1、 61.2 类 比 一、基础达标 1下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较合适 ( ) A三角形 B梯形 C平行四边形 D矩形 答案 C 2给出下面四个类比结论 ( ) 实数 a，b，若 ab0 则 a0 或 b0；类比向量 a，b，若 a b0， 则 a0 或 b0 实数 a，b，有(ab)2a22abb2；类比向量 a，b，有(ab)2 a22a bb2 实数 a，有|a|2a2，类比向量 a，有|a|2a2 实数 a，b 有 a2b20，则 ab0；类比向量 a，b 有 a2b20，则 ab0 其中类比结论正确的命题个数为 ( ) A0 B1 C2 D3 答案 D 3三角形的面
2、积 S1 2(abc) r，其中 a，b，c 为三角形的边长，r 为三角形 内切圆的半径，利用类比推理；可以得出四面体的体积为 ( ) AV1 3abc BV1 3Sh CV1 3(S1S2S3S4)r DV1 3(abbcac)h 答案 C 4给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： “若 a，bR，则 ab0ab”类比推出“若 a，bC， 则 ab0ab”； “若 a，b，c，dR，则复数 abicdiac，bd”类比推出 “若 a，b，c，dQ，则 ab 2cd 2ac，bd”； “若 a， bR， 则 ab0ab”类比推出“若 a， bC， 则 ab0
3、ab” 其中类比得到的结论正确的个数是 ( ) A0 B1 C2 D3 答案 C 解析 是正确的，是错误的，因为复数不能比较大小，如 a56i， b46i，虽然满足 ab10，但复数 a 与 b 不能比较大小 5类比平面几何中“三角形任两边之和大于第三边”，得空间相应的结论为 _ 答案 三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 解析 平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象，从而有结论 6 如图(1)有面积关系 SPA1B1 SPAB PA1 PB1 PA PB ， 则图(2)有体积关系 VPA1B1C1 VPABC _. 答案 PA1 PB1 PC1 PA PB PC 7如图，在三棱锥
4、SABC 中，SASB，SBSC，SASC，且 SA、SB、SC 和 底面 ABC，所成的角分别为 1、2、3，三侧面 SBC，SAC，SAB 的面积分 别为 S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想 解 在DEF 中(如图)，由正弦定理得 d sin D e sin E f sin F. 于是，类比三角形中的正弦定理， 在四面体 SABC 中， 我们猜想 S1 sin 1 S2 sin 2 S3 sin 3成立 二、能力提升 8设ABC 的三边长分别为 a、b、c，ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r，则 r 2S abc，类比这个结论可知：四面体 SABC 的四个
5、面的面积分别为 S1、 S2、S3、S4，内切球半径为 r，四面体 SABC 的体积为 V，则 r( ) A. V S1S2S3S4 B. 2V S1S2S3S4 C. 3V S1S2S3S4 D. 4V S1S2S3S4 答案 C 解析 设四面体的内切球的球心为 O，则球心 O 到四个面的距离都是 r，所 以四面体的体积等于以 O 为顶点，分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的 和则四面体的体积为 V四面体ABCD1 3(S1S2S3S4)R， r 3V S1S2S3S4. 9定义：ab，bc，cd，da 的运算分别对应下图中的(1)(2)(3)(4) 则图中甲、乙运算式可表示为_ 答案
6、db，ca 10在平面几何中，ABC 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为AE EB AC BC， 把这个结论类比到空间：在三棱锥 ABCD 中(如图所示)，平面 DEC 平分二 面角 ACDB 且与 AB 相交于 E，则得到的类比的结论是_ 答案 AE EB SACD SBCD 解析 ABC 中作 EDAC 于 D，EFBC 于 F，则 EDEF. AC BC SACE SBCE AE EB， 类比：在三棱锥 ABCD 中，过直线 AB 作一平面垂直于 CD，并交 CD 于点 H，则AHB 是二面角 ACDB 的平面角，连接 EH，则 EH 是AHB 的 角平分线 AE EB AH
7、BH SACD SBCD. 11已知等差数列an的公差为 d，前 n 项和 Sn，则有如下性质： 通项：anam(nm)d； 若 mnpq，则 amanapaq(m、n、p、qN)； 若 mn2p，则 aman2ap(m、n、pN)； Sn，S2nSn，S3nS2n构成等差数列 类比上述性质，在等比数列bn中，写出相类似的性质，并判断所得结论的 真假 解 在等比数列bn中，公比为 q，前 n 项和为 Sn，则可以得到： 通项：bnbm qn m(真命题)； 若 mnpq，则 bm bnbp bq(m，n，p，qN)(真命题)； 若 mn2p，则 bm bnb2p(m，n，pN)(真命题)； S
8、n，S2nSn，S3nS2n构成等比数列(假命题) 12(1)椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)与 x 轴交于 A，B 两点，点 P 是椭圆 C 上异于 A，B 的任意一点，直线 PA，PB 分别与 y 轴交于点 M，N，求证：AN BM 为 定值 b2a2. (2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)与 x 轴交于 A，B 两 点，点 P 是双曲线 C 上异于 A，B 的任意一点，直线 PA，PB 分别与 y 轴交 于点 M，N，求证 AN BM 为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程) 解 (1)证明如下：设点 P(x0，y0)(x0 a
9、) 依题意，得 A(a,0)，B(a,0) 所以直线 PA 的方程为 y y0 x0a(xa)， 令 x0，得 yM ay0 x0a. 同理得 yN ay0 x0a，所以 yMyN a2y20 a2x20. 又点 P(x0，y0)在椭圆上，所以x 2 0 a2 y20 b21， 因此 y20b 2 a2(a 2x2 0)，所以 yMyN a2y20 a2x20b 2. 因为AN (a，y N)，BM (a，yM)， 所以AN BM a2yMyNb2a2. (2)(a2b2) 三、探究与创新 13如图，在长方形 ABCD 中，对角线 AC 与两邻边所成的角分别为 、，则 cos2cos21，则在立体几何中，给出类比猜想 解 在长方形 ABCD 中，cos2cos2(a c) 2(b c) 2a 2b2 c2 c 2 c21. 于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为 、 、， 则 cos2cos2cos21. 证明如下：cos2cos2cos2(m l )2(n l) 2(g l) 2m 2n2g2 l2 l 2 l21.
