1、杭 州 师 范 大 学 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 命 题 纸杭 州 师 范 大 学 2014 年招收攻读硕士研究生入学考试题 考试科目代码： 721 考试科目名称： 量子力学 说明：考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负。一、 简答题 （每题10分，共40分）1. 简述量子测量公设的基本内容。2. 扫描隧道显微镜（STM）利用了何种量子效应？简述其工作原理。3. 请简要解释“完备力学量组”概念，并列举三组描述氢原子的完备力学量组。4. 分别写出两电子体系自旋单态与三重态在无耦合表象基矢下的展开式。二、 证明题（每题15分，共30分）1. 角动量算符定义为， （1）利用基本对易关
2、系，证明；（2）进一步证明，其中为角动量升降算符。2. 证明对于任意算符及幺正变换，有 并由此说明算符的迹不因表象而异。三、计算题（每题20分，共80分）1. 一粒子位于一维方势阱中，求其本征能谱与本征态。2. 已知一维谐振子哈密顿为：，其本征波函数记为构成完备基（满足正交归一关系）。定义下降算符与上升算符分别为与，并满足， 在状态下，求：(1)势能的平均值；(2)动能的平均值；(3)坐标与动量的不确定关系；(4)最小不确定度对应什么状态（即n的取值）。3. 求算符的归一化本征态，其中为Pauli矩阵，为指向方向的单位矢量4. 对于原子序数较大的类氢原子，其最外层电子感受到的势场为，其中为一正常数，为Bohr半径，求其基态能量的一阶微扰修正。（注：氢原子基态能量为，基态波函数为）. 2014 年 考试科目代码 721 考试科目名称 量子力学 （本考试科目共 2页，第2 页）
