1、蚌埠市 届高三年级第四次教学质量检查考试数学（ 理工类）本试卷满分 分， 考试时间 分钟注意事项： 答卷前， 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案标号。 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。一、 选择题： 本题共 小题， 每小题 分， 共 分。 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 已知集合 ， 都是的子集， 且瓓 ， 则 （ 瓓 ） 已知 为虚数单位， 复数 ， 则下列复数与 互为共轭复数的是 已知点 是 的重心， 则
2、下列结论正确的是 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 设 ， 是不同的直线， ， 是不同的平面， 则下列命题正确的是 若 ， ， 则 若 ， ， 则 若 ， ， 则 若 ， ， 则 已知点 是原点， 点 是双曲线 ： （ ， ）的右焦点， 过双曲线 的右顶点且垂直于 轴的直线与双曲线 的一条渐近线相交于点 ， 若 ， 则双曲线的渐近线为槡 槡 已知 ， ， 槡 ， 则 ， ， 的大小关系为 在锐角 中， 角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 某数学兴趣小组探究该类三角形时， 初步提出以下四个论断： 甲： ； 乙： （ ） ； 丙： ； 丁： 若上述四个论断中
3、有且只有一个是正确的， 则正确的是 甲 乙 丙 丁）页共（页第卷试）类工理（学数级年三高市埠蚌 第 题图 从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“ 鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图， 在平面直角坐标系中， 下列直线系方程（ 其中 为参数， ）能形成这种效果的是 数 的不同正因数个数为 若幂函数 （ ）（ ）满足（ ） （ ） （ ） ， 则下列关于函数 （ ）的判断正确的是 （ ）是周期函数 （ ）是单调函数 （ ）关于原点对称 （ ）关于点（ ， ）对称 阻尼器是一种以提供运动的阻力， 耗减运动能量， 从而达到减振效果的专业工程装置 如图， 是被称为“ 镇楼神器”的我国第一高楼上海中心大厦的阻尼
4、器 由物理学知识可知， 某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动， 其离开平衡位置的位移 （ ）与时间 （ ）的函数关系式为 （ ） （ ） （ ） ， 若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为 （ ）的时间分别为 ， ， ， 且 ， ， 则下列为 （ ）的单调区间的是第 题图 ， （ ） ， （ ） ， （ ） ， （ ） 已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， ， ， 底面 是边长为槡的等边三角形， 的面积为槡 有下列四个结论： 三个侧面均为等腰三角形； 点 到平面 的距离为 ； 球 的表面积为 ； 与平面 所成角的余弦值为槡其中正确的结论为 二、 填空题： 本题共 小题， 每小题 分，
5、共 分。 已知变量 ， 的关系可以用模型 拟合， 设 ， 其变换后得到一组数据如下： 由上表可得线性回归方程 ， 则 ）页共（页第卷试）类工理（学数级年三高市埠蚌 已知函数 （ ） ， 过点 （ ， ）作曲线 （ ）的切线， 则可作切线的最多条数是 抛物线 ： （ ）的焦点为 ， 准线为 ， 过抛物线 上一点 作 的垂线， 垂足为 ， 设点 （ ， ） ， 与 相交于点 ， 若 ， 且 的面积为槡 ， 则 凸四边形 的面积为 ， ， ， 槡 ， 则 的最大值为三、 解答题： 共 分。 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。 第 、 题为选考题，
6、考生根据要求作答。（ 一）必考题： 共 分。 （ 分）已知等差数列 中， ， ， 且 ， 为奇数， 为偶数（ ）求数列 的通项公式及前 项和；（ ）若 ， 记数列 的前 项和为 ， 求 （ 分）已知三棱柱 中， ， ， 平面 ， ， 为 中点， 为 上一点 第 题图（ ）求证： ；（ ）当 为 的中点时， 求二面角 的余弦值 （ 分）已知椭圆 ： 的左、 右焦点分别为， ， 过作不平行于坐标轴的直线与椭圆相交于 ， 两点， 垂直 轴于点 ， 垂直 轴于点 ， 直线 与 相交于点 （ ）求证： 动点 的横坐标为定值；（ ）求 面积的最大值 ）页共（页第卷试）类工理（学数级年三高市埠蚌 （ 分）有
7、足够多的白球和黑球以及一个空的袋子， 现使用一个骰子进行如下试验： 投掷一次骰子，若点数不小于 ， 则将 个白球放入袋子； 若点数不大于 ， 则将 个黑球放入袋子 重复上述试验 次， 设第 （ ）次试验后， 袋子中的白球和黑球数分别为 ， （ ）求 的概率；（ ）在 的条件下， 求存在正整数 （ ）使得 的概率 （ 分）已知函数 （ ） ， ， （ ）判断函数 （ ） （ ） 的单调性；（ ）若关于 的方程 （ ） 仅有两个实数解， 求实数 的取值范围（ 二）选考题： 共 分。 请考生在第 、 题中任选一题作答。 如果多做， 则按所做的第一题计分。 选修 ： 坐标系与参数方程 （ 分）在直角坐
8、标系 中， 曲线 的参数方程为 ， ，（ 为参数） ， 曲线 与直线相交于 ， 两点（ ）求 的面积；（ ）以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 求 外接圆的极坐标方程 选修 ： 不等式选讲 （ 分）已知函数 （ ） （ ）若不等式 （ ） 的解集为 ，(，)， 求实数 的值；（ ）若不等式 （ ） 对任意 ， 恒成立， 求实数 的取值范围）页共（页第卷试）类工理（学数级年三高市埠蚌蚌埠市 届高三年级第四次教学质量检查考试数学（ 理工类） 参考答案及评分标准一、 选择题：题号 答案二、 填空题： 三、 解答题： （ 分）解： （ ）设等差数列 的公差为 ， 则 ，所以 （ ）
9、 ， 从而 ， 为奇数， 为偶数分 （ ）（ ）（ ）（ ） （ ）（ ）分（ ） ， ， （ ） ，相减得， ，分 （ ） () ，即 () 分 （ 分）（ ）因为 ， 为 的中点， 所以 ，又 平面 ， 平面 ， 则 ，分而 点， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，而 平面 ， 故 分（ ）以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系， 不妨设 ， 则 （ ， ， ） ， （ ， ， ） ， （， ） ， （， ），分 （ ， ， ） ， （， ），易知，平面 的法向量为 （， ） ，）页共（页第案答考参）类工理（学数级年三高市埠蚌设平面 的法向量为 （ ， ，
10、） ， 则 ， ，得 ， ，令 ， 则 （ ， ， ） ， 分所以 ， 槡 槡槡 ，易知二面角 的平面角为锐角， 故其余弦值为槡 分 （ 分）（ ）由点 （ ， ） ， 设直线 的方程为 （ ） ，联立 ， ， 得（ ） ，易知 （ ） （ ） ，设 （ ， ） ， （ ， ） ， 则 ， ，分由条件知， （ ， ） ， （ ， ） ， 则直线 的方程为 （ ） ，直线 的方程为 （ ） ，联立解得（ ） （ ） （ ） （ 定值） ，所以点 的横坐标为定值 分（ ） ，分又 ， 故 槡槡， 分令槡 ， 则 槡槡 槡，当且仅当 槡 ， 即 时， 等号成立，所以 面积的最大值为槡 分 （ 分）解
11、： （ ） 表示袋子里至少有 个球， 因此骰子的点数至少有 次不小于 ，概率为 ()()() 分）页共（页第案答考参）类工理（学数级年三高市埠蚌（ ）存在正整数 （ ）使 包括以下三种情况： 若骰子的点数有 次不小于 ， 说明放了 次一个黑球和 次两个白球， 要使 ， 必须在前 次放了 次黑球和 次白球， 后 次放了 次黑球和 次白球，即 次放白球， 一次在前 次， 另一次在后 次故其概率为 ()() 若骰子的点数有 次不小于 ， 说明放了 次一个黑球和 次两个白球， 要使 ， 必须在前 次放了 次黑球和 次白球， 后 次放了 次白球， 即 次放黑球都在前 次故其概率为 ()() 分 若骰子的
12、点数有 次或 次不小于 ， 因为黑球总共不到 个， 所以不可能使 ， 故其概率为 综上可知， 在 的条件下， 存在正整数 （ ） 使 的概率为 分 （ 分）（ ） （ ） （ ） ， ， ， （ ）（ ） ， （ ） ，分 ， ， （ ） （ ）在 ， 上是增函数， 且 （ ） ， （ ） （ ） ， （ ）在 ， 上是增函数 分（ ）令 （ ） （ ） ， ， ，由 （ ） （ ） ， 知 是方程 （ ） 的一根，由 （ ） （ ） ， 知 不是方程 （ ） 的根，问题转化为求 （ ）在区间（ ， 有一根时， 实数 的取值范围 （ ） （ ） ， （ ） （ ） ， （ ） ，由（ ）可知，
13、 当 ， 即 时， （ ） （ ） ， （ ）在（ ， 上为增函数， （ ） （ ） ， 故 （ ） ，即 （ ）在区间（ ， 无零点分当 ， 即 时， 当 ，()时， 令 （ ） （ ） （ ） ，则 （ ） （ ） ， （ ） （ ）在 ，()上为增函数， （ ） ， () ，）页共（页第案答考参）类工理（学数级年三高市埠蚌 存在唯一一个实数 ，()， 使 （ ） 分 当 ，()时， ， （ ） ， （ ） （ ） （ ） 由 知， 当 （ ， ）时， （ ） ， （ ）单调递减，当 （ ， ）时， （ ） ， （ ）单调递增， （ ） ， （ ） ， 存在唯一实数 ，()， 使 （ ）
14、， 分 当 （ ， ）时， （ ） ， （ ）单调递减，当 （ ， ）时， （ ） ， （ ）单调递增， （ ） ， （ ） ， 存在唯一实数 （ ， ） ， 使 （ ） ，即 （ ）在区间（ ， ）有唯一零点 ，综上可知， 方程 （ ） 在区间 ， 仅有两根时， 分 （ 分）解： （ ）令 ， 得 ， 即 或 ，将 ， 分别代入 ， 得 或 ， 点 （ ， ） ， 点 （ ， ） 分 ， 即 为直角三角形， 槡 ， 分（ ）由（ ）可知 外接圆的圆心坐标为（ ， ） ， 半径为 圆的直角坐标方程为（ ） ， 即 ，分由 ， ， 代入得 ， 即 ， 外接圆的极坐标方程为 分 （ 分）解： （ ）() ， 由条件得 ， 则 或 ，分 ，即 或 分（ ）原不等式等价于 恒成立，而 （ ）（ ） ，分 ， 则 （ ）恒成立，（ ）（ ）， 当且仅当 时等号成立， 分（ 以上答案仅供参考， 其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）页共（页第案答考参）类工理（学数级年三高市埠蚌
