1、湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer既是空间的函数有是时间的函数既是空间的函数有是时间的函数3-1 3-1 非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念物体的温度随时间而变化的导热过程物体的温度随时间而变化的导热过程),(zyxft 湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer工程上几种典型的非稳态导热过程温度变化工程上几种典型的非稳态导热过程温度变化率的数量级，在该图坐标的高端，即极高速率的数量级，在该图坐标的高端，即极高速非稳态导热区域（例如短脉冲高强度激光处非稳态导热区域（例如短脉冲高强度激光
2、处理）应当考虑非理）应当考虑非fourierfourier导热的影响导热的影响湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer非周期性非稳态导热：物体的温度随时间不断地升非周期性非稳态导热：物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度。长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度。一、非稳态导热的分类一、非稳态导热的分类非周期性非周期性周期性周期性非稳态导热非稳态导热湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Trans
3、fer二、特点二、特点 导热体的内能随时间发生变化，导热体要储存或导热体的内能随时间发生变化，导热体要储存或释放能量。释放能量。 ),(zyxft 湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer
4、存在着有区别的两个不同阶段是这一类非周期存在着有区别的两个不同阶段是这一类非周期性非稳态导热问题与周期性非稳态导热问题的一个性非稳态导热问题与周期性非稳态导热问题的一个重要特点。重要特点。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer 周期性非稳态导热周期性非稳态导热在周期性非稳态导热问题中，在周期性非稳态导热问题中，一方面物体内部各处的温度按一方面物体内部各处的温度按照一
5、定的振幅随时间周期的波照一定的振幅随时间周期的波动；另一方面，同一时刻物体动；另一方面，同一时刻物体内的温度分布也是周期性波动内的温度分布也是周期性波动的。的。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Tra
6、nsfer3-2 3-2 无限大平壁的瞬态导热无限大平壁的瞬态导热 当所遇到的非稳态导热问题毕渥数大于当所遇到的非稳态导热问题毕渥数大于0.10.1，或，或者研究目的就是要确定物体内部温度的差异，此时，者研究目的就是要确定物体内部温度的差异，此时，就不能将问题简化为集总体来处理了。就不能将问题简化为集总体来处理了。 这时，可以采用如第二章对一维稳态导热的分这时，可以采用如第二章对一维稳态导热的分析解法，或者采用后面第四章要介绍的数值解法。析解法，或者采用后面第四章要介绍的数值解法。 本节主要介绍一维非稳态导热分析解的结果，本节主要介绍一维非稳态导热分析解的结果，及由解的结果给出的实际计算方法。
7、及由解的结果给出的实际计算方法。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer一、无限大平板的分析解一、无限大平板的分析解 厚度厚度 2 的无限大平壁，的无限大平壁， 、a为已知常数，为已知常数， =0时温时温度为度为 t0， 突然将其放置于侧突然将其放置于侧介质温度为介质温度为 t 并保持不变的并保持不变的流体中，两侧表面与介质之流体中，两侧表面与介质之间的表面传热系数为间的表面传热系数为h。 1. 物理问题描述物理问题描述2h, th, t湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer2、数学描述、数学
8、描述 由于平板对称，因此只取平板的一半进行研究，由于平板对称，因此只取平板的一半进行研究，以平板的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示。以平板的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示。22xtat , 00tt 0 , 0 xtx)(- , tthxtx湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer过余温度 ),(txt22xa00 , 0 -tt0 , 0 xxxhxx- ,为了求解上的方便，引入过余温度为了求解上的方便，引入过余温度湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer傅里叶数傅里叶数无量纲时间无量纲
9、时间2FoahBix无量纲距离无量纲距离) ,Fo Bi,(),( 0 xfx 解的结果是级数求和的形式解的结果是级数求和的形式公式（公式（3-213-21），），将结果可以整理成如下无量纲量表达的形式。将结果可以整理成如下无量纲量表达的形式。毕渥数毕渥数表示内部导热热阻与表表示内部导热热阻与表面对流换热热阻相对大小面对流换热热阻相对大小3.3.解的结果解的结果)cos()sin()cos()sin(2),(1)(022nnnnnnaxexn湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer22aFoa1hBih 0( , )(,)xf Fo Bi X湖
10、南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer12n、 、 、cotBi1coty2yBi12n、 、1321yy2y32湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer 计算表明，当傅里叶数计算表明，当傅里叶数Fo 0.2后，对于公式后，对于公式（3-9），只取级数的第一项计算和完整计算误差），只取级数的第一项计算和完整计算误差很小。并且平板中任一点的过余温度与平板中心的很小。并且平板中任一点的过余温度与平板中心的过余温度之比只与几何位置和边界条件有关，而与过余温度之比只与几何位置和边界条件有关，而与时间无关
11、。这表明，初始条件的影响已消失，通常时间无关。这表明，初始条件的影响已消失，通常将这一阶段定义为非稳态导热过程的将这一阶段定义为非稳态导热过程的正规状况阶段正规状况阶段。Fo0.2则则是瞬态温度变化的是瞬态温度变化的初始阶段或非正规状况初始阶段或非正规状况阶段阶段。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer 对于无限大平板按如下公式和图对于无限大平板按如下公式和图3-63-6、3-73-7和和3-83-8计算。计算。1.1.采用近似拟合公式采用近似拟合公式2.2.采用海斯勒图等计算图线采用海斯勒图等计算图线m 平板中心的过余温度平板中心的过余温度
12、)Fo Bi,( ) Bi,( )()(),(),(00fxfxxmm21110111,2sincossincosFoxxe湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer)Fo Bi,( )( ;)()(),(),(000fxxmmm湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer) Bi,( )(),( ;)()(),(),(00 xfxxxmmm湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer因为因为 ，所以将式，所以将式3-103-10左、右两边取对数，可左、右
13、两边取对数，可得得2aFo1011112sinlnlncossincosxm m为一与时间、地点无关的常数，只为一与时间、地点无关的常数，只取决于第三类边界条件、平壁的物性取决于第三类边界条件、平壁的物性与几何尺寸。与几何尺寸。212am式右边的第二项只与式右边的第二项只与Bi、x/ 有关，与时间有关，与时间 无关。无关。 上式可改写为上式可改写为ln,mC Bi x 湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer该式说明，当该式说明，当Fo0.2时时，即，即 时，平时，平壁内所有各点过余温度的对数都随时间线性变化，并壁内所有各点过余温度的对数都随时
14、间线性变化，并且变化曲线的斜率都相等，且变化曲线的斜率都相等，这一温度变化阶段称为非这一温度变化阶段称为非稳态导热的稳态导热的正规状况阶段正规状况阶段 。 20.2a上式两边求导，可得上式两边求导，可得m的物理意义是过余温度对时间的物理意义是过余温度对时间的相对变化率，单位是的相对变化率，单位是1/1/s，称称为冷却率（或加热率）。为冷却率（或加热率）。 上式说明，当上式说明，当Fo 0.2，进入正规状况阶段后，所进入正规状况阶段后，所有各点的冷却率都相同，且不随时间而变化，其大小有各点的冷却率都相同，且不随时间而变化，其大小取决于物体的物性、几何形状与尺寸及表面传热系数。取决于物体的物性、几
15、何形状与尺寸及表面传热系数。 2121am 湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transferhh1Bi毕渥准则数毕渥准则数物体表面对流换热热阻物体内部导热热阻hBi(1) 当当 Bi 时，意味着表面传时，意味着表面传热系数热系数 h （Bi=h / ），），对流换热热阻趋于对流换热热阻趋于0。平壁的表。平壁的表面温度几乎从冷却过程一开始，面温度几乎从冷却过程一开始，就立刻降到
16、流体温度就立刻降到流体温度 t 。式中式中为特征尺度为特征尺度湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer(2) 当当Bi0时，意味着物体的导时，意味着物体的导热系数很大、导热热阻热系数很大、导热热阻 0（Bi=h / ）。任何时间物体内）。任何时间物体内的温度分布都趋于均匀一致。的温度分布都趋于均匀一致。(3) 当当0Bit。物。物性参数为常量。性参数为常量。物理问题描述物理问题描述体积为体积为V表面积为表面积为A物性物性r r, , , , c初始温度初始温度t0流体温度流体温度t表面换热系数表面换热系数h湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学
17、Heat TransferHeat Transfer能量守恒方程式能量守恒方程式rdd-)(tVctthA过余温度令： tt方程式可改写为方程式可改写为rddVchA分离变量得分离变量得rdd1VchA湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transferr0dd10VchArVchAetttt00对对 从从0到任意时刻到任意时刻 积分积分VVFoBiAVaAVhVchA2)/()/(r上式中右端的指数可作如下变化上式中右端的指数可作如下变化湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer称为傅立叶数称为傅立叶数导热
18、体在时间导热体在时间 0 内传给流体的总热量：内传给流体的总热量： J )1 ()(d )(0000rrrVchAeVcttVcQ2laFo式中式中BiV V是特征尺度是特征尺度l用用V/AV/A表示的毕渥数。表示的毕渥数。2)/(AVaFoV同样同样FoV V是特征尺度是特征尺度l用用V/AV/A表示的傅里叶数。表示的傅里叶数。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer三、符合集总体的判别条件三、符合集总体的判别条件 MAVhBiV1 . 0)/(对于厚为对于厚为2的平板：的平板： M=1AV /RAV21/半径为半径为R的圆柱：的圆柱： M=
19、1/2RAV31/半径为半径为R的球：的球： M=1/32RR湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer 如果导热体的热容量（如果导热体的热容量（ r rVc ）小、换热条件好）小、换热条件好（hA大），那么时间常数大），那么时间常数 ( r rVc / hA) 小，导热体的小，导热体的温度变化快。温度变化快。时间常数 hAVcr四、时间常数四、时间常数流体流体热电偶接点热电偶接点管道管道湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer 对于测温的热电偶接点，时间常数越小、说明对于测温的热电偶接点，时间常
20、数越小、说明热电偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术热电偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的。所需要的。热惰性级别热惰性级别时间常数时间常数( (秒秒) )90-18090-18030-9030-9010-3010-301010热电偶时间常数热电偶时间常数湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer第三节第三节 半无限大物体的瞬态导热半无限大物体的瞬态导热一、半无限大物体定义一、半无限大物体定义 半无限大物体是非稳态导热半无限大物体是非稳态导热的特有概念。所谓半无限大物的特有概念。所谓半无限大物体，几何上是指如图所示的那体，几何上是
21、指如图所示的那样的物体，其特点是从样的物体，其特点是从x=0的的界面开始可以向界面开始可以向x正的方向及正的方向及其它两个坐标其它两个坐标(y,z)方向无限延方向无限延伸。伸。0 x湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer二、物理问题和数学描述二、物理问题和数学描述 一个半无限大物体一个半无限大物体, 初始温度均匀为初始温度均匀为t0 ，在，在 =0 时刻，在时刻，在x=0的一的一 侧表面温度突然升高到侧表面温度突然升高到tw ，并保，并保持不变，现在要确
22、定物体内部温度随时间的变化。持不变，现在要确定物体内部温度随时间的变化。 0022),(), 0(0) 0 ,(0txtxttxtxtxtaxtw0, 022xa0, 0, 0 x0, 0,xwtt 湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer三、解的结果三、解的结果 erfaxerfttttww)4(00ax2 erf式中式中: :称为误差函数称为误差函数 , ,查图查图或误差函数数值表。或误差函数数值表。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat Tr
23、ansferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer第四节第四节 其他形状物体的瞬态导热其他形状物体的瞬态导热无限长圆柱体、球体无限长圆柱体、球体 根据第二节所述的方法，亦可求得温度根据第二节所述的方法，亦可求得温度分布的解析解：分布的解析解：) ,Fo Bi,(),( 0 xfx应当注意，应当注意，BiBi和和FoFo准则中的定型尺寸，对于准则中的定型尺寸，对于无限长圆柱体和球体采用半径无限长圆柱体和球体采用半径R R。湖南城市
24、学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer无限长直角柱体、有限长圆柱体和六面体无限长直角柱体、有限长圆柱体和六面体 在二维和三维非稳态导热问题中，几种典型几何在二维和三维非稳态导热问题中，几种典型几何形状物体的非稳态导热问题可以利用一维非稳态导形状物体的非稳态导热问题可以利用一维非稳态导热分析解的组合求得。热分析解的组合求得。无限长方柱体无限长方柱体、短圆柱体短圆柱体及及短方柱体短方柱体就是这类典型几何形状的例子。就是这类典型几何形状的例子。 湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer 在多维导热问题中，几
25、种简单几何形状物在多维导热问题中，几种简单几何形状物体的非稳态导热问题的分析解，可以用几体的非稳态导热问题的分析解，可以用几个相应的一维非稳态导热问题的分析解相个相应的一维非稳态导热问题的分析解相乘得出乘得出乘积解法乘积解法。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer 矩形截面的矩形截面的无限长方柱体无限长方柱体是由两个无限大平壁是由两个无限大平壁垂直相交而成；垂直相交而成；短圆柱短圆柱是由一个无限长圆柱和一个是由一个无限长圆柱和一个无限大平壁垂直相交而成无限大平壁垂直相交而成 ；短方柱体短方柱体（或称垂直六（或称垂直六面体）是由三个无限大平壁垂
26、直相交而成；面体）是由三个无限大平壁垂直相交而成；湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer对于短圆柱体对于短圆柱体 对于无限长方柱体对于无限长方柱体对于短方柱体对于短方柱体000, y, x, y, x000, r, x, r , x0000, z, y, x, z , y, x湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer乘积解法的适用条件乘积解法的适用条件 物体初始温度均匀；物体初始温度均匀； 周围介质温度均匀；周围介质温度均匀； 表面传热系数均匀；表面传热系数均匀； 常物性、没有内热源。常物性、
27、没有内热源。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer第五节第五节 周期性非稳态导热周期性非稳态导热一、周期性非稳态导热现象一、周期性非稳态导热现象如图：某工地屋顶在夏季太阳辐射和室外气温综合如图：某工地屋顶在夏季太阳辐射和室外气温综合作用下，内外表面温度变化的实测资料。作用下，内外表面温度变化的实测资料。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer周期性变化边界条件下引起的非稳态导热。周期性变化边界条件下引起的非稳态导热。 很多情况下边界条件周期性变化可以用简谐波来很多情况下边界条件周期性变化可以用
28、简谐波来描述，如：描述，如：ww,mww,mw2coscosttATtAtwtw,mAfT 周期性变化边界条件导致物体内各处的温度和热周期性变化边界条件导致物体内各处的温度和热流也随时间发生相应的周期性变化。流也随时间发生相应的周期性变化。 T周期周期; ; =2/T角频率；角频率；Aw表面温度的波幅。表面温度的波幅。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer1. 1. 第一类边界条件数学模型与分析结果第一类边界条件数学模型与分析结果：22ttaxww,mw0,cosxtttAw,mtt 22axwww,mw0,cosxttA湖南城市学院湖南城市
29、学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer58w( , )expcosxAxxaTaT 2. 温度场的变化特点：温度场的变化特点： （2 2）温度波的波幅随着离表）温度波的波幅随着离表面距离的加大逐步衰减；面距离的加大逐步衰减； wexpxAAxaT （1 1）物体内任意一点的温度）物体内任意一点的温度都按表面温度波的频率波动；都按表面温度波的频率波动；湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer（3 3）温度波的延迟。）温度波的延迟。w( , )expcosxAxxaTaT由上式可以看到，任何深度由上式可以看到，任何深
30、度x x处温度达到最大值的处温度达到最大值的时间落后一个相位，延迟时间用时间落后一个相位，延迟时间用 表示表示1=22xTaTxaT相位角/角速度湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer（4 4）半无限大物体表面和不同深度）半无限大物体表面和不同深度x x处的温度随时处的温度随时间是按照一定周期的简谐波变化。间是按照一定周期的简谐波变化。波长波长 和振幅不断衰减的温度波向半无和振幅不断衰减的温度波向半无限大物体深度方向的传播，这就是温度波的传播特限大物体深度方向的传播，这就是温度波的传播特性。性。02xaT湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学
31、Heat TransferHeat Transferf,mtt22ax0,x fw0()xhx 给定的是物体表面外周期性变化的介质温度，对给定的是物体表面外周期性变化的介质温度，对流换热表面传热系数为流换热表面传热系数为h。 介质的温度为介质的温度为fcosfA第三类边界条件数学模型与分析结果第三类边界条件数学模型与分析结果：fw00,()xtxh ttx 22ttax数学模型：数学模型：湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer1arctan 1haTf( , )expcos22xAxx aawf/AA21122haThaT湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer一、周期性变化的热流量一、周期性变化的热流量根据傅里叶定律：根据傅里叶定律：物体的表面热流密度：物体的表面热流密度： ,w122coscossinsin44cos4wwqxAaTTT w,w22cos4qAaTT热流波与温度波相比，周期相同、衰减规律相同、相热流波与温度波相比，周期相同、衰减规律相同、相位提前位提前/4，相当于提前了，相当于提前了1/8个周期个周期.
