1、平面与平面的垂直关系一、平面与平面垂直一、平面与平面垂直1平面与平面垂直的定义平面与平面垂直的定义如果两个平面所成的如果两个平面所成的二面角是直角二面角是直角（即成直（即成直二面角），就说这两个平面互相垂直二面角），就说这两个平面互相垂直思考：思考：如果你是一个质检员，你怎样去检测、如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建筑中的一面墙和地面是否垂直呢？判断建筑中的一面墙和地面是否垂直呢？平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.a简记：线面垂直，则面面垂直. 面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直线线垂直线线垂直aa 面符号语言: 如果一个平面经过另一
2、个平面的一条垂线，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直那么这两个平面互相垂直 已知：AB，AB （图1）求证：。AB，CD ， 两个平面垂直的判定定理两个平面垂直的判定定理证明：证明：设设=CD，ABCD在平面在平面内过点内过点B作直线作直线BECD，则则ABE是二面角是二面角-CD-的平面角，的平面角，而而ABBE，故，故-CD-是直二面角是直二面角。探究1：ACBDA1C1B1D111AAB BABCD面面CCBBBBAA1111面面面面111111DCBABBAA面面面面DDAABBAA1111面面面面面面垂直线面垂直线线垂直如图为正方体,请问哪些平面与面 垂直?
3、11AAB B,ABBCD BCCD已知面请问哪些平面是互相垂直的,为什么?BCDABC面面ACDABC面面BCDABD面面BCDAB面ABCCD面BCDAB面ABCD探究2：3.两个平面垂直应用举例两个平面垂直应用举例例例1:1: AB AB是是O的直径，的直径，PAPA垂直于垂直于 O所所在的平面，在的平面，点点C C是是O上不同于上不同于A,BA,B的任的任一点，求证：平面一点，求证：平面PACPAC平面平面PBCPBCPABCO4.在解题时注意应用.3.证明面面垂直要从寻找面的垂线入手;2.理解面面垂直的判定都要依赖面面垂直的定义;1.定义面面垂直是在建立在二面角的平面角的基础上的;小
4、结：直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质2.线面垂直判定定理：线面垂直判定定理： 如果一条直线和一个平面内如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。 1.线面垂直线面垂直定义：定义： 如果一条直线和一个平面内的任何一如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直。条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直。 复习回顾：复习回顾：3.平面与平面垂直平面与平面垂直的定义的定义:如果两个平面所成的二面角是如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就说
5、这两个平面互相垂直直角（即成直二面角），就说这两个平面互相垂直4.两个平面垂直的判定定理两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质 在平面内，如果两条直线同时垂直于另一条直在平面内，如果两条直线同时垂直于另一条直线，那么这两条直线平行。在空间中有相同或者类线，那么这两条直线平行。在空间中有相同或者类似的结论吗？似的结论吗？ 观察下面的长方体，找出所有标记的线面之间观察下面的长方体，找出所有标记的线面之间 的位置关系。的位置关系。线面垂直的性质定理线面垂
6、直的性质定理1：垂直于同一个平面的两条直线平行。垂直于同一个平面的两条直线平行。 aa/ /ab/ /ab线面垂直的性质定理线面垂直的性质定理2：垂直于同一条直线的两个平面平行。垂直于同一条直线的两个平面平行。 如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线是否一定垂直于另一个平面?思考思考1：思考思考2：黑板所在平面与地面所在平面垂直，黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直你能否在黑板上画一条直线与地面垂直?思考思考3：如果两个平面互相垂直，那么在第一个如果两个平面互相垂直，那么在第一个平面内垂直于交线的直线，是否垂直于第二个平平面内垂直于交线的直线，是否垂直于第二个平面
7、呢？面呢？ 分析分析在在内作内作BECD。要证。要证AB，只需，只需证证AB垂直于垂直于内的两条相交直线就行。内的两条相交直线就行。思考思考2：如图如图2，AB ，ABCD，=CD，求证：，求证：AB。 两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理1两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直线与另一个平面垂直 而我们已经有而我们已经有ABCD，只需寻求另一条就够了。，只需寻求另一条就够了。而我们还有而我们还有这个条件没使用，由这个条件没使用，由定义，定义，则则ABE为直角，即有为直角，即有ABBE，也就有，也就有 AB，问题也就得到解决问
8、题也就得到解决 思考思考3：设平面设平面 平面平面，点，点P在平面在平面内，过内，过点点P作平面作平面的垂线的垂线a，直线，直线a与平面与平面具有具有什么位置关系？什么位置关系？ cP已知：已知： ，P ，Pa , a .求证：求证：a 证明：证明：设设 = c，过点，过点P在平面在平面 内内, 作直线作直线b c，根据上面的定理有，根据上面的定理有b.因为经过一点只能有一条直线与平面因为经过一点只能有一条直线与平面垂直，垂直，所以直线所以直线a应与直线应与直线b重合重合.所以所以a .ab cPba两个平面垂直的两个平面垂直的性质定理性质定理2 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面如果两
9、个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内面内 两个平面垂直的两个平面垂直的性质定理性质定理1 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直直线与另一个平面垂直 1给出下列四个命题：给出下列四个命题：垂直于同一个平面的两个平面平行；垂直于同一个平面的两个平面平行；垂直于同一条直线的两个平面平行；垂直于同一条直线的两个平面平行；垂直于同一个平面的两条直线平行；垂直于同一个平面的两条直线平行；垂直于同一条直线的两条直线平行垂直于同一条直线的两条直线平行其中正确的命题的
10、个数是（其中正确的命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4B 课堂练习：课堂练习：2给出下列四个命题：（其中给出下列四个命题：（其中a，b表示直线，表示直线，表示平面）。表示平面）。若若ab，a，则，则b；若若a，则，则a；若若，则，则；若若，a，则，则a。其中不正确的命题的个数是（其中不正确的命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4D 3已知两个平面垂直，下列命题已知两个平面垂直，下列命题 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；的任意一条直线； 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；面的无
11、数条直线； 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；平面； 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面此垂线必垂直于另一个平面.其中正确的个数是（其中正确的个数是（ ）（A）3 （B）2 （C）1 （D）04若两个平面互相垂直，在第一个平若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线面内的一条直线a垂直于第二个平面内垂直于第二个平面内的一条直线的一条直线b，那么（，那么（ ）（A）直线）直线a垂直于第二个平面垂直于第二个平面; （B）直线）直线b垂直于第一个平面垂直于第一个平面;（C）直线）直线a不一定垂
12、直第二个平面不一定垂直第二个平面; （D）过）过a的平面必垂直于过的平面必垂直于过b的平面的平面.1位置关系位置关系的的与平面与平面，试判断直线，试判断直线，满足满足，直线，直线，：已知平面：已知平面例例 aaaa , . b解：解：在在 内作垂直于内作垂直于 与与 交线的直线交线的直线b，, a又又./ba, a又又./ a即直线即直线a与平面与平面 平行。平行。22小结：小结：1.线面垂直的性质定理：线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。垂直于同一个平面的两条直线平行。垂直于同一条直线的两个平面平行。垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性
13、质定理1两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直与另一个平面垂直 3.两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理2如果两个平面垂直，那么经过第一个平面的一点如果两个平面垂直，那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内 练习：如图，正三棱柱练习：如图，正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的各棱长都的各棱长都等于等于a a，D D、F F分别是分别是ACAC1 1、BBBB1 1的中点，的中点，（1 1）求证：）求证：DF/DF/面面A A1 1B B1 1
14、C C1 1（2 2）求证：）求证：DFACDFAC1 1,DFBB,DFBB1 1（3 3）求二面角）求二面角F-ACF-AC1 1-C-C的大小。的大小。AA1BB1C1CFDAA1BB1C1CFDEAA1BB1C1CFD例例1 1：如图，：如图，PAPA矩形矩形ABCDABCD所在平面，所在平面，M M、N N是是边边AB AB 、PCPC的中点，的中点，PA=ADPA=AD，求证：（求证：（1 1）MN/MN/面面PADPAD （2 2）面）面MND MND 面面PDCPDCPDCBANMBFECPA例例2 2：如图，已知：如图，已知ABAB是圆是圆O O的直径，的直径，C C是圆周上
15、是圆周上不同于不同于A A、B B的点，的点，PAPA垂直于圆垂直于圆O O所在的平面，所在的平面，AEPBAEPB于于E E， AFPFAFPF于于F F。求证：面求证：面AEFAEF面面PABPAB例例4 4：已知正方体的棱长是：已知正方体的棱长是a,a,求点求点C C到面到面A A1 1BDBD的的距离及直线距离及直线A A1 1C C与面与面A A1 1BDBD所成的角；所成的角；ABCDA1D1C1B1.,2,2,160(1)SABCDABCDSDABCD ADDCSDMSCABMMSCSAMB已知四棱锥中 底面为矩形，底面点在侧棱上，证明：为侧棱的中点；（2）求练习二面角的大小。=
16、,2.,PCABC AB BCCAPCBPA C练习 已知平面求二面角的平面角的正切值。.,3ABCDAPAABCDPAABaBPCDPABPCD过正方形的顶点 作平面设(1）求二面角的大小。（2）平面和平面所成二面练习角的大小。.,60 , ,(2)246PABCDPAABCDABCE FBC PCAEPDHPDEHPADEAFC已知四棱锥底面为菱形，分别是的中点，(1）证明：为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的练习余弦值。.,3,2,2,2 2,60;(2)5PABCDABCDABADPAPDPABADPABPCADPBDA已知四棱锥底面为矩形，(1）证明：平面求异面直线与所成的角的余弦值；（3）求二面角的平面练习角的正切值。例例3 3：如图，：如图，,是三个平面，满足是三个平面，满足,=a,=a,求证：求证：aaa练习：已知练习：已知,是三个平面，满足是三个平面，满足, /, /，求证：，求证：两个平面垂直的性质定理： 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
