1、 二次函数 （提高训练）一、单选题1如图，若抛物线经过原点，则抛物线的解析式为（）ABCD或【答案】A【解析】【解答】 抛物线经过原点， 令 ，则 ，解得 ；由图可知，抛物线的开口向下， ，抛物线故答案为：A【分析】先求出，再求出，最后求抛物线的解析式即可。2已知二次函数的图象经过原点，则a的值为（）A0或2B0C2D无法确定【答案】C【解析】【解答】解：的图象经过原点，把代入函数解析式可得：或或又由二次函数可得：故答案为：【分析】先求出再求出或 最后求解即可。3如图，二次函数yax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线x1，下列结论：abc0；2a+b0；4a2b+
2、c0；当y0时，1x3；bc.其中正确的个数是（） A2B3C4D5【答案】B【解析】【解答】解：抛物线开口向下，a0；抛物线的对称轴为直线x 1，b2a0，所以正确；抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，abc0，所以错误；抛物线与x轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线x1，抛物线与x轴的另一个交点坐标是（1，0），x2时，y0，4a2b+c0，所以错误；抛物线与x轴的2个交点坐标为（1，0），（3，0），1x3时，y0，所以正确；x1时，y0，ab+c0，而b2a，c3a，bc2a+3aa0，即bc，所以正确.故答案为：B.【分析】由图象可知：抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，与y轴
3、的交点在x轴上方，据此可得a、b、c的正负，进而判断；根据对称性求出与x轴的另一个交点坐标，根据x=-2对应的函数值为负可判断；根据抛物线与x轴的交点可判断；根据x=-1对应的函数值为0可得a-b+c0，结合b-2a可得c-3a，据此判断.4将抛物线 向上平移1个单位，平移后所得抛物线的表达式是（） ABCD .【答案】A【解析】【解答】解：将抛物线y=x2-2x-1向上平移1个单位，平移后抛物线的表达式y=x2-2x-1+1，即y=x2-2x.故答案为：A.【分析】二次函数y=ax2+bx+c向上平移m（m0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m.5函数，当与时，函
4、数值相等，则当时，函数值等于（）A3BCD3【答案】D【解析】【解答】解：当与时，函数值相等，与 的函数值相等，当 时， ，当 时， .故答案为：D. 【分析】由题意可得x=2022与x=0的函数值相等，令x=0，求出y的值，据此解答.6二次函数yax2+bx+c的自变量x和函数y的部分对应值如表： x01234y45442045则该二次函数y在所给自变量x（2x2）的取值范围内的最小值是（）A45B20C4D0【答案】B【解析】【解答】解：由表中数据得到对称轴为直线x ， 当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小，x2时，y20，x2时，y4，x 时，y5，二次函数y在所给
5、自变量x（2x2）的取值范围内的最小值是20，故答案为：B. 【分析】由表中数据得到对称轴为直线x ，根据二次函数性质可知，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小，再由-2x2，当x=-2时，y20，x2时，y4，x 时，y5，即可求出二次函数的最小值.7已知二次函数 （其中m0），下列说法正确的是（） A当x2时，都有y随着x的增大而增大B当x3时，都有y随着x的增大而减小C若xn时，都有y随着x的增大而减小，则 D若xn时，都有y随着x的增大而减小，则 【答案】D【解析】【解答】解：在y（x ）（mx4m）中，令y0得x 或x4， 抛物线的对称轴是直线x 2+ ，m0，
6、抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，若xn时，都有y随着x的增大而减小，则 故答案为：D. 【分析】根据二次函数两根式求出与x轴交点的横坐标，即x 或x4，可求出抛物线的对称轴为x=2+，再根据m0，抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，若xn时，都有y随着x的增大而减小，则，即可求出正确结论.8如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：；.正确的是（）ABCD【答案】C【解析】【解答】解：抛物线开口向下，a0，抛物线交y轴于正半轴，c0， 0，b0，abc0，故正确，x2时，y0，4a2bc0，即4ac2b，故正确，yax2bxc的图象过点（1，0）和（m，0），1m
7、 ，am2bmc0，故正确，1m ，aamb，amab，am2（2ab）mabcam2bmc2amab2a2bab3ab0，故正确，m1 ，m1 ，|ama| ，故正确.故答案为：C. 【分析】由图象可知：抛物线开口向下，交y轴于正半轴，对称轴在y轴右侧，判断出a、b、c的正负，进而判断；根据x=-2对应的函数值为负可判断；根据图象与x轴的交点坐标结合根与系数的关系可得1m，am2bmc0，进而判断；根据根与系数的关系可得-1m-，则am=ab，据此判断；结合求根公式表示出m+1，进而判断.9在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分“盖帽”是一种常见的防守
8、手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”P的可能性最大的线路是（）ABCD【答案】B【解析】【解答】解：B、D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点上升阶段的水平距离长；A、B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小
9、于B点的横坐标，等经过.A点的篮球运行到与B点横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水平距离长；同理可知C点路线优于A点路线，综上：PBQ是被“盖帽”的可能性最大的线路故答案为：B 【分析】分类讨论投篮线路经过A、B、C、D四个点时篮球上升阶段的水平距离求解即可。10某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，则这个旅游团的人数是（）A55B56C57D58【答案】A【解析】【解答】解：设一个旅行团的人数是x人，营业额为y元，根据题意得，即当一个旅行团的人数是55人
10、时，这个旅行团可以获得最大的营业额，故答案为：A 【分析】设一个旅行团的人数是x人，营业额为y元，根据题意列出函数解析式 ，再利用二次函数的性质求解即可。二、填空题11二次函数yaxbxc（a0）的图象过点A（0，1）和C（1，0）（1）若函数图象的对称轴是x1，则函数解析式为 （2）当a2时，作直线xh（h0）交直线AC于P，交抛物线于点Q，交x轴于点D，当PQQD时，h 【答案】（1）（2）【解析】【解答】解：（1） 二次函数yaxbxc（a0）的图象过点A（0，1）和C（1，0），函数图象的对称轴是x1， ，解得 ，函数解析式为，故答案为：（2）设直线AC：，把点A（0，1）和C（1，0
11、）代入得， ，解得，直线AC：， 二次函数yaxbxc（a0）的图象过点A（0，1）和C（1，0），a2，解得函数解析式为，直线xh（h0）交直线AC于P，交抛物线于点Q，交x轴于点D，PQQD，解得：（舍去），故答案为：【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用待定系数法求出直线AC和二次函数解析式，再求出点P、Q、D的坐标，根据PQQD列方程，解之即可。12如图，某农场拟建一矩形饲养室，饲养室的一面靠墙（墙足够长），并在图中所示位置开2m的门，已知建筑围栏的材料可建围墙共66m，设饲养室的长为x（m），占地面积为y（m2），请列出y关于x的函数关系式： .（不用写x的取值范
12、围）【答案】y x2+34x【解析】【解答】解：设饲养室的长为x（m），饲养室的长用的材料是（x2）m，饲养室的宽是 （34 x）m，y（34 x）x x2+34x.故答案为：y x2+34x. 【分析】设饲养室的长为x（m），则饲养室的长用的材料是（x2）m，宽用的材料是（34 x）m，根据矩形面积=长宽，可得y=（34x）x，整理即可求得y与x的函数关系式.13若把函数y=x的图象用E(x，x)记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，则E(x，)图象上的最低点是 .【答案】（1，2）【解析】【解答】解：根据题意得：该函数为，当 时，有最小值，最小值为 ，即E(x， )图象上的最低
13、点是（1，2）.故答案为：（1，2）. 【分析】根据题意得：该函数为y=x2-2x+3，将其化为顶点式，据此可得最低点的坐标.14二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，虚线为其对称轴，有下列结论：abc0；b2-4ac0；4a+2b+c0；若点（-2，y1），（15，y2）均在抛物线上，则y1y2.其中正确的有 个.【答案】1【解析】【解答】由图可知，图象开口向下，所以a0，又因为对称轴x=-0，所以b0，所以错误；由图可知，二次函数图象与x轴有两个交点，所以b-4ac0，错误；当x=2时，y=4a+2b+c，由图象可知此时y0,所以正确；由图可知，二次函数对称轴x，所以错误。故其中正确
14、的结论有1个。 【分析】本题考查二次函数图象的性质，注意结合图形进行分析。15如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是 .【答案】-1【解析】【解答】解：由图象可知，抛物线经过原点（0，0），所以a2-1=0，解得a=1，图象开口向下，a0，a=-1. 故答案为：-1. 【分析】由图象可知：抛物线经过原点（0，0），代入y=ax2-3x+a2-1中可得a的值，然后结合图象开口方向即可确定出a的值.16若二次函数 的图象经过点 ，则 的值为 . 【答案】10【解析】【解答】解：二次函数 的图象经过点 ， ，故答案为：10.【分析】将点P的坐标代入函数解析式，可得到关于a的方程，解方程求出a的
15、值.三、计算题17求不等式x26x160的解集【答案】解：设抛物线开口向下，顶点坐标为（-3，25）令y=0，则抛物线与x轴的交点坐标为（-8，0），（2，0），函数图象如图所示，x轴上方的部分表示x26x160x26x160的解集为【解析】【分析】设，先求出抛物线与x轴的交点坐标，再结合图象求出答案即可。18 （1）解方程：2x2+13x；（2）将二次函数 配方成ya（xh）2+k的形式 【答案】（1）解：2x23x+10， （2x1）（x1）0，解得：x1 ，x21；（2）解： ， ， 【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）将二次函数的一般式配方求解即可。四、综合题19如图
16、，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，且，同时交反比例函数在第一象限的图象于点，反比例函数图象上的点P的纵坐标，轴交直线AB于点Q，D是x轴上任意一点，连接PD，QD（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求PDQ面积的最大值【答案】（1）解：，A（4，0），把A（4，0），代入一次函数，得：解得：，一次函数的关系式为：；把代入，得：，解得：，把代入反比例函数，得，反比例函数的表达式为：（2）解：反比例函数图象上的点P的纵坐标，P（，），轴交直线AB于点Q，Q（，），当时，取最大值，最大值为，PDQ面积的最大值为【解析】【分析】（1）先求出A（-4,0），利用待
17、定系数法求出一次函数的关系式为，把C（a,5）代入解析式中求出a值即得点C坐标，再将点C坐标代入中求出m值即可；（2）由点P在反比例函数图象上，可得P（，） ，由于PQx轴可得Q（，） 从而求出 ，继而得出 ，根据二次函数的性质即可求解.202022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自
18、变量x的取值范围；（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？（3）该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围【答案】（1）y=10x+740（44x52）（2）解：根据题意得：w=（10x+740）（x-40）=10x2+1140x-29600=10（x-57）2+2890，100， 当x57时，w随x的增大而增大， 44x52， 当x=52时，w有最大值，最大值为2640， 将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是264
19、0元（3）解：由题意可得：-10（x-57）2+2890-200=2200，解得：x1=64，x2=50，44x52，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x的范围是50x52【解析】【解答】(1)根据题意得：y=300-10（x-44）=10x+740，y与x之间的函数关系式为y=10x+740（44x52）；【分析】（1）根据题意写出函数关系式和自变量取值范围（2）根据利润=销售量（销售价-进价），代入（1）中的销售量，根据函数的性质求得最大利润和销售单价（3）利用（2）中利润的函数，根据题意求出单价取值范围。21某商贸公司购进某种商品的成本为20元/千克，经过市场调研发现，
20、这种商品在未来40天的销售单价y（元/千克）与时间（天）之间的函数关系式为：y= ，且为整数，且日销量m（千克）与时间（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表： 时间x（天）13610日销量m（千克）142138132124（1）求m与的函数关系式；（2）当120时，最大日销售利润是多少？（3）求：在未来40天中，有多少天销售利润不低于1550元？【答案】（1）解：设m=kx+b，将（1，142）和（3，138）分别代入， 得 ，解得 m=-2x+14（2）解：120， y=0.25x+30，w=m（y-20）=（-2x+144）（0.25x+30-20）= （x-16）2+1568，当x
21、=16时，w最大，最大为1568，当120时，最大日销售利润是1568元.（3）解：120时，由（2）知W= （x-16）2+1568， 令W=1550，得1550=- （x-16）2+1568，解得x1=10，x2=22. 0，对称轴为直线x=16，10x20，共11天；当20x40时，W=m（y-20）=-30x+2160，令W=1550，得1550=-30x+2160，解得x= .-300，20x ，无整数解，即0天，综上所述，在未来40天中，有11天销售利润不低于1550元.【解析】【分析】（1）由表中知一次函数通过点（1，142）和（3，138），设一次函数关系式为m=kx+b，将点
22、代入解析式，列出方程组解得k和b，即可求出m与x的函数关系式； （2）根据总利润=销量一件产品利润，可列出现关系式为W=（-2x+144）（0.25x+30-20），整理得W= （x-16）2+1568，由 0，当120时，代入x=16，即可求出W的最大值； （3）分两种情况讨论：120时，由（2）知W=（x-16）2+1568，令W=1550，即1550=（x-16）2+1568，解得x=10或x=22，再由0，对称轴x=16，根据二次函数增减性可得当W1550时，1020，共11天；20x40时，w=（-2x+144）（35-20）=-30x+2160，再令W=1550，即1550=-30x+2160，解得x=，再由-300，根据一次函数增减性可得当W1550时， 20x，无整数解，即0天. 据此分析即可求出在未来40天中，销售利润不低于1550元的天数.
