1、微积分 (第三版) 电子教案 首页上一页下一页结束 1.5 基本初等函数、复合函数与初等函数一、基本初等函数二、复合函数 三、初等函数 微积分 (第三版) 电子教案 首页上一页下一页结束一、基本初等函数 下列函数称为基本初等函数 常数 yc 幂函数 yxa (a为任何实数) 指数函数 yax(a0 a1) 对数函数 yloga x (a0 a1) 三角函数 ysin x ycos x ytan x ycot x ysec x ycsc x 反三角函数 yarcsin x yarccos x yarctan x yarccot x yarcsec x yarccsc x 微积分 (第三版) 电子
2、教案 首页上一页下一页结束1 常数 yc 它的定义域是(, ) 图形为平行于x轴截距为c的直线 微积分 (第三版) 电子教案 首页上一页下一页结束1 常数 yc 它的定义域是( ) 图形为平行于x轴截距为c的直线 2 幂函数 yxa (a为任何实数) 微积分 (第三版) 电子教案 首页上一页下一页结束1 常数 yc 它的定义域是( ) 图形为平行于x轴截距为c的直线 2 幂函数 yxa (a为任何实数) 常用的幂函数有 微积分 (第三版) 电子教案 首页上一页下一页结束3 指数函数 yax(a0 a 1),特例y=ex 它的定义域为( ) 值域为(0 ) 都通过(0 1)点 当a1时 函数单调
3、增加 当0a1时 函数单调减少 指数函数举例 微积分中常用以e为底的指数函数ex，其中e=2.71828，它为一个无限不循环小数.微积分 (第三版) 电子教案 首页上一页下一页结束4 对数函数 ylogax(a0 a 1)，特例y=lnx 它的定义域为(0 ) 都通过(1 0)点 当a1时 函数单调增加 当0a1时 函数单调减少 对数函数与指数函数互为反函数 对数函数举例 常用公式 logloglogaaaxxyylogloglogaaaxyxyloglogNaaxNxlogloglogcacbbalnxxe微积分 (第三版) 电子教案 首页上一页下一页结束5 三角函数 三角函数有 ysin
4、x ycos x ytan x ycot x ysec x ycsc x ysin x与ycos x的定义域均为(, ) 均以2为周期 因为sin(x)sin x 所以ysin x为奇函数 因为cos(x)cos x 所以ycos x为偶函数 又因|sin x|1 |cos x|1所以它们都是有界函数 ytan x以为周期 是奇函数 注：在微积分中，三角函数的自变量一律用弧度单位表示.微积分 (第三版) 电子教案 首页上一页下一页结束常用的三角函数公式：(1)商的关系 sincos111tan,cot,sec,csc,tancossincossincotxxxxxxxxxxxx（2）平方关系
5、222222sincos1,sec1tan,csc1cotxxxxxx (3）两角和公式 sin() sin coscos sin ,x yxyxycos() cos cossin sinx yxyxy微积分 (第三版) 电子教案 首页上一页下一页结束（5）降幂公式221 cos21cos2sin,cos22xxxx(4)倍角公式sin22sin cos ,xxx2222cos2cossin12sin2cos1 xxxxx微积分 (第三版) 电子教案 首页上一页下一页结束6 反三角函数 常 用 的 反 三 角 函 数 有 y a r c s i n x y a r c c o s x yarc
6、tanx ,y=arccotx. 三角函数ysin x ycos x ytanx,y=cotx的反函数分别记作 yArcsin x yArccos x yArctan x y=Arccotx它们都是多值函数 我们按下列区间取其一段 称为主值分支 分别记作yarcsin x yarccos x yarctanx,y=arccotx为对应的反三角函数.三角函数都是周期函数，对于值域中的任何都有无穷多个与之对应，故三角函数在其定义域内不存在反函数.为了定义它们的反函数，必须限制自变量的取值范围，使得该函数在这个范围内单调.微积分 (第三版) 电子教案 首页上一页下一页结束(1)什么样的函数有反函数什
7、么样的函数有反函数?一一对应函数有反函数一一对应函数有反函数没有没有,因为他不是一一对应函数因为他不是一一对应函数(2)互为反函数图象之间有什么关系互为反函数图象之间有什么关系关于直线关于直线y=x对称对称(4)正弦函数y=sinx在 上有反函数吗？(3)正弦函数正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx,正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗在定义域上有反函数吗? 余弦函数y=cosx在0， 上有反函数吗？正切函数y=tanx在 上有反函数吗？,2 2 (,)2 2 微积分 (第三版) 电子教案 首页上一页下一页结束xyo-2 - 2 3 4 1-1 正弦函数正弦函数 有反函数吗？有反函
8、数吗？)(sinRxxy22 没有没有,因为他不是一一对应函数，因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应同一个三角函数值会对应 许多角。许多角。 正弦函数正弦函数 有反函数吗？有反函数吗？)(sinRxxysin (, )2 2yx x 正弦函数正弦函数 有反函数吗？有反函数吗？ 有有,因为它是一一对应函数，因为它是一一对应函数，同一个三角函数同一个三角函数值只对应一个角。值只对应一个角。微积分 (第三版) 电子教案 首页上一页下一页结束21.510.5-0.5-1-1.5-2-3-2-1123221-1sin , 1,12 2yx xy arcsin , 1,1,2 2yx xy 反正
9、弦函数反正弦函数y=arcsinx,x-1，1的图象与性质：的图象与性质：yxyx22(1)定义域定义域:-1，1。(2)值域值域:,2 2 (3)奇偶性奇偶性:是奇函数，是奇函数，其图象关于坐标原点对称，其图象关于坐标原点对称，arcsin()arcsin 1,1.xxx (4)单调性单调性:是增函数是增函数。o微积分 (第三版) 电子教案 首页上一页下一页结束tan (,)2yx xkkz 没有没有,因为他不是一一对应函数，因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应同一个三角函数值会对应 许多角。许多角。 正切函数正切函数 有反函数吗？有反函数吗？tan ,(, )2 2yx x 正切
10、函数正切函数 有反函数吗？有反函数吗？ 有有,因为它是一一对应函数，因为它是一一对应函数，同一个三角函数值只同一个三角函数值只对应一个角。对应一个角。22微积分 (第三版) 电子教案 首页上一页下一页结束反正切函数反正切函数y=arctanx,xR的图象与性质的图象与性质22Ryxxy)2,2(,tan22)2,2(,arctanyRxxy(1)定义域定义域R(2)值域值域: (,)22 (3)奇偶性奇偶性:是奇函数是奇函数arctan(-x)=-arctanx(xR)其图象关于坐标原点对称。(4)单调性单调性:是增函数是增函数yx微积分 (第三版) 电子教案 首页上一页下一页结束6 反三角函
11、数 常用的反三角函数有yarcsin x yarccos x yarctanx 函数值的确定 求arcsin x 在2,2内确定一点 使 sin x 则 arcsin x 例如 求)21arcsin( 因为21)6sin( 所以6)21arcsin( 微积分 (第三版) 电子教案 首页上一页下一页结束6 反三角函数 常用的反三角函数有yarcsin x yarccos x yarctanx 函数值的确定 求arccos x 在0, 内确定一点 使cos x 则arccos x 例如 求)21arccos( 因为2132cos 所以32)21arccos( 微积分 (第三版) 电子教案 首页上一
12、页下一页结束二、复合函数 设yf(u) ug(x) 如果将ug(x)代入f(u)中 得到的表达式fg(x)是有意义的 则yfg(x)是一个以x为自变量 y为因变量的新函数 称为由yf(u)和ug(x)复合而成的复合函数 微积分 (第三版) 电子教案 首页上一页下一页结束二、复合函数定义115(复合函数) 设函数yf(u)的定义域为Df 函数ug(x)的值域为G 若GDf F 则yfg(x)确定一个以x为自变量、y为因变量的函数 称为yf(u)与ug(x)复合而成的复合函数 u称为中间变量 例2 设yf(u)lg u ug(x)1sin2x 因为ug(x)的值域G(1, 2 yf(u)的定义域D
13、f(0, ) GDfF 所以y=lg(1sin2x)是复合函数 例3 设yf(u)arcsin u ug(x)2x2 因为ug(x)的值域G2, ) yf(u)的定义域Df 1, 1 GDf F 所以yarcsin(2x2)不是复合函数 微积分 (第三版) 电子教案 首页上一页下一页结束二、复合函数定义115(复合函数) 设函数yf(u)的定义域为Df 函数ug(x)的值域为G 若GDf F 则yfg(x)确定一个以x为自变量、y为因变量的函数 称为yf(u)与ug(x)复合而成的复合函数 u称为中间变量 例 4 函数12xey是由哪些函数复合而成？ 解 解 12xey可以看成是由 ye u
14、vu vx21 三个函数复合而成 微积分 (第三版) 电子教案 首页上一页下一页结束二、复合函数定义115(复合函数) 设函数yf(u)的定义域为Df 函数ug(x)的值域为G 若GDf F 则yfg(x)确定一个以x为自变量、y为因变量的函数 称为yf(u)与ug(x)复合而成的复合函数 u称为中间变量 解 例5已知 将y表示成x的函数. 2ln ,sin2 ,yu uvvxx2(sin2 )uxxsin2vxx2,uv 把 代入 得 2(sin2 )uxxln ,yu再把 代入 得 2ln(sin2 )yxx微积分 (第三版) 电子教案 首页上一页下一页结束课堂练习21.2cosyx2(3
15、),uvye ue vx 2.(1),31yu ux 1.已知 将y表示成x的函数. 2,2,cos ,yu uv vx2.下列函数可以看成是由哪些简单函数复合而成的？25(1)31;(2)(1lg ) ;(3)xeyxyxye答案：5(2),1,lgyu uv vx 微积分 (第三版) 电子教案 首页上一页下一页结束例1.15 求复合函数 的定义域.21arcsin3xy 是由函数 和21arcsin3xyarcsinyu213xu21arcsin3xy于是得出 的定义域为1,2.复合而成，要使得函数有意义，2113x即1u 必有 ，12x 因此有解：微积分 (第三版) 电子教案 首页上一页
16、下一页结束三、初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算以及有限次的函数复合运算生成的，并且可以用一个数学式子表示的函数称为初等函数 例如 ,y=sin2x, 等都是初等函数. 21 xy2cotxy 这里需要特别提醒的是：初等函数都可以用一个公式表示，所以大多数分段函数一般来说不是初等函数，例如y=sgnx, 等都不是初等函数；,0sgn ,1,0 xexyx yxx微积分 (第三版) 电子教案 首页上一页下一页结束三、初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算以及有限次的函数复合运算生成的，并且可以用一个数学式子表示的函数称为初等函数 但也有一部分分段函数同时也是初等函数例如 既是分段函数也是初等函数，因为 ，可看作由 复合而成.,0,0 xxyxx2,0,0 xxyxxxx2,yu ux形如 的函数称为幂指函数.其中f(x)、g(x)都是关于x的函数.( )( )g xf x
