1、第第17章章 勾股定理勾股定理期末复习期末复习abc勾股定理勾股定理:如果如果直角三角形直角三角形的两直角边分别为的两直角边分别为a,b,斜斜边为边为c,那么那么222cbaABCabcABCA的面积的面积+B的面积的面积=C的面积的面积D ABC 互逆命题互逆命题: 两个命题中两个命题中, 如果第一个命题的题设是第如果第一个命题的题设是第二个命题的结论二个命题的结论, 而第一个命题的结论又是第而第一个命题的结论又是第二个命题的题设二个命题的题设,那么这两个命题叫做那么这两个命题叫做互逆命互逆命题题. 如果把其中一个叫做如果把其中一个叫做原命题原命题, 那么另一个叫那么另一个叫做它的做它的逆命
2、题逆命题. 互逆定理互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命如果一个定理的逆命题经过证明是真命题题, 那么它也是一个定理那么它也是一个定理, 这两个定理叫做这两个定理叫做互互逆定理逆定理, 其中一个叫做另一个的其中一个叫做另一个的逆定理逆定理.命题：命题：1、无理数是无限不循环小数的、无理数是无限不循环小数的逆命题是逆命题是 。无限不循环小数是无理数无限不循环小数是无理数2、等腰三角形两底角相等、等腰三角形两底角相等的逆命题：的逆命题： 。有两个相等角的三角形是等腰三角形有两个相等角的三角形是等腰三角形勾股定理逆定理勾股定理逆定理如果如果三角形的三角形的三边分别为三边分别为a,b,c,满
3、足满足a+b=c，那么这个三角形是直角，那么这个三角形是直角三角形。三角形。勾勾 股股 数数 3 , 4 , 5 (6 ,8 ,10) (9, 12, 15) 5, 12 ,13 (10,24,26)7, 24 ,25 8, 15,179 ,40 ,41 11, 60 ,61 20，21，29 12，35，37 20，99，10113, 84, 85 48，55，7315, 112 ,113 60，91，109 常见勾股数常见勾股数1.一根旗杆高一根旗杆高8m,断裂后旗杆顶端落于旗杆底端断裂后旗杆顶端落于旗杆底端4m处，旗杆的断裂出距离地面（处，旗杆的断裂出距离地面（ ）米）米2.若一个三角形
4、的三条高交点是这个三角形的一若一个三角形的三条高交点是这个三角形的一个顶点，这个三角形是个顶点，这个三角形是 3.直角三角形的两条直角边分别是直角三角形的两条直角边分别是5cm,12cm,其斜边上的高是（其斜边上的高是（ ）4.以直角三角形的两直角边所作正方形的面积分以直角三角形的两直角边所作正方形的面积分别是别是25和和144，则斜边长是（，则斜边长是（ ）3直角三角形直角三角形136013练习练习5、分别以直角三角形三边为半径作半圆则分别以直角三角形三边为半径作半圆则这三个半圆的面积这三个半圆的面积A,B,C之间的关系（之间的关系（ ）6.如图，两个正方形的面积如图，两个正方形的面积分别为
5、分别为64，49，则，则AC=( ) 7.由四根木棒，长度分别为由四根木棒，长度分别为3，4，5，6 若去其中三根若去其中三根木棒组呈三角形，有木棒组呈三角形，有( )中取法，其中，能构成直角中取法，其中，能构成直角三角形的是（三角形的是（ ） ADC6449ABCA=B+C1174A1317在数轴上表示出在数轴上表示出 的点吗？的点吗？25364 分类思想分类思想 1.直角三角形中，已知两边长是直角边、直角三角形中，已知两边长是直角边、斜边不知道时，应分类讨论。斜边不知道时，应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真当已知条件中没有给出图形时，应认真读句画图，避免遗漏另一种情况。读
6、句画图，避免遗漏另一种情况。 2.三角形三角形ABC中中,AB=10,AC=17,BC边上边上的高线的高线AD=8,求求BCDDABC 1.已知已知:直角三角形的三边长分别是直角三角形的三边长分别是3,4,X,则则X2=25或或7ABC1017817108分类思想分类思想 例例: 有一个水池，水面是有一个水池，水面是一个边长为一个边长为10尺的正方形，尺的正方形，在水池的中央有一根新生的在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面芦苇，它高出水面1尺，如果尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和面，请问这个水池
7、的深度和这根芦苇的长度各是多少？这根芦苇的长度各是多少？DABC方程方程 思想思想 方程思想方程思想 直角三角形中，当无法已知两边求第三直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程。的等量关系，利用勾股定理列方程。1.小东拿着一根长竹竿进一个宽为米的城门，他先横拿着进不去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少？x1mm(x+1)3 2.如图如图, ,铁路上铁路上A A、B B两点相距两点相距25km, C25km, C、D D为为两村庄两村庄,DA,DA
8、垂直垂直ABAB于于A A，CBCB垂直垂直ABAB于于B B，已知，已知AD=15kmAD=15km，BC=10kmBC=10km，现在要在铁路，现在要在铁路ABAB上建一个上建一个土特产品收购站土特产品收购站E E，使得，使得C C、D D两村到两村到E E站的距离站的距离相等，则相等，则E E站建在距站建在距A A站多少千米处？站多少千米处？折叠三角形折叠三角形例例1、如图，一块直角三角形的纸片，两直角如图，一块直角三角形的纸片，两直角边边AC=6，BC=8。现将直角边。现将直角边AC沿直线沿直线AD折叠，使它落在斜边折叠，使它落在斜边AB上，且与上，且与AE重合，重合，求求CD的长的长
9、 ACDBE第8题图x6x8-x46例例2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使的纸片，使A与与B重合，折痕为重合，折痕为DE，若已知，若已知AB=10cm，BC=6cm,你能求出你能求出CE的长吗？的长吗？CABDE练习练习:三角形三角形ABC是等腰三角形是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，将，将AB向向AC方向对折，再将方向对折，再将CD折叠折叠到到CA边上，折痕边上，折痕CE，求三角形，求三角形ACE的面积的面积ABCDADCDCAD1E13512512-x5xx8折叠四边形折叠四边形例例1：折叠矩形折叠矩形ABCD的一边的一边AD,点点D落在
10、落在BC边上的点边上的点F处处,已知已知AB=8CM,BC=10CM,求求 1.CF 2.EC.ABCDEF810106X8-X48-X例例2：折叠矩形纸片，先折出折痕折叠矩形纸片，先折出折痕对角线对角线BD，在绕点，在绕点D折叠，使点折叠，使点A落在落在BD的的E处，折痕处，折痕DG，若，若AB=4，BC=3，求，求AG的长。的长。DAGBCE例例3：矩形矩形ABCD中，中，AB=6，BC=8，先把，先把它对折，折痕为它对折，折痕为EF，展开后再沿，展开后再沿BG折叠，折叠，使使A落在落在EF上的上的A1，求第二次折痕，求第二次折痕BG的长。的长。ABCDEFA1G提示：提示：先证明正三角形
11、先证明正三角形AA1B练习：已知，如图，在练习：已知，如图，在RtABC中，中，C=90， 1=2，CD=1.5, BD=2.5, 求求AC的长的长.DACB12提示：作辅助线提示：作辅助线DEAB，利用平，利用平分线的性质和勾股定理。分线的性质和勾股定理。1 1、已知、已知: :如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD中中,AB=20,BC=15,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24, B=90CD=7,AD=24, B=90求证求证:A+C=180:A+C=180ABCD2015724综合运用2、如图、如图BEAE, A=EBC=60,AB=4,BC= ,AB=4,BC= CD=
12、 CD= ， DE=3,DE=3,求证求证:ADCD:ADCD332ABCD43E3326060综合运用3、如下图，在正方形、如下图，在正方形ABCD中中E是是BC的中点，的中点，F为为CD上一点，上一点，且且CF CD求证：求证：AEF是直角三角形是直角三角形 41综合运用综合运用4、在三角形、在三角形ABC中中, AB=15 , BC=14 , AC=13,求三角形求三角形ABC的面积的面积.ABC151413DX14-X思考题思考题: :1 1、已知、已知ABC的三边的三边a, b ,c满足满足:a2+b2+c2+338=10a+24b+26c, 请你判断请你判断ABC的形状的形状, 并
13、说明理由并说明理由.2、已知已知ABC的三条边长分别为的三条边长分别为a、b、 c，且满足关系：且满足关系： (a+b)2 + c2 = 3ab + c(a+b),试判断试判断ABC的形状，并说明理由的形状，并说明理由. 1. 几何体的表面路径最短的问题，一般展几何体的表面路径最短的问题，一般展开表面成平面。开表面成平面。 2.利用两点之间线段最短，及勾股定理利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。求解。 展开思想展开思想如图：正方体的棱长为如图：正方体的棱长为cm，一只蚂蚁，一只蚂蚁欲从正方体底面上的顶点欲从正方体底面上的顶点A沿正方体的沿正方体的表面到顶点表面到顶点C处吃食物，那么它需要爬处
14、吃食物，那么它需要爬行的最短路程的长是多少？行的最短路程的长是多少？ABCDABCD16例例2:2:如图如图, ,一圆柱高一圆柱高8cm,8cm,底面半径底面半径2cm,2cm,一只蚂蚁从点一只蚂蚁从点A A爬到点爬到点B B处吃食处吃食, ,要爬行的最短路程要爬行的最短路程( ( 取取3 3）是）是( ) ( ) A.20cm B.10cm C.14cm D.A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定无法确定 BB8OA2蛋糕ACB周长的一半ABBAC如图如图, ,一圆柱高一圆柱高8cm,8cm,底面半径底面半径2cm,2cm,一只蚂蚁从距底面一只蚂蚁从距底面1 1厘米点厘米点A
15、 A爬到对角爬到对角B B处吃食处吃食, ,要爬行的最短路程要爬行的最短路程( ( 取取3 3）是）是( ) ( ) A.20cm B.10cm C.14cm D.A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定无法确定 例例3,3,如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm20dm、3dm3dm、2dm，A和和B是这个台阶两个相对的端点，是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到着台阶面爬到B点最短路程是多少？点最短路程是多少？20203 3
16、2 2AB32323 AB2=AC2+BC2=625, AB=25.例例4:.如图，长方体的长如图，长方体的长为为15 cm，宽为，宽为 10 cm，高为高为20 cm，点，点B离点离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点长方体的表面从点 A爬爬到点到点B，需要爬行的最，需要爬行的最短距离是多少？短距离是多少？ 1020BAC155BAC1551020B5B51020ACEFE1020ACFAECB2015105练习:在长长30cm30cm、宽、宽50 cm50 cm、高、高40 cm40 cm的木箱的木箱中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至
17、少要爬多远？ CDA.B.305040图305040CDA.B.ADCB3050408000408022CCDA.B.ACBD图3040503040509000903022CCDA.B.图50ADCB40303040507400705022 1. 几何体的表面路径最短的问题，一般展几何体的表面路径最短的问题，一般展开表面成平面。开表面成平面。 2.利用两点之间线段最短，及勾股定理利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。求解。 展开思想展开思想504030405030 xx一根70cm的木棒,要放在长、宽、高分别是50cm,40cm,30cm的长方体木箱中,能放进去吗练习练习:小明家住在小明家住在
18、18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。竿。买最长买最长的吧！的吧！快点回家，快点回家，好用它凉衣好用它凉衣服。服。糟糕，太糟糕，太长了，放长了，放不进去。不进去。如果电梯的长、宽、高分别是如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、米、1.5米、米、2.2米，那么，米，那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？小明买的竹竿至少是多少米吗？1.5米1.5米2.2米1.5米1.5米xx2.2米ABCX2=1.52+1.52=4.5AB2=2.22+X2=9.34AB3米米再再 见见
