1、第一章第一章 结构动力学概论结构动力学概论 结构动力学是结构力学的一个分支，着重研究结结构动力学是结构力学的一个分支，着重研究结构对于动荷载的响应（如位移、应力等的时间历程），构对于动荷载的响应（如位移、应力等的时间历程），以便确定结构的承载能力和动力学特性，或为改善结以便确定结构的承载能力和动力学特性，或为改善结构的性能提供依据。构的性能提供依据。动荷载的特性动荷载的特性结构的动力特性结构的动力特性结构响应分析结构响应分析输入输入input输出输出Output结构体系结构体系静力响应静力响应静荷载静荷载位移位移内力内力应力应力刚度、约束刚度、约束杆件尺寸杆件尺寸截面特性截面特性大小大小方向方
2、向作用点作用点结构体系结构体系动力响应动力响应输入输入input输出输出Output动荷载动荷载动位移动位移加速度加速度速度速度动应力动应力动力系数动力系数随时间变化随时间变化质量、刚度质量、刚度阻尼、约束阻尼、约束频率、振型频率、振型大小大小方向方向作用点作用点时间变化时间变化数值数值时间函数时间函数结构动力体系结构动力体系1 1 动荷载的定义和分类动荷载的定义和分类荷载：荷载：荷载三要素：荷载三要素：荷载分类：荷载分类：作用在结构上的主动力作用在结构上的主动力大小、方向和作用点大小、方向和作用点作用时间：作用时间：作用位置：作用位置：对结构产生的动力效应：对结构产生的动力效应：恒载恒载 活
3、载活载固定荷载固定荷载 移动荷载移动荷载静荷载静荷载 动荷载动荷载 大小、方向和作用点不随时间变大小、方向和作用点不随时间变化或变化化或变化很缓慢很缓慢的荷载。的荷载。静荷载：静荷载：动荷载：动荷载： 大小、方向大小、方向或或作用点随时间变化作用点随时间变化很快很快的荷载。的荷载。是否会使结构产生是否会使结构产生显著显著的加速度的加速度快慢快慢标准：标准：质量运动加速度所引起的惯性力质量运动加速度所引起的惯性力与荷载相比是否可以忽略与荷载相比是否可以忽略显著显著标准：标准：动荷载的定义动荷载的定义荷载在大小、方向或作用点方面随时荷载在大小、方向或作用点方面随时间变化，使得质量运动加速度所引起间
4、变化，使得质量运动加速度所引起的惯性力与荷载相比大到不可忽略时，的惯性力与荷载相比大到不可忽略时，则把这种荷载称为动荷载。则把这种荷载称为动荷载。你知道有哪些动荷载？你知道有哪些动荷载？动荷载的分类：动荷载的分类：概念：概念：动荷载是时间的函数！动荷载是时间的函数！分类：分类：动荷载动荷载确定性荷载确定性荷载非确定性荷载非确定性荷载周周 期期 性性 荷荷 载载非周期性荷载非周期性荷载 FPt突加荷载突加荷载 FPt冲击荷载冲击荷载确定性荷载确定性荷载：例如：例如： 简谐荷载简谐荷载 FPt 荷载的变化是时间的确定性函数。荷载的变化是时间的确定性函数。非确定性荷载非确定性荷载：例如：例如：风荷载
5、风荷载地震作用地震作用0501001502002503000510152025t(sec)Wind speed (m/s)平均风平均风脉动风脉动风-2000200400t(sec)01020304050515253545Acceleration (cm/s )2荷载随时间的变化是不确定的或不确知的，荷载随时间的变化是不确定的或不确知的，又称为随机荷载。又称为随机荷载。结构在确定性荷载作用下的响应分析通结构在确定性荷载作用下的响应分析通常称为常称为结构振动分析。结构振动分析。结构在随机荷载作用下的响应分析，结构在随机荷载作用下的响应分析，被称为结构的被称为结构的随机振动分析随机振动分析。本课程主
6、要学习本课程主要学习确定性荷载作用下确定性荷载作用下的的结结构振动分析构振动分析。与结构静力学相比，动力学的复杂性表现在：与结构静力学相比，动力学的复杂性表现在：2 动力问题的基本特性动力问题的基本特性P P (t) 动力问题具有随时间而变化的性质；动力问题具有随时间而变化的性质；数学解答不是单一的数值，而是时间的函数；数学解答不是单一的数值，而是时间的函数；惯性力是结构内部弹性力所平衡的全部荷载的一个重要部惯性力是结构内部弹性力所平衡的全部荷载的一个重要部分！分！引入惯性力后涉及到二阶微分方程的求解；引入惯性力后涉及到二阶微分方程的求解；需考虑结构本身的动力特性：需考虑结构本身的动力特性：刚
7、度分布、质量分布、阻尼刚度分布、质量分布、阻尼特性分布的影响特性分布的影响；ty确定全部质量的位置，所需独立几何参数的个数。 动力自由度：动力自由度：这是因为：惯性力取决于质量分布及其运动方向。mE、A、I、 R体系振动自由度为？无限自由度(忽略 )m三个自由度忽略轴向变形忽略转动惯量自由度为？单自由度m0,0mEAR例：简支梁：m3 3 弹性系统的动力自由度弹性系统的动力自由度1. 集中质量法集中质量法把结构的分布质量按一定的规则集中到结构的某个或某些把结构的分布质量按一定的规则集中到结构的某个或某些位置上，成为一系列离散的质点或质量块位置上，成为一系列离散的质点或质量块 。 适用于大部分质
8、量适用于大部分质量集中在若干离散点集中在若干离散点上的结构。上的结构。 例如：房屋结构一例如：房屋结构一般简化为层间剪切般简化为层间剪切模型。模型。 1m2m3m 例如：例如：m11xm22xmkkxmNNxm1m2mkmNm适用于质量分布比较均适用于质量分布比较均匀，形状规则且边界条匀，形状规则且边界条件易于处理的结构。件易于处理的结构。例如：右图简支梁的变例如：右图简支梁的变形可以用三角函数的线形可以用三角函数的线性组合来表示。性组合来表示。2. 广义坐标法广义坐标法假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线可用一系列假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线可用一系列规定的位移曲线的和来表示
9、：规定的位移曲线的和来表示：lxnbxnnsin)( 1 lxbsin1lxb2sin2lxb3sin3)(x nkkkxtAtxy1)()(),(则组合系数则组合系数Ak(t)称为体系的称为体系的广义坐标广义坐标。定义定义假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线为假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线为 y(x,t)，可用，可用一系列位移函数一系列位移函数 的线性组合来表示：的线性组合来表示：)(xk lxnbxnnsin)( 1 广义坐标广义坐标位移函数位移函数广义坐标广义坐标表示相应位移函数的幅值，是随时间变化的函数。表示相应位移函数的幅值，是随时间变化的函数。广义坐标广义坐标确定后，
10、可由给定的位移函数确定结构振动的位移曲线。确定后，可由给定的位移函数确定结构振动的位移曲线。以以广义坐标广义坐标作为自由度，将无限自由度体系转化为有限个自由度。作为自由度，将无限自由度体系转化为有限个自由度。所采用的所采用的广义坐标数广义坐标数代表了所考虑的代表了所考虑的自由度数自由度数。3. 有限单元法有限单元法 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；先把结构划分成适当（任意）数量的单元； 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作为广义坐标；为广义坐标； 对每个广义坐标取相应的位移函数对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；（插值
11、函数）； 由此提供了一种有效的、标准由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标化的、用一系列离散坐标表示无限自由度的结构体系。表示无限自由度的结构体系。要点：要点： 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。 对分布质量的实际结构，体系的自由度数为单元节点可发生的对分布质量的实际结构，体系的自由度数为单元节点可发生的独立位移未知量的总个数。独立位移未知量的总个数。 综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点，是最灵活有效的综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点，是最灵活有效的离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适离散化方法，它提
12、供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法。合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法。 已有不少专用的或通用的程序（如已有不少专用的或通用的程序（如SAP，ANSYS等）供结构分等）供结构分析之用。包括静力、动力析之用。包括静力、动力 和稳定分析。和稳定分析。大型桥梁结构大型桥梁结构的有限元模型的有限元模型4 运动方程的建立运动方程的建立在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学方程，称为体系的运动微分方程，简称方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程运动方程。定义定义 运动方程的解揭示了体系在各自
13、由度方向的位移运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移随时间变化的规律。随时间变化的规律。 建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。 常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。建立体系运动方程的方法建立体系运动方程的方法 直接平衡法直接平衡法，又称，又称动静法动静法，将动力学问题转化为任一时刻，将动力学问题转化为任一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力惯性力作为附加的作为附加的虚拟力，并考虑虚拟力，并考虑阻尼力阻尼力、弹性力弹性力和作用在结构上的和作用在结构上的外荷载外荷载
14、，使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动方程。思路，直接写出运动方程。 虚功法虚功法: 根据虚功原理，即根据虚功原理，即作用在体系上的全部力在虚位移作用在体系上的全部力在虚位移上所做的虚功总和为零上所做的虚功总和为零的条件，导出以广义坐标表示的运的条件，导出以广义坐标表示的运动方程。动方程。 变分法变分法: 通过对表示能量关系的泛函的变分建立方程。根据通过对表示能量关系的泛函的变分建立方程。根据理论力学中的哈密顿原理或其等价形式的拉格朗日方程导理论力学中的哈密顿原理或其等价形式的拉格朗日方程导出以广义坐标表示的运动
15、方程。出以广义坐标表示的运动方程。kcm( )yt( )F t单自由度单自由度体系模型体系模型 质量块质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性，用来表示结构的质量和惯性特性 自由度只有一个：水平位移自由度只有一个：水平位移y(t) 无重弹簧，刚度为无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力，提供结构的弹性恢复力 无重阻尼器，阻尼系数无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结，表示结构的能量耗散，提供结构的阻尼力构的阻尼力 随时间变化的荷载随时间变化的荷载F(t)单自由度体系运动方程的建立（直接平衡法）单自由度体系运动方程的建立（直接平衡法）kcm( )yt( )F t( )yt建立计算模
16、型建立计算模型)(tFFFFSDI 取质点为隔离取质点为隔离体画平衡力系体画平衡力系建立平衡方程建立平衡方程IFDFSF)(tF直接平衡法直接平衡法，又称，又称动静法动静法，将动力学问题转化为任，将动力学问题转化为任一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件，用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动方程。方程。直接平衡法直接平衡法
17、根据所用平衡方程的不同，直接平衡法又分为根据所用平衡方程的不同，直接平衡法又分为刚度刚度法法和和柔度法柔度法。)(tFFFFSDI 平衡方程：平衡方程：ymFI ycFD kyFS 根据根据dAlembert原理：原理：等于弹簧刚度与位移的乘积：等于弹簧刚度与位移的乘积：阻尼力等于阻尼系数与速度的乘积：阻尼力等于阻尼系数与速度的乘积：由此得到体系的由此得到体系的运动方程运动方程：)(tFkyycym （2-3）惯性力：惯性力：弹性力：弹性力：阻尼力：阻尼力：( )yt( )F tSFDFIF刚度法刚度法: 取每一运动质量为隔离体，通过分析所受取每一运动质量为隔离体，通过分析所受的全部外力，建立
18、质量各自由度的瞬时力平衡方的全部外力，建立质量各自由度的瞬时力平衡方程，得到体系的程，得到体系的运动方程。运动方程。kcm( )yt( )F t( )ytIFDFSF)(tF)(tFFFFSDI 平衡方程：平衡方程：试用刚度法建立图示刚架的运动方程试用刚度法建立图示刚架的运动方程m 1EIEIEI2l1lPF(t) 解解 1） 确定自由度数确定自由度数: 横梁刚性，柱子无轴向变形。横梁刚性，柱子无轴向变形。)(ty)(tFPIFDF2SF1SF2） 确定自由度的位移参数。确定自由度的位移参数。3） 质量受力分析：取刚梁为隔离体，确定所受的所有外力！质量受力分析：取刚梁为隔离体，确定所受的所有外
19、力！4） 列动平衡方程：列动平衡方程：1个自由度。个自由度。021 SSDIPFFFFtF)()(tyymFI ycFD ylEIFS32212 其中各力的大小：其中各力的大小：位移法：柱子一端产生单位平移时的杆端剪力位移法：柱子一端产生单位平移时的杆端剪力等效粘滞阻尼力：等效粘滞阻尼力：212li柱端发生平移柱端发生平移 y 时产生的梁时产生的梁-柱间剪力：柱间剪力：ylEIFS31112 EIl1由此得到体系的由此得到体系的运动方程运动方程：)(tFylEIlEIycymP 32311212 惯性力：惯性力：021 SSDIPFFFFtF)(弹性力弹性力Fs=Fs1+Fs2：由此得到体系的
20、由此得到体系的运动方程运动方程：)(tFkyycymP 比较：比较：kcm( )yt( )F t)(tFkyycym （2-3）m 1EIEIEI2l1lPF(t)(ty)(tFylEIlEIycymP 32311212 ；k 为为（等效）刚度系数（等效）刚度系数。3231211212lEIlEIFFkSS 令：令：运动方程与运动方程与(2-3)的形式是一样的！的形式是一样的！柔度法柔度法以结构整体为研究对象，通过分析所受的全部外以结构整体为研究对象，通过分析所受的全部外力，利用结构静力分析中计算位移的方法，根据力，利用结构静力分析中计算位移的方法，根据位移协调条件建立体系的位移协调条件建立体
21、系的运动运动方程。方程。 例例 试用柔度法建立图示简支梁的运动方程试用柔度法建立图示简支梁的运动方程q t ( )mEIl 解解 1） 确定自由度数确定自由度数: 集中质量，仅竖向位移：集中质量，仅竖向位移：)(ty2） 确定自由度的位移参数：质量确定自由度的位移参数：质量 m 的位移：的位移：3） 体系受力分析：取梁整体为隔离体，确定所受的所有外力！体系受力分析：取梁整体为隔离体，确定所受的所有外力！1个自由度。个自由度。q t ( )DFIF4） 列位移方程：列位移方程：)(DIPFFy 改写成：改写成： PDIyFF 1)(ty)(tqEIlP38454 p为动荷载为动荷载 q(t) 引
22、起的质量沿引起的质量沿y方向的位移：方向的位移：其中：其中： 为自由度方向加单位力所引起的位移，即为自由度方向加单位力所引起的位移，即柔度柔度：EIl483 惯性力：惯性力：ymFI 阻尼力：阻尼力：ycFD PDIyFF 1由此得到体系的由此得到体系的运动方程运动方程：)(tqlyycym851 q t ( )位移方程：位移方程：)(ty比较：比较：kcm( )yt( )F tq t ( )mEIl)(tFyycymE 1 含义：含义：等效动荷载等效动荷载直接作用在质量自由度上产生的动位移与直接作用在质量自由度上产生的动位移与 实际动荷载产生的位移相等！实际动荷载产生的位移相等！)(tqly
23、ycym851 )(tFkyycym 令：令：)()(tqltFE85 FE(t) 定义为体系的定义为体系的等效动荷载等效动荷载或或等效干扰力等效干扰力。其通用表达式。其通用表达式 PEtF )(（2-3）已经知道柔度已经知道柔度 和刚度和刚度k 之间的关系为之间的关系为： 1 k结论结论：任何一个单自由度体系的运动方程都可以抽象成为一：任何一个单自由度体系的运动方程都可以抽象成为一 质量、弹簧、阻尼器体系的运动方程，一般形式为：质量、弹簧、阻尼器体系的运动方程，一般形式为：)(tFkyycymP 比较：比较：)(tFkyycymP 刚架：刚架：)(tFkyycym （2-3）基本质量弹簧体系
24、：基本质量弹簧体系：)(tFkyycymE 表达式成为表达式成为：简支梁：简支梁：5 广义单自由度体系：刚体集合广义单自由度体系：刚体集合刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性元件中）元件中）分布弹性（弹性变形在整个结构或某些分布弹性（弹性变形在整个结构或某些元件上连续形成）元件上连续形成）只要可假定只有单一形式的位移，使得只要可假定只有单一形式的位移，使得结构按照单自由度体系运动，就可以按结构按照单自由度体系运动，就可以按照单自由度体系进行分析。照单自由度体系进行分析。1） 确定自由度数确定自由度数: 1个自由度。个自由度。2） 体系受力分析。体系受力分析。aa
25、aaaa2fD1p1 = 8 p( )taABCDDEEFFGGBMI1a83fD2fS1fS2fI1fI2( )tZE2-1E2-1xaaaaaa2c2c1k1k2m2mp x,t( ) = p( )txa铰铰无重刚杆无重刚杆绞ABC)(43) (111tZkEEkfSaaaaaa2fD1p1 = 8 p( )taABCDDEEFFGGBMI1a83fD2fS1fS2fI1fI2( )tZ)(31) (212tZkGGkfS)(41) (111tZcDDdtdcfD)(22tZcfD)(2)(214)(2111tZmatZamtZmfI )(34)(12)4(4)(41M221tZmatZa
26、amtZaIoI )(3222tZmfI )(81tappW令体系产生虚位移：令体系产生虚位移：所有力在虚位移上产生的总虚功：所有力在虚位移上产生的总虚功：ZtaptZkktZcctZmmamaW)(316)(91169)(161)(943121212 aaaaaa2fD1p1 = 8 p( )taABCDDEEFFGGBMI1a83fD2fS1fS2fI1fI2( )tZZZfD411ZfI211ZaMI411ZfS431ZfD2ZfI322ZfS312ZP321)(316)(91169)(161)(943421212taptZkktZcctZmam )()()()(*tptZktZCtZm
27、 2*9434mamm广义质量：广义质量：21*161ccc广义阻尼：广义阻尼：21*91169kkk广义刚度：广义刚度：)(316)(*taptp广义荷载：广义荷载：简化形式：简化形式：0W令：令： ，有：，有：xaaaaaa2c2c1k1k2m2mp x,t( ) = p( )txa铰铰无重刚杆无重刚杆绞ABCaaaaaa2fD1p1 = 8 p( )taABCDDEEFFGGBMI1a83fD2fS1fS2fI1fI2( )tZNNaa4AC1Z3ZeeBN21eee虚位移：虚位移：ZaZ3ZaZ4ZaZ127轴向力所做虚功：轴向力所做虚功：eNWNZaNZ127ZaNZtaptZkkt
28、ZcctZmmamaW127)(316)(91169)(161)(943121212 ZaNZtaptZkktZcctZmmamaW127)(316)(91169)(161)(943121212 aNkkk1279116921*考虑轴向力的广义刚度：考虑轴向力的广义刚度：讨论：讨论： 轴向压力使广义刚度减小，轴向拉力使广义刚度增大，轴向压力使广义刚度减小，轴向拉力使广义刚度增大， 轴向力越大，广义刚度越小；轴向力越大，广义刚度越小； 广义刚度为零时：广义刚度为零时：01279116921aNkkcrakkNcr212142827xaaaaaa2c2c1k1k2m2mp x,t( ) = p(
29、)txa铰铰无无重重刚刚杆杆绞ABCN 刚体集合的各部件间有着复杂的关系，但因为约束条刚体集合的各部件间有着复杂的关系，但因为约束条件使得两个刚性杆只可能有一种位移形式：所以它是件使得两个刚性杆只可能有一种位移形式：所以它是一个真实的单自由度体系。一个真实的单自由度体系。 如果杆件可以发生弯曲变形，这时体系将具有无穷多如果杆件可以发生弯曲变形，这时体系将具有无穷多个自由度。个自由度。 如果由假定只能产生单一的变形形式如果由假定只能产生单一的变形形式包括有一个包括有一个合适的产生弯曲变形的部件，那么，这样的体系仍可合适的产生弯曲变形的部件，那么，这样的体系仍可作为一个单自由度体系来分析。作为一个
30、单自由度体系来分析。分布弹性（弹性变形在整个结构或某分布弹性（弹性变形在整个结构或某些元件上连续形成）；些元件上连续形成）；只要：可假定只有单一形式的位移，只要：可假定只有单一形式的位移，使得结构按照单自由度体系运动。使得结构按照单自由度体系运动。6 广义单自由度体系：分布柔性广义单自由度体系：分布柔性xv t( )gL参参考考轴轴v x,t( )tv x,t( )Z t( )e t( )m x( )EI x( )N)()(),(tZxtxv假定唯一变形曲线后，成为单自由度假定唯一变形曲线后，成为单自由度体系：体系：广义坐标广义坐标Z(t)，变形曲线，变形曲线 (x)：)(),()(tZtxv
31、x 虚功原理：杆件产生变形时，外力所做虚功原理：杆件产生变形时，外力所做的虚功等于内力所做的虚功。的虚功等于内力所做的虚功。IEWWxv t( )gL参参考考轴轴v x,t( )tv x,t( )Z t( )e t( )m x( )EI x( )N地面运动引起的等效荷载：地面运动引起的等效荷载：)()(),(efftvxmtxPg )()(),(efftvxmtxPg 外力：轴力外力：轴力N，惯性力，地面运动引起的等效荷载。，惯性力，地面运动引起的等效荷载。惯性力：惯性力：),()(),(txvxmtxfI v t( )g参参考考轴轴v x,t( )tv x,t( )Z t( )e t( )m
32、 x( )EI x( )N),()(),(txvxmtxfI 外力所做的虚功：外力所做的虚功：惯性力：惯性力：LLIEeNdxxvtxfdxxvxfW0eff0)(),()()()()(),(efftvxmtxPg 地面运动引起的等效荷载：地面运动引起的等效荷载：轴力：轴力：NeZ)()(),(tZxtxv关系式：关系式：)()( ),( tZxtxv)()(),(tZxtxv)()(),(tZxtxv )()(),(tZxtxv)()(),(tZxtxv)()( ),( tZxtxv)()(),(tZxtxvLLIEeNdxxvtxfdxxvxfW0eff0)(),()()(Ldxtxvte
33、02),( 21)(Ldxxvtxve0)( ),( ),()(),(txvxmtxfI )()(),(efftvxmtxPg LdxxxmtZ02)()()( Lgdxxxmtv0)()()( ZdxxtNZL02)( )(虚功：虚功：内力所做的虚功：内力所做的虚功：LIdxxvtxMW0)(),(),(),()(),(1xvatxvxEItxM)()(),(tZxtxv关系式：关系式：)()( ),( tZxtxv)()(),(tZxtxv)()(),(tZxtxv )()(),(tZxtxv)()(),(tZxtxv)()( ),( tZxtxv)()(),(tZxtxvZdxxxEIt
34、ZadxxxEItZLL02012)()()()()()(变形变形变形速度变形速度ZdxxtNZdxxxmtvdxxxmtZWLLgLE02002)( )()()()()()()( ZdxxxEItZadxxxEItZWLLI02012)()()()()()(LgLLLLdxxxmtvdxxNtZdxxxEItZdxxxEIatZdxxxmtZ0002202102)()()()( )()()()()()()()()()( )()()()()(*tPtZktZktZctZmeffG )()()()()(*tPtZktZktZctZmeffG *Gkkk)()()()(*tPtZktZctZmef
35、f LLdxxNdxxxEI0022)( )()(*GkkkLLdxxdxxxEIN0202cr)( )()(令：令：令：令：0*k0)( )()(0022LLdxxNdxxxEIE2-3E2-3假定变形曲线：假定变形曲线：Lxx2cos1)(Ldxxxmm02*)()(刚度和质量均匀分布。刚度和质量均匀分布。LdxxxEIk02*)()(Lgdxxxmtvtp0*eff)()()()( )(364. 0)(32)(228. 034tvLmtZLEItZLmg 运动方程：运动方程：LdxLxm022cos1Lm228. 0LdxLxLEI02222cos43432 LEILgdxLxtvm02
36、cos1)( )(364. 0tvLmg xv t( )gL参参考考轴轴v x,t( )tv x,t( )Z t( )e t( )m x( )EI x( )N LGdxxNk02)( * 考虑轴向力时结构的几何刚度：考虑轴向力时结构的几何刚度：LNLEIkkkG832234*综合广义刚度：综合广义刚度：临界屈曲荷载：临界屈曲荷载：2cr24EINL LdxLxLN0222 sinLN82 7 广义体系特性的表达式广义体系特性的表达式)()()()(*tPtZktZctZmeff 任意单自由度体系的运动方程：任意单自由度体系的运动方程：xLximi( )xmxiv x,t( ) = ( )tZ(
37、 )x( )tZxLximi( )xmxiv x,t( ) = ( )tZ( )x( )tZ广义质量的标准形式：广义质量的标准形式： 20202)()()(*iiiiLImdxxxmm xLv x,t( ) = ( )tZ( )xxi( )cci( )tZx广义阻尼的标准形式：广义阻尼的标准形式： 202102iiLLcdxxxEIadxxxcc )()()()(*xLv x,t( ) = ( )tZ( )xxi( )kki( )tZx广义刚度的标准形式：广义刚度的标准形式： 20202iiLLkdxxxEIdxxxkk )()()()(*xLv x,t( ) = ( )tZ( )x( )q( )tZxN广义刚度的标准形式（考虑几何刚度）：广义刚度的标准形式（考虑几何刚度）：dxxxNkdxxxEIdxxxkkLiiLL2020202)( )()()()()(* xLv x,t( ) = ( )tZ( )x( )tZp x,t( ) xip t( ) i iiLpdxxtxptp 0)(),()(*广义荷载的标准形式：广义荷载的标准形式：
