1、第二十六章 二次函数.2创设情境，导入新课 （2 2）你们知道：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？（1 1）你们喜欢打篮球吗？问题：.3二次函数讨论与思考：1 1、正方形的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x x，表面积为y y，显然对于x x的每一个值，y y都有一个对应值，即y y是x x的函数，他们的具体关系是可以表示为什么？2 2、多边形的对角线数d d与边数n n有什么关系？3 3、某工厂一种产品现在的年产量是2020件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x x倍，那么两年后这种产品的产量y y将随计划所定的x x的值而确定，y y
2、与x x之间的关系应怎样表示？y=6xy=6x2 2d= n(n-3)d= n(n-3)1 12 2d= nd= n2 2- n- n1 12 23 32 2即y=20(1+x)y=20(1+x)2 2即y=20 xy=20 x2 2+40 x+20+40 x+20 xy y=6=6x x2 2d d= = n n2 2- - n n1 12 23 32 2y y=20=20 x x2 2+40+40 x x+20+20自变量函数函数解析式y yy yd dx xx xn n 认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数这些函数有什么共同点？这些函数自变量的最高次项都是二
3、次的！二次函数的定义： 注意：1 1、其中，x x是自变量，axax2 2是二次项，a a是二次项系数 bxbx是一次项，b b是一次项系数 c c是常数项。 一般地，形如 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a,b,ca,b,c是常数，a 0a 0）的函数，叫做二次函数。 2 2、函数的右边最高次数为2 2, ,可以没有一次项和常数项, ,但不能没有二次项. .)(0 ,为常数kkxky =一次函数正比例函数反比例函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a,b,ca,b,c是常数，a 0a 0） y=kxy=kx（k k是常数，k 0k 0） y=kx+by=kx+b
4、（k,bk,b是常数，k 0k 0） 这些函数的名称度反映了函数表达式与自变量的关系。1.1.下列函数中, ,哪些是二次函数？ (1)(1) y=3(x-1)y=3(x-1)+1+1 (3) s=3-2t (3) s=3-2t (5)y=(x+3) (5)y=(x+3)-x-x (6)v=10r (6)v=10r2 21 1(4)y =(4)y =x - xx - x（是）（否）（是）（否）（否）（是）(7) y=x(7) y=x+x+x+25+25(8)y=2(8)y=2+2x+2x（否）（否）1 1y = x+y = x+x x(2)(2)1.下列函数中,哪些是二次函数?抓住机遇 展示自我
5、2222) 1()4()1 ()3(1)2() 1 (xxyxxyxyxy=是不是是不是先化简后判断、下列函数中，哪些是二次函数？2) 1()2)(2()5(=xxxyxxy1)2(2=32)4(2=xxy 23) 1 (2= xy( )( )( ) 否 是否否( )3)(2()3(=xxy是( )知识运用 、下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x-1 (2)y=3x2 (3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1 (5)y=x-2+x (6)y=x2-x(1+x)例1 1、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a.b.ca.b.c的值. .(1) y(1) y1-
6、(2)y1- (2)yx(xx(x5) 5) (3)y(3)y x x2 2 x x1 1 (4) y(4) y3x(23x(2x)x) 3x3x2 2 (5)y(5)y (6) y(6) y(7)y(7)y x x4 42x2x2 21 (8)y1 (8)yaxax2 2bxbxc c223x212312312 xx652 xx例1: 关于x的函数 是二次函数, 求m的值.mmxmy=2) 1(解: 由题意可得0122=mmm时，函数为二次函数。当解得，22=mm注意:二次函数的二次项系数不能为零练习、m取何值时，函数是y= (m+1)x +(m-3)x+m 是二次函数？ 122 mm知识运
7、用练习2、请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数的例子练一练: :（1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍。展示才智 3、若函数 为二次函数，求m的值。mm221)x(my=解：因为该函数为二次函数， 则=)2(01)1(222mmm解（1）得：m=2或-1解（2）得：11mm且所以m=2满足什么条件时当，是常数其中函数cb,a,)cb,a,c(bxaxy2=01a）解：（0, 0)2(=ba0, 0, 0) 3(=cba(2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？(1)它是二次函数?超级链接 如果函数y=(k-3) +kx+1y=
8、(k-3) +kx+1是二次函数, ,则k k的值一定是_ _ 2 2k k - - 3 3k k+ + 2 2x x敢于创新0如果函数y= +kx+1y= +kx+1是二次函数, ,则k k的值一定是_ _ 2 2k k - - 3 3k k+ + 2 2x x0,3知识的升华已知函数 (1) k(1) k为何值时，y y是x x的一次函数？ (2) k(2) k为何值时，y y是x x的二次函数？解（1 1）根据题意得 k=1k=1时,y,y是x x的一次函数。=002kkk22()2ykk xkxk=当时数2 2(2)k - k(2)k - k0,即0,即kk0且0且kk1 1y是y是x
9、的x的二二次次函函例2 2、当m m为何值时，函数y y(m(m2)x2)xm m2 22 24x4x5 5是x x的二次函数m-20且m2-2=2m2 m=2 m=-2练习：y y(m(m3)x3)xm m2 2m m4 4(m(m2)x2)x3 3，当m m为何值时，y y是x x的二次函数？ m=2小试牛刀 圆的半径是1cm,1cm,假设半径增加xcmxcm时, ,圆的面积增加ycmycm. .（1 1）写出y y与x x之间的函数关系表达式；（2 2）当圆的半径分别增加1cm, ,2cm1cm, ,2cm时, ,圆的面积增加多少？2cm2cm在种树问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子
10、的总产量最多？x-567891011 12 131415 -y-6037560420604556048060495605006049560480604556042060375问题再探究y=-5xy=-5x+100 x+60000,+100 x+60000,你能根据表格中的数据作出猜测吗？6037560455604806049560500604956048060455604206037560420你发现了吗？回味无穷定义中应该注意的几个问题: :小结 拓展 1.1.定义：一般地, ,形如y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数,a0),a0)的函数叫做x x的二次函数.
11、 .y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数,a0),a0)的几种不同表示形式: :(1)y=ax(1)y=ax(a0,b=0,c=0,).(a0,b=0,c=0,).(2)y=ax(2)y=ax+c(a0,b=0,c0).+c(a0,b=0,c0).(3)y=ax(3)y=ax+bx(a0,b0,c=0).+bx(a0,b0,c=0). 2.2.定义的实质是：axax+bx+c+bx+c是整式, ,自变量x x的最高次数是二次, ,自变量x x的取值范围是全体实数. .例2写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长
12、a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系（2）由题意得 其中y是x的二次函数；（3）由题意得 其中S是x的 二次函数)0(42=xxy解: （1）由题意得 其中S是a的二次函数；)0(62=aaS)260(1321)26(212=xxxxxS例3:已知关于x的二次函数,当x=1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析试.由题意得：为解：设所求的二次函数,2cbxaxy=724410=cbacbacba
13、5, 3, 2=cba解得，5322=xxy所求的二次函数是待定系数法4.4. 已知二次函数y=xy=x+px+q,+px+q,当x=1x=1时, ,函数值为4,4,当x=2x=2时, ,函数值为- 5, - 5, 求这个二次函数的解析式. .2,yxpxq=解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入 函数得：14425pqpq= 12,15.q=解得，p21215yxx=所求的二次函数是牛刀小试5.已知二次函数4) 1( 22= xy当x=1时,函数y有最小值为4x取任意实数（1 1）你能说出此函数的最小值吗？（2 2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？开动脑筋 注意: :当二次函数表示某
14、个实际问题时, ,还必须根据题意确定自变量的取值范围. .例如：圆的面积 y ( )y ( )与圆的半径 x x（cmcm) )的函数关系是 2cmy =x2其中自变量x能取哪些值呢？0 x问题：是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢？ 试一试:要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，设连墙的一边为x,巨形的面积为y,试(1)写出y关与x的函数关系式.(2)当x=3时,距形的面积为多少?)220() 1 (xxy=解：xx2022=(ox0，开口都向上;对称轴都是y轴;增减性相同顶点都是原点(0,0)22xy=只是开口大小不同 在同一坐标系中作二次函数y= x2和
15、y=2x2的图象，会是什么样? 探究探究.63t x( ) = x xu x( ) = 2xx1.列表：2.描点：3.连线：xy=2x2-201-12y=x2y= x212顶点坐标例2.画出函数y=x2、y=2x2、y= x2的图象：12y=x2y=2x2y= x212a0，开口都向上;对称轴都是y轴;增减性相同只是开口大小不同顶点都是原点(0,0)探究.64f1x( ) = -2xxg1x( ) = -12xx1.列表：2.描点：3.连线：xy=-2x2-201-12y=-x2y=- x212顶点坐标例3.画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象：12y=-x2y=-2x2y=-
16、 x212y=x2y=2x2y= x212a 0)y= ax2 (a 0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的_，a 越大，抛物线的开口越_;当a 0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的_，a 越大，抛物线的开口越_;当a 0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；当a0)y= ax2 (a0)y=ax2 +c(a0时抛物线,与Y轴交于正半轴当c0时,抛物线与Y轴交于负半轴.当c0时,.抛物线,与Y轴交于正半轴向上向下当x=0时,最小值为c.当x=0
17、时,最大值为c.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：caxy=2caxy=2.81二次函数y=ax+c与=ax的关系w1.相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同. w(2)都是轴对称图形, 对称轴都是y轴.w(3)都有最(大或小)值.(4)a0时, 开口向上,在y轴左侧,y都随x的增大而减小,在y轴右侧,y都随 x的增大而增大. a0时向上平移;当c0k0a0c0c0(0,c).861、抛物线 向上平移3个单位，得到抛物线 ；2、抛物
18、线 向 平移 个单位，得到抛物线 。231xy =422=xy322=xy.87九年级数学(下)第二十六章 二次函数n二次函数y=ax2与y=a(x-h)2图象和性质.88在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 和 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点。比较一下它们的值之间有何内在联系。2) 1(21=xy2) 1(21=xy先列表：x -4-3-2-1012342) 1(21=xy2) 1(21=xy2102129222921021292229.89x -4-3-2-1012342) 1(21=xy221xy=2) 1(21=xy21021292229210212922292102129
19、2229yxo1可以看出，抛物线 的开口方向_、对称轴是经过点(1，0)且与x轴垂直的直线，我们把它记作 ，顶点是_。2) 1(21=xy2) 1(21=xy向下(1，0)1=x1=x(1，0)向下(1，0).901 1-1-1-2-2-3-3-4-4-5-5-6-6-7-7-8-8-9-9-8-8-6-6-4-4-2-22 24 46 68 8yx0212yx= 2) 1(21=xy2) 1(21=xy（2）抛物线 与抛物线 有什么位置关系？221xy=22) 1(21,) 1(21=xyxy把抛物线 向左平移1个单位，就得到抛物线把抛物线 向右平移1个单位，就得到抛物线221xy=2) 1
20、(21=xy221xy=2) 1(21=xy（3）它们的位置由什么决定的？.91用平移观点看函数： 抛物线 可以看作是由抛物线 平移得到。xyo2)(hxay=2axy =(1)当h0时，向右平移 个单位；h(2)当h0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴(x=h)右侧,y随着x的增大而增大;当x=h时函数y的值最小(是0).当a0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展;当a0时,向右移 个单位;当h0a0h0h0(,0).96 说出下列二次 函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性 (1) y=2(x+3)2 (2) y=
21、-3(x -1)2 (3) y=5(x+2)2 (4) y= -(x-6)2 (5) y=7(x-8)2向上, x= - 3, ( - 3, 0)向下, x= 1, ( 1, 0)向上, x= - 2, ( - 2, 0)向下, x= 6, ( 6, 0)向上, x= 8, ( 8, 0).971.函数y=-2（x+3）2的图象的对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x= 时，y有最 值为 。2.把二次函数y=-3x2往左平移2个单位，再与x轴对称后，所形成的二次函数的解析式为 。3、已知抛物线y=a(x+h)2的顶点是（-3，0）它是由抛物线y=-4x2平移得到的，则a= ，h= 。 4、把抛物线y=
22、(x+1)2向 平移 个 单位后，得到抛物线y=(x-3)25、把抛物线y=x2+mx+n向左平移4个单位，得到抛物线y=(x-1)2,则m= ,n= .98二次函数y=a(x-h)2的性质.顶点坐标与对称轴.位置与开口方向.增减性与最值开口大小抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2 (a0)y=a(x-h)2 (a0a0k0k0(0,k)在对称轴左侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而减小.103ya(x-)2a0a0h0h0(,0).104Oxy1 2 3 4 5123455 4 3 2 1 5 4 3 2 1 231xy=（0,3）（0,-3）如何由
23、2x31y=的图象得到 3312=xy3312=xy的图象。上下平移、3312=xy3312=xy.105Oxy1 2 3 4 5123455 4 3 2 1 5 4 3 2 1 231xy=()2231=xy()2231=xyx= - 2(-2,0)(2,0)x= 2如何由 231xy=的图象得到 2)2(31=xy2)2(31=xy的图象。、左右平移.106k0k0a0时, , 开口向上; ;当a0a0)y=a(x-h)2+k(a0时,向左平移h个单位当h0时,向上平移c个单位当c0)y=ax2(a0)y=a(x+h)2 (a0时,向左平移h个单位当h0时,向上平移k个单位当k0)y=a(
24、x+h)2+k(a0)（-h-h，k k）（-h，k）直线x=-h直线x=-h向上向下当x=-h时,最小值为k.当x=-h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 指出下列函数图象的开口方向, ,对称轴和顶点坐标. .( )()53212=xy( )()215 . 02=xy( )14332=xy( )()52242=xy( )()245 . 052=xy( )()23436=xy开口 对称轴 顶点坐标向上直线x=3(3,5)向下直线x= 1(1,0)向下直
25、线x=0(0,1)向上直线x=2(2, 5)向上直线x= 4( 4,2)向下直线x=3(3,0).1351抛物线的上下平移（1）把二次函数的图像，沿y轴向上平移个单位，得到_的图像；（2）把二次函数_的图像，沿y轴向下平移2个单位，得到的图像.考考你学的怎么样：y=(x+1)2+3y=x2+3.1362抛物线的左右平移（1）把二次函数的图像，沿x轴向左平移个单位，得到_的图像；（2）把二次函数_的图像，沿x轴向右平移2个单位，得到的图像.y=(x+4)2y=(x+2)2+1.1373抛物线的平移：（1）把二次函数的图像，先沿x轴向左平移个单位，再沿y轴向下平移2个单位，得到_的图像；（2）把二
26、次函数_的图像，先沿y轴向下平移2个单位，再沿x轴向右平移3个单位，得到的图像.y=3(x+3)2-2y=-3(x+6)2.138()2121=xy4.4.抛物线的顶点坐标是_；()2121=xy向上平移3 3个单位后，顶点的坐标是_；5.5.抛物线()31212=xy的对称轴是_. .6.6.抛物线 (-1,0) (-1,3)x=-1.1397把二次函数的图像, 沿x轴向 _ 平移_个单位，得到图像的对称轴是直线x=3.8把抛物线，先沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到_的图像9把二次函数的图像，先沿x轴向左平移个单位，再沿y轴向下平移2个单位，得到_ 右2y=-3x2-1
27、(-3,-2)10.如图所示的抛物线：当x=_时，y=0；当x0时， y_0；当x在 _ 范围内时，y0；当x=_时，y有最大值_.3 0或-22 x0;解：二次函数图象的顶点是(1,-1)，设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1，其图象过点(0,0)，0= a(0-1)2-1，a=1y= (x-1)2-1x20 x0)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0 B. 0 B. 0=0 D. 01xyo-15.5.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2 2个单位, ,再向下平移3 3个单位, ,得抛物线y=x2+bx+c, ,则（ ） A.b=2 A.b=2 c= 6 B.b=-
28、6 , c=6 B.b=-6 , c=6 C.b=-8 C.b=-8 c= 6 D.b=-8 , c=18 D.b=-8 , c=18 B B-2ab4a4ac-b26.6.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是 ( )( )7.7.在同一直角坐标系中, ,二次函数 y=ax2+bx+c 与一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （ ）xyoxyoxyoxyoABCD-3-3-3-3xyoxyoxyoxyoABCDCC二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)的图象和性质.顶点坐标与对称轴.位置与开口方向.增减
29、性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)y=ax2+k(a0)y=a(x-h)2(a0)y=a(x-h)2 +k(a0)y= ax2 +bx+c(a0)w1.相同点: w(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). w(2)都是轴对称图形. w(3)都有最(大或小)值.(4)a0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.a0时,向右平移;当 0时向上平移;当 0?y0? y= _（x_1)2 y= -x2 y= _（x_1)2+4 y
30、= -x2+4 xyM(1,4)x=101- -133当x=1或3时，y=0； 当1x0 ； 当x3 或x1时，y0 平移: y= x2+2x+3 = （x_1)2+4 ,y= -x2+2x+3.262小结：二次函数y=ax2+bx+c(a 0）性质 开口方向由a决定，a0，开口向上； a0，开口向下。 对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标（ -b/2a，4ac-b2/4a)。图象是抛物线。 当a 0，y有最小值是4ac-b2/4a 。 当x -b/2a时，y随x的增大而减小， 当x -b/2a时，y随x的增大而增大 当a 0，y有最大值是4ac-b2/4a 当x -b/2a时，y随x的增大而
31、增大， 当x -b/2a时，y随x的增大而减小 .263(1)在抛物线y= -x2+2x+3上是否存在点P（点C除外），使ABP面积等于ABC面积?解：假设存在满足条件的点P，则作PQx轴 SABp = SABC, ABPQ/2= ABOC/2, PQ=CO=3, |y|=3， 3= -x2+2x+3, x1=0,x2=2 。p(2,3) 或-3= -x2+2x+3， x2_2x-6=0 x=17，p(1+7,-3),p(1-7 ,-3)xy03B-1C3PQA.264(2)二次函数y= -x2+2x+3的顶点为M，当M在对称轴上移动时，抛物线与 x轴有两个交点E(x1,0),F(x2,0)(
32、x10)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(ax20,试比较y1与y2的大小.279练习二：一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线。（1）求铅球所经过的路线的函数解析式和自变量取值范围。（2）铅球的落地点离运动员有多远？y(m)x(m)o(0,1.5)(4,3).280w(1).每个图象与x轴有几个交点？w(2).一元二次方程x x2 2+2x=0,x+2x=0,x2 2-2x+1=0-2x+1=0有几个根? ?验证一下一元二次方程x x2 2-2x+2=0-2x+2=0有根吗? ?w(3).(3).二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和x x轴交点的坐标
33、与一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根有什么关系? ?二次函数与一元二次方程 w二次函数y=xy=x2 2+2x,y=x+2x,y=x2 2-2x+1,y=x-2x+1,y=x2 2-2x+2-2x+2的图象如图所示. .y=xy=x2 2+2x+2xy=xy=x2 2-2x+1-2x+1y=xy=x2 2-2x+2-2x+2.281w(3).(3).二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和x x轴交点有三种情况: :w 有两个交点, ,w 有一个交点, ,w 没有交点. .w 当二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和x x轴有交点时
34、, , 交点的横坐标就是当y=0y=0时自变量x x的值, ,即一 元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根. .w(3).(3).二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和x x轴交点的坐标与一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根有什么关系? ?.282抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？0=00OXY.283w(3).(3).二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和x x轴交点的坐标与一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根有什么关系? ?二次函数y=axy=ax2 2+bx+c
35、+bx+c的图象和x x轴交点一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0根的判别式=b=b2 2-4ac-4ac有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac 0b2-4ac 0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac = 0b2-4ac = 0没有交点没有实数根b2-4ac 0b2-4ac 0.284求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。解：A、B在x轴上， 它们的纵坐标为0， 令y=0，则x2-3x+2=0 解得：x1=1，x2=2； A（1，0） ， B（2，0）你发现方程 的解x1、x2与A、B的坐标有
36、什么联系？x2-3x+2=0举例:.285结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ ）， B（ ）x1，0 x2，0 xOABx1x2y.286二次函数图象y=ax2+bx+c如果图象的顶点在x轴上，则如果图像的顶点在y轴上，则二次函数图象y=-x2+2（m-1）x+2m-m2（1）图像关于y轴对称，则m =（2）图像经过原点，则m=（3）图像与坐标轴只有2个交点，则m=.287( 1 )
37、图象过A(0，1) 、B（1，2）、C（2，-1）三点 (1) 已知抛物线y=ax2+bx+c满足下列条件,求函数的解析式.（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c图象过A(0，1) 、B（1，2）、C（2，-1）三点=122211100222cbacbacba=132cbay= -2x2+3x+1求函数的解析式的几种方法.288（2）图象顶点是（-2，3），且经过点（-1，5）解：图象顶点是（-2，3）设其解析式为y=a（x+2）2+3图象经过点（-1，5）5=a（-1+2）2+3a=2y=2（x+2）2+3.289xyo解：A(1，0)，对称轴为x=2抛物线与x轴另一个交点C应为（
38、3，0）设其解析式为y=a(x-1)(x-3)B（0，-3）-3=a（0-1）（0-3）a= -1y= -(x-1)(x-3)（3）图象经过A（1，0）、B（0，-3），且对称轴是直线x=21AB -3C32.2904、求满足下列条件的抛物线的解析式：经过点A（2，4），B（-1，0）且在x轴上截得的线段长为2解： B（-1，0）且在x轴上截得的线段长为2抛物线与x轴的另一个交点坐标为C（-3，0）或C（1，0）设抛物线的解析式为y=a（x- x1）（x- x2）当抛物线经过B、C两点时，解析式为y=a（x+1）（x+3）又抛物线经过A（2，4）4=a（2+1）（2+3）当抛物线经过B、C 两
39、点时，解析式为y=a（x+1）（x-1）解法同(1)xyoB-1- 31CCa=154y= （x+1）（x+3）154.291例2：已知抛物线y=（x+1）2-2，将此抛物线分别作轴对称变换，请分别求出变换后的抛物线。（1）关于x轴作轴对称变换（2）关于y轴作轴对称变换（-1，-2）（-1，2）(-1,-2)(1,-2).292已知抛物线y=x2-2x-3，将其图像作以下对称，请写出对称后的抛物线。（1）关于x轴作轴对称变换（2）关于y轴作轴对称变换.293已知抛物线y=x2-2x-3，将其图像作以下对称，请写出对称后的抛物线。 （1）关于顶点中心对称（2）关于原点中心对称函数y=a(x+m)
40、2+k若关于顶点对称，则变为y=-a(x+m)2+k若关于原点对称，则变为y=-a(x-m)2-k例3：(1,-4)(1,-4)(-1,4)(1,-4).294.295xyo1-3-2练习1、 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示对称轴x=_顶点坐标:_当x=_时,y有最_值是_函数值y0时,对应x的取值范围是_函数值y=0时,对应x的取值范围是_当x_时,y随x的增大而增大.-1(-1,-2)-1 小-2-3x1x1-3或1-1.296练一练：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 b2-4ac的符号：xyo.297练一练：已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所
41、示，则点M（ ，a）在（ ）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 cbxoyD.298练习2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论a+ b + c0 abc0 b=2a。其中正确的结论的个数是（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个xyO-11mnD.299已知：一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致图象是图中的（ ）练一练：xyoxyoxyoxyo（A）（B）（C）（D）C.300 xyo 已知二次函数 图象，尽可能多的说出一些结论.(-1,0)(3,0)(0,-3)数形结合（1）a 0，b 2x+323yx=
42、2yx=.308你知道 的解的个数吗？222xxx=.3094,将抛物线y=x2向下平移后,使它的顶点C与它在x轴上的两个交点A,B组成等边三角形ABC,求此抛物线的解析式.3105,已知二次函数y=2x2+8mx+2m+3,如果它的图像的顶点在x轴上,求m的值和顶点坐标.6,已知抛物线y=0.25x2,把它的顶点移到x轴上的点A, 所得的抛物线与y轴交于点B,且线段OA,OB满足关系OA-1 =OB,试说明平移方法.311.312练习一：一座拱桥的示意图如图，当水面宽12m时，桥洞顶部离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么？如果以水平方向为x
43、轴，取以下三个不同的点为坐标原点：（1）点A，（2）点B，（3）抛物线的顶点C得的函数解析式相同吗？请试一试。哪种取法求得的函数解析式最简单？ABC4m12m.313.314.315EDBCOAxy练习2、已知m,n是方程x2-6x+5=0的两个实数根，且mn,抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A(m,0),B(0,n)(1)求这个抛物线的解析式(2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D,试求出点C,D的坐标和三角形BCD的面积.316已知抛物线yax2bxc与Y轴交于点A(0,3),与X轴分别交于B(1,0),C(5,0)两点（1）求此抛物线的解析式（2）若点D为线段O
44、A的一个三等份点，求直线DC的解析式（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达X轴上的某点（设为点E）,再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F）,最后运动到点A,求使点P运动的总路径最短的点E,F的坐标，并求出这个最短路径长.3173、（07.烟台）如图,已知抛物线L1y=x2-4的图像与x轴交于AC两点, (3)探索：当点B分别位于L1在x轴上下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在,判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由(2)若点B是抛物线L1上的一动点(B不与AC重合)，以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶
45、点定为D，求证：点D在L2上； (1)若抛物线L1与L2关于x轴对称，求L2 的解析式；.318二次函数图象的性质.319 的图像，利用函数图像回答：例3 画出2286yxx= (1)x取什么值时，y0？(2)x取什么值时，y0？(3)x取什么值时，y0？(4)x取什么值时，y有最大值或最小值？.320（2,2）x=2（0,6）（1,0）（3,0）（4,6）2286yxx= 由图像知： 当x1或x3时， y0；(2)当1x3时， y0；(3)当x1或x3时， y0；(4)当x2时， y有最大值2。xy.321 与y轴的交点坐标为（0，c）(6)抛物线2yaxbxc=与坐标轴的交点抛物线2yax
46、bxc=2yaxbxc=() ()12,0 ,0 xx12,x x20axbxc=抛物线与x轴的交点坐标为，其中为方程的两实数根.322归纳知识点：抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定开口向上a0开口向下a0交点在x轴下方c0与x轴有一个交点b2-4ac=0与x轴无交点b2-4ac0归纳知识点：简记为：左同右异.324归纳知识点：抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（5）a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定（6）a-b+c的符号：由x=-1时抛物线上的点的位置确定你还可想到啥？.325快速回答：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a
47、、b、c、的符号：xoy.326抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：xyo快速回答：.327抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：xyo快速回答：.328抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：xyo快速回答：.329抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：xyo快速回答：.330练一练：1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（ ，a）在（ ）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 cbxoyD.331练一练：2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，
48、下列结论中：b0；c0；4a+2b+c 0；（a+c)2b2，其中正确的个数是 （ ）A、4个 B、3个C、2个 D、1个xoyx=1B.332练一练：3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：abc0；b=2a；a+b+c0；a+b-c0; a-b+c0正确的个数是 （ ）A、2个 B、3个C、4个 D、5个xoy-11C.333.334例4 已知抛物线()247,yxkxk=k取何值时，抛物线经过原点；k取何值时，抛物线顶点在y轴上；k取何值时，抛物线顶点在x轴上；k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。.335 ，所以k4，所以当k4时，抛物线顶点在y轴上。 ，所以k7
49、，所以当k7时，抛物线经过原点；抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即解：抛物线经过原点，则当x0时，y0，所以()200407kk=()4022 1kba= =.336 ，所以当k2或k6时，抛物线顶点在x轴上。抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即()()224 1744044 1kkacba =24120kk=122,6kk= ，整理得，解得：由、知，当k4或k2或k6时，抛物线的顶点在坐标轴上。()()224 1744044 1kkacba =.337所以当x2时， 。解法一（配方法）：2281yxx=()22277x= 7y最小值()224
50、1xx=()224441xx=例5 当x取何值时，二次函数 有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？2281yxx=.338因为所以当x2时， 。因为a20，抛物线 有最低点，所以y有最小值， 2281yxx=()224 2 18842,722 244 2bacbaa = = 7y最小值总结：求二次函数最值，有两个方法(1)用配方法；(2)用公式法解法二（公式法）：.339又例6已知函数 ，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。211322yxx= 解法一： ， 102a = 抛物线开口向下， ()21169922xx= ()21913222x= ()21352x= 对称轴是直线x3
