1、一元二次方程一元二次方程学习目标学习目标知识回顾知识回顾典型例题和及时反馈典型例题和及时反馈1 1、会用直接开平方法、配方法、公式法、会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程；次方程；2 2、体会转化、降次思想的应用，领会一、体会转化、降次思想的应用，领会一元二次方程不同解法之间的相互联系。元二次方程不同解法之间的相互联系。一、一元二次方程的定义和一般形一、一元二次方程的定义和一般形式式一、一元二次方程的定义和一般形一、一元二次方程的定义和一般形式式只含有只含有 未知数，且未知数的未知数，且未知数的是是 的整式方程叫做一元二次
2、方程。的整式方程叫做一元二次方程。 0cbxax2 一般形式：一般形式：一个一个最高次数最高次数2 2)0a( 二次项二次项 二次项系数二次项系数 a=a= 一次项一次项 一次项系数一次项系数 b=b=常数项常数项c c = 化成一般形式化成一般形式、将一元二次方程、将一元二次方程例例)1x2)(2x(5x312 05x3x2 13点评：注意化简过程中的符号变化，点评：注意化简过程中的符号变化，分清各项和项的系数分清各项和项的系数2xx35 m2、当、当例例m当当时，方程时，方程时，方程时，方程是是03x)2m(x)4m(22 一元一次方程一元一元一次方程一次方程注意一次项系注意一次项系数不能
3、为数不能为0 0哦哦2 只需考虑二次项系只需考虑二次项系数不等于数不等于0 0就行了就行了2是一元二次方程是一元二次方程03x)2m(x)4m(22 这时二次项系这时二次项系数要等于数要等于0 0了了二、一元二次方程的解法二、一元二次方程的解法配方法配方法直接开平方法直接开平方法因式分解法因式分解法公式法公式法提取公提取公因式法因式法平方差平方差公式公式完全平完全平方公式方公式十字相十字相乘法乘法例例1 1、用直接开平方法解方程、用直接开平方法解方程 9)2x(2 5x, 1x32x32x21 或或注意：平方注意：平方根有两个哦根有两个哦解:两边开平方,得32x 化为两个一元一次方程化为两个一
4、元一次方程akhxakhx 或或)0ak, 0a(k)hx(a2 直接开平方法步骤直接开平方法步骤akhx 两边同时开平方两边同时开平方求解求解akhxakhx21 或或两边同除以二次项系数两边同除以二次项系数ak)hx(2 用直接开平方法解下列方程用直接开平方法解下列方程 9)2x(1204)1x(22 4)1x(2 解：解：21x 3x, 1x21 用直接开平方法解下列方程用直接开平方法解下列方程 9)2x(1204)1x(22 129)2x(2 解：解：232x 232x,232x21 用直接开平方法解下列方程用直接开平方法解下列方程 04)1x(2 还可以用什么方法呢还可以用什么方法呢
5、02)1x(22 例例2 2、配方法解方程、配方法解方程05x8x42 解:化二次项系数为1，得045x2x2 移项，得45x2x2 配方，得49)1x491x2x22 即（即（21x,25x231x21 配方法步骤配方法步骤)0a(0cbxax2 二次项系数化为二次项系数化为10acxabx2 两边同时加上一次项系数一半的平方两边同时加上一次项系数一半的平方222)a2b(ac)a2b(xabx 化为直接开平方形式化为直接开平方形式222a4ac4b)a2bx( 解方程解方程)0ac4b(a2ac4bbx22 acxabx2 移常数项到右边移常数项到右边点评：配方法的关键是将一元二次方程化为
6、点评：配方法的关键是将一元二次方程化为 的的 形式形式)0k(k)hx(2 用配方法解下列方程用配方法解下列方程 2x8x2 解：解：16216x8x2 18)4x(2 234x 234x234x 或或234x,234x21 02xx4102x8x22 484x4x2 12)2x(2 08x4x2 解：解：322x 322x,322x21 8x4x2 用配方法解下列方程用配方法解下列方程 02xx4102x8x22 注意二次项注意二次项系数化为系数化为1 1例例3 3、用公式法解方程、用公式法解方程7x4x32 01xx22 7x4x32 7c , 4b, 3a 35261004x 37x,
7、1x21 解:移项，得07x4x32 0100)7(34)4(ac4b22 01xx22 解解: :1c , 1b, 2a 此方程无解此方程无解07)1()2(41ac4b22 公式法解题步骤公式法解题步骤先化为一般形式先化为一般形式)0a(0cbxax2 ac4b, c,b,a2 求求确定确定时，方程没有实数根时，方程没有实数根若若时，代入公式时，代入公式当当0ac4ba2ac4bbx0ac4b222 用公式法解下列方程用公式法解下列方程 1x3x2103x2x322 03x2x32 解解: :3c , 2b, 3a 61022321022x 3101x,3101x21 040)3(342a
8、c4b22 1x3x212 1c , 3b,21a 1113212113x 113x,113x21 011)1(2143ac4b22 解解: :移项，得移项，得01x3x212 例例4 4、用因式分解法解方程、用因式分解法解方程)2x(3)2x(2 0 x)5x2(22 06xx2 )2x(3)2x(2 1x, 2x21 解:原方程化为0)2x(3)2x(2 0)32x)(2x( 0)1x)(2x( 01x02x 或或这里的公因式这里的公因式是什么呢？是什么呢？5x,35x21 解:原方程可变形为0)x5x2)(x5x2( 0)5x)(5x3( 05x05x3 或或0 x)5x2(22 解:原
9、方程化为3x, 2x21 0)3x)(2x( 03x02x 或或06xx2 因式分解法步骤因式分解法步骤一边化为一边化为0，另一边分解成两个一次因，另一边分解成两个一次因式积的形式式积的形式转化为两个一元一次方程，求解转化为两个一元一次方程，求解用因式分解法解下列方程用因式分解法解下列方程 03520) 1(4)2(0)54()45(2222xxxxxx0)x54()4x5(2 4x5 x54 0)14x5)(4x5( 0)4x5()4x5(2 53x,54x21 0)1x(4)2x(22 0)1x(2)2x(22 4x, 0 x21 03x5x22 0)3x)(1x2( 3x,21x21 0
10、3x5x20)1x(4)2x(0)x54()4x5(2222 还可以用什么方还可以用什么方法解呢？法解呢？一元二次方程的解法一元二次方程的解法配方法配方法直接开平方法直接开平方法因式分解法因式分解法公式法公式法)0k(k)hx(2 形如形如)0ac4b(a2ac4bbx22 的方程的积，一边是因式一边可以化成两个一次0的的形形式式关关键键是是配配成成)0k(k)hx(2 三、一元二次方程根的判别式三、一元二次方程根的判别式ac4b2 当当 时，方程有两个不相等的实数根时，方程有两个不相等的实数根0ac4b2 当当 时，方程有两个相等的实数根时，方程有两个相等的实数根0ac4b2 当当 时，方程
11、没有实数根时，方程没有实数根0ac4b2 0ac4b2 三、一元二次方程根的判别式三、一元二次方程根的判别式ac4b2 0ac4b2 0ac4b2 根根的的情情况况是是的的、一一元元二二次次方方程程例例01x3x12 有两个相等的实数根有两个相等的实数根.A有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根.B没有实数根没有实数根.C有两个实数根有两个实数根.DB B01m2x)2mxx22 （的一元二次方程的一元二次方程、已知关于、已知关于例例.等的实数根等的实数根求证：方程有两个不相求证：方程有两个不相)1m2(14)2m(ac4b22 证明：证明：8m4m2 44m4m2 4)2m(2 04)2m
12、(0)2m(22 .实数根实数根即方程有两个不相等的即方程有两个不相等的.m201m2x)2mxx2的值和另一个根的值和另一个根，求，求有一个根为有一个根为（一元二次方程一元二次方程已知关于已知关于 代入方程代入方程解：把解：把2x 01m2)2m(222 47m 代人原方程，解得代人原方程，解得把把47m 49x, 2x21 492m ，另一个根为，另一个根为的值为的值为答：答：有两个相等的实数根？有两个相等的实数根？有两个不相等的实数根？有两个不相等的实数根？没有实数根没有实数根有两个实数根有两个实数根有实数根有实数根03kx)1k2(kxxk32 的方程的方程取何值时，关于取何值时，关于
13、、例例 03kx)1k2(kxxk32 的方程的方程取何值时，关于取何值时，关于、例例有两个相等的实数根？有两个相等的实数根？就可以得到所要结果就可以得到所要结果且且，只要满足，只要满足分析：根据根的判别式分析：根据根的判别式, 0k0ac4b2 161k 答案答案: :点评：这题不考虑点评：这题不考虑 的情况不影响的情况不影响最后结果的正确性，但同学们要有检验最后结果的正确性，但同学们要有检验二次项系数不为二次项系数不为0 0的意识的意识0k 03kx)1k2(kxxk32 的方程的方程取何值时，关于取何值时，关于、例例有两个不相等的实数根？有两个不相等的实数根？就可以得到所要结果就可以得到
14、所要结果且且，只要满足，只要满足分析：根据根的判别式分析：根据根的判别式, 0k0ac4b2 误点剖析：只考虑到根的判别式，忘记误点剖析：只考虑到根的判别式，忘记检验二次项系数检验二次项系数0k 0161kk且答案答案: :03kx)1k2(kxxk32 的方程的方程取何值时，关于取何值时，关于、例例没有实数根没有实数根就可以得到所要结果就可以得到所要结果且且，只要满足，只要满足分析：根据根的判别式分析：根据根的判别式, 0k0ac4b2 点评：这题不考虑点评：这题不考虑 的情况不影响的情况不影响最后结果的正确性，但同学们要有检验最后结果的正确性，但同学们要有检验二次项系数不为二次项系数不为0
15、 0的意识的意识0k 161k 答案答案: :03kx)1k2(kxxk32 的方程的方程取何值时，关于取何值时，关于、例例误点剖析：要求的是两个实数根，包括相误点剖析：要求的是两个实数根，包括相等的和不相等的两种，所以等的和不相等的两种，所以 ，同学们容易忘记检验二次项系数同学们容易忘记检验二次项系数 0ac4b2 0k 有两个实数根有两个实数根0161kk且答案答案: :就可以得到所要结果就可以得到所要结果且且，只要满足，只要满足分析：根据根的判别式分析：根据根的判别式, 0k0ac4b2 有实数根有实数根161k答案答案: :两两种种情情况况来来讨讨论论和和分分析析：这这个个问问题题要要
16、分分0k0k 03kx)1k2(kxxk32 的方程的方程取何值时，关于取何值时，关于、例例 的的取取值值范范围围是是两两个个不不相相等等实实数数根根，则则有有的的一一元元二二次次方方程程、关关于于k05x4x)1k(x12 1k D. 1k51k C.51k B. 1k 51k A. 且且且且A记得检验二次记得检验二次项系数哦项系数哦 的根的情况是的根的情况是则方程则方程分别是三角形的三边，分别是三角形的三边，、0bacx2x)ba(cba22 （A A）没有实数根）没有实数根 （B B）可能有且只有一个实数根）可能有且只有一个实数根（C C）有两个相等的实数根）有两个相等的实数根 (D)(
17、D)有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 的根的情况是的根的情况是则方程则方程分别是三角形的三边，分别是三角形的三边，、0bacx2x)ba(cba22 22)ba(4)c2( )bac)(bac (4 22)ba(4c4 0bac , 0bac 0)bac)(bac (4 的的根根的的情情况况是是则则方方程程分分别别是是三三角角形形的的三三边边，、0bacx2x)ba(cba22 A.A.没有实数根没有实数根 B.B.可能有且只有一个实数根可能有且只有一个实数根 C.C.有两个相等的实数根有两个相等的实数根 D.D.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根A直接开平方法：直接开平方法：适
18、应于适应于 形如（形如（x+h） =k（k0）型）型 配方法：配方法： 适应于任何一个一元二次方程适应于任何一个一元二次方程公式法：公式法： 适应于任何一个一元二次方程适应于任何一个一元二次方程因式分解法：因式分解法： 适应于一边能分解为两个一适应于一边能分解为两个一次式的积，一边是次式的积，一边是0的方程的方程一一元元二二次次方方程程一元二次一元二次方程的定方程的定义义一元二次一元二次方程的解方程的解法法把握住：把握住：一个未知数，最高次数是一个未知数，最高次数是2， 整式整式一般形式：一般形式：ax+bx+c=0（a 0） 一路下来，我们共同回顾了所一路下来，我们共同回顾了所学知识，又解决了一些问题，你一学知识，又解决了一些问题，你一定有很多收获，希望你能与同学、定有很多收获，希望你能与同学、与父母分享。与父母分享。
