二章 数学模型) 1()()()(sKsX
48、sXsGio除了上述纯微分环节外，还有一类一阶微分环节，其传递函数为：微分环节的输出是输入的导数，即输出反映了输入信号的变化趋势，从而给系统以有关输入变化趋势的预告。因此，微分环节常用来改善控制系统的动态性能。5/17/2022131第二章 数学模型q 积分环节 输出量正比于输入量对时间的积分。 tiodttxTtx0)(1)(运动方程为：TssXsXsGio1)()()(传递函数为：式中，T积分环节的时间常数。5/17/2022132第二章 数学模型AtTAdtTtxto11)(0积分环节特点： 输出量取决于输入量对时间的积累过程。 且具有记忆功能； 具有明显的滞后作用。积分环节常用来改善系
49、统的稳态性能。如当输入量为常值 A 时，由于：输出量须经过时间T才能达到输入量在t = 0时的值A。5/17/2022133第二章 数学模型q 振荡环节 含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动方程为： 10),()()(2)(222tKxtxtxdtdTtxdtdTiooo12)()()(22TssTKsXsXsGio传递函数：5/17/2022134第二章 数学模型式中，T振荡环节的时间常数 阻尼比，对于振荡环节，01 K比例系数TsssGnnnn1,2)(222振荡环节传递函数的另一常用标准形式为（K=1）：n称为无阻尼固有频率。5/17/20
50、22135第二章 数学模型)()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo12/11)(222TssTKKCsmssG如：质量-弹簧-阻尼系统传递函数：mKCKmT2,式中，mkC2当时，为振荡环节。5/17/2022136第二章 数学模型q 二阶微分环节 式中，时间常数 阻尼比，对于二阶微分环节，01 K比例系数 10,)()(2)()(222txtxdtdtxdtdKtxiiio运动方程：12)(22ssKsG传递函数：5/17/2022137第二章 数学模型q 延迟环节 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅 由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要 求的输出值；)()(tx
