1、1谢谢观赏2019-5-112一、一、单项选择题单项选择题（）（）设设为一数列，且存在一收敛子列为一数列，且存在一收敛子列这时下面正确的是这时下面正确的是D；可能收敛，但可能收敛，但A不一定成立；不一定成立；必定不收敛；必定不收敛；当预先假设了当预先假设了收敛时，才有收敛时，才有成立成立jnjnnaa limlimnanananajna谢谢观赏2019-5-113理由理由收敛的充要条件为：收敛的充要条件为：的所有的所有子列子列都收敛，此时才有都收敛，此时才有成立；而当只有一个成立；而当只有一个子列收敛时，原数列不一定收敛子列收敛时，原数列不一定收敛 思考题思考题 当假设当假设为一特殊的数列（例
2、如为一特殊的数列（例如单调数列）时，结论将有何改变？单调数列）时，结论将有何改变？nananajna谢谢观赏2019-5-114（）（），它等价，它等价于于B当当；在在中除有限个项以外，其余所有中除有限个项以外，其余所有的项都落在邻域的项都落在邻域之内；之内；都收敛；都收敛；中有无穷多个子列都收敛于中有无穷多个子列都收敛于aannlim,0,0N| ,aaNnn时,0na);(aU kkaa212,ana谢谢观赏2019-5-115理由理由与与的定义显然是等的定义显然是等价的；它也可说成是：价的；它也可说成是：“在邻域外，在邻域外，至多只有有限个项至多只有有限个项”再有再有,因因中未假设中未假
3、设的极限相等；的极限相等；而而中所说的中所说的“无穷多个子列无穷多个子列”并不等同于并不等同于“所有子所有子列列”，所以这些都是错误的所以这些都是错误的aannlimN,0);(aUnakkaa212与谢谢观赏2019-5-116（）（）设设在在R上为一连续函数这时下面正确上为一连续函数这时下面正确的的是是A当当为闭区间时，必为闭区间；为闭区间时，必为闭区间；当为闭区间时，必为闭区间；当为闭区间时，必为闭区间；当当为开区间时，必为开区间；为开区间时，必为开区间；以上以上、都不一定成立都不一定成立)(xfI)( If)( IfII)( If谢谢观赏2019-5-117理由理由依据连续函数在闭区间
4、上的最大（小）值依据连续函数在闭区间上的最大（小）值定理与介值性定理，可知定理与介值性定理，可知A是正确的容易举出反例是正确的容易举出反例,说明说明B与与C都是错的，例如：都是错的，例如： 思考题思考题当把当把与与中的所有中的所有 “ “闭区间闭区间” ” 改改为为 “开区间开区间” ” 时，结论又将如何？时，结论又将如何？1,1)(,sin)(, ),(IfxxfIx谢谢观赏2019-5-118（）（）设设为一正项级数这时下面错误的为一正项级数这时下面错误的是是C若若收敛，则收敛，则；若若，则，则收敛收敛；C若若收敛，则收敛，则；以上以上、中必有一个是错的中必有一个是错的1nnu0limnn
5、u1lim1nnnuu1nnu1nnu1nnu1lim1nnnuu谢谢观赏2019-5-119理由理由因为因为是正项级数是正项级数收敛收敛的一个充分条件（不是必要条件）；而的一个充分条件（不是必要条件）；而是一般级数收敛的一个必要条件（不是充分是一般级数收敛的一个必要条件（不是充分条件），所以错误的结论只有条件），所以错误的结论只有C1lim1nnnuu1nnu0limnnu1nnu谢谢观赏2019-5-1110二、计算题二、计算题（）（）试求下列极限：试求下列极限： 解解 = = nnnn3242lim434lim)3(2)22(limnnnnnnnnnnnn3242lim谢谢观赏2019-
6、5-1111求求解解利用性质利用性质（其中（其中为为连续函数），借助洛必达法则，有连续函数），借助洛必达法则，有20limxtxx0td1)-e(f21limlimlim00202e21-ed1)-e(0txxxxxxxxt)()(xftdtfxxadd谢谢观赏2019-5-1112（）（）设设试求试求解解一般地，对于向量函数一般地，对于向量函数，其导数为一其导数为一22矩阵，即矩阵，即22201)(,31,yxyxufuyxu2ln)()(0ufuf与),()(,yxhxgufyxu)y,(谢谢观赏2019-5-1113据此求得据此求得),(),()(yxhyxhxgxgufyxyx)y,(
7、)y,(503501103101)(,)(2)(2)(02222222222ufyxyyxxyxyyxxuf谢谢观赏2019-5-1114（）（）试求由曲线试求由曲线，直线，直线，以及以及轴所围曲边梯形的面积轴所围曲边梯形的面积解解由定积分的几何意义，如图所示的曲边由定积分的几何意义，如图所示的曲边梯形其面积为梯形其面积为xy2e0,2xxxS.)121202142022e(edexxxSS2xOxy2ey谢谢观赏2019-5-1115（）（）用条件极值方法（用条件极值方法（Lagrange乘数法），求内乘数法），求内接于圆接于圆的等腰三角形的最大面积的等腰三角形的最大面积解解如图所示，这个等
8、腰三角形的顶点坐标为如图所示，这个等腰三角形的顶点坐标为，底边一端为，底边一端为于是，三角形的面积于是，三角形的面积，其中满足条件其中满足条件yx),(yxOaa222ayx),0(a)(yaxS),(yx222ayx),(yx)0(x设谢谢观赏2019-5-11160222ayay)()(222ayxyaxL.0,02,02222ayxLyxLxyaLyxx,2,aay依据依据Lagrange乘数法，设乘数法，设，且令且令通过消去通过消去，容易得到方程，容易得到方程，由此解，由此解出出谢谢观赏2019-5-1117显然不合要求（三角形退缩为一点）；而当显然不合要求（三角形退缩为一点）；而当时
9、，这时所求三角形的面积为最大：时，这时所求三角形的面积为最大：注注用用代入代入,将得到一个不等式将得到一个不等式思考题思考题当把题中的圆改为椭圆当把题中的圆改为椭圆时，得时，得出的结果将会怎样？请大家自己去算一算出的结果将会怎样？请大家自己去算一算ay2ay ax232max433aS12222byaxmaxSS 222yxa2222433yxyyxx谢谢观赏2019-5-1118三、证明题三、证明题（）（）证明：方程证明：方程必有正根，必有正根，其中其中为任意正数为任意正数证证证明需要用到连续函数的介值性定理，证明需要用到连续函数的介值性定理，即若即若上为一连续函数，上为一连续函数，则则内必
10、能取得内必能取得之间的之间的一切值一切值cxxx57,)(baxf在)()(bfaf),()(baxf在)()(bfaf与c谢谢观赏2019-5-1119设设，显然它在上连续，显然它在上连续因因，故由无穷大，故由无穷大量的定义，对于任意的量的定义，对于任意的，使得，使得，现取现取，于是有，于是有根据介值性定理，必定根据介值性定理，必定，满足，满足xxxxf57)(),()111(lim)(lim627xxxxfxx0c时Xx 1 Xb)()0(0bfcf),0(0bx cxxxcxf050700,)(即0 Xcxf)(谢谢观赏2019-5-1120（）（）证明：若证明：若，收敛，则收敛，则亦亦
11、收敛收敛证证由于由于收敛，因此收敛，因此，于是当，于是当足够大时，足够大时，从而又有，从而又有依据依据正项级数的比较判别法，推知正项级数的比较判别法，推知收敛收敛0na1nna0limnnan10nannaa2012nna1nna12nna谢谢观赏2019-5-1121注注也可利用比较判别法的极限形式，由也可利用比较判别法的极限形式，由，同样证得同样证得收敛收敛注注当当为一般项级数时，不能直接使为一般项级数时，不能直接使用比较判别法事实上，上述命题一般不成立，例如：用比较判别法事实上，上述命题一般不成立，例如：为收敛，而为收敛，而却为发散却为发散0limlim2nnnnnaaa12nna1nna1)1(nnn1121)1(nnnnn谢谢观赏2019-5-1122谢谢观赏2019-5-11
