1、 最新最新中考总复习中考总复习第二轮第二轮 中考题型突破中考题型突破专题六专题六 代数与几何综合代数与几何综合【题型题型 1】以二次函数为母图，结合三以二次函数为母图，结合三角形、四边形等图形知识角形、四边形等图形知识【例例1】（2015重庆市）如图，抛物线重庆市）如图，抛物线 y=-x2+2x+3 与与 x 轴交轴交于于 A，B 两点（点两点（点 A 在点在点 B 的左侧），与的左侧），与 y 轴交于点轴交于点 C，点，点 D和点和点 C 关于抛物线的对称轴对称，直线关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 与与 y 轴相交于点轴相交于点E.（1）求直线）求直线 AD 的解析式；的解析式；（2）如
2、图，直线）如图，直线 AD 上方的抛物线上有上方的抛物线上有一点一点 F，过点，过点 F 作作 FGAD 于点于点 G，作，作 FH 平行于平行于 x 轴交直线轴交直线 AD 于点于点 H，求，求FGH 的周长的最大值；的周长的最大值；（3）点）点 M 是抛物线的顶点，点是抛物线的顶点，点 P 是是 y 轴上一点，点轴上一点，点 Q 是坐标平面内一点，以是坐标平面内一点，以 A，M，P，Q 为顶点的四边形是为顶点的四边形是 AM 为边的矩形，若点为边的矩形，若点 T 和和点点 Q 关于关于 AM 所在直线对称，求点所在直线对称，求点 T 的坐标的坐标.思路点拨：（思路点拨：（1）根据题意得出点
3、）根据题意得出点 A 和点和点 D 的坐标，然后利用的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式；待定系数法求出函数解析式；（2）过点）过点F作作x轴的垂线，交直线轴的垂线，交直线 AD 于点于点N，得出，得出FHG=OAE=45，从而证得，从而证得 FG=GH= FH= FN，然后设点，然后设点 F的坐标，求出的坐标，求出 FN 的长度，从而根据周长的长度，从而根据周长=FN+2 得出与得出与 m 的函数关系式，将的函数关系式，将函数化成顶点式，求出最大值；函数化成顶点式，求出最大值；（3）本问分）本问分 AP 为对角线和为对角线和 AQ 为对角线为对角线两种情况分别进行计算，若两种情况分别进行
4、计算，若 AP 为对角线，为对角线，画出图形，求出点画出图形，求出点 P 的坐标，根据图形的的坐标，根据图形的平移得出点平移得出点 Q 的坐标，从而得出点的坐标，从而得出点 Q 关于直线关于直线 AM 的对称点的对称点 T 的坐标，若的坐标，若 AQ 为对角线，根据题意画出图形，得到点为对角线，根据题意画出图形，得到点P 的的坐标，根据平移得到点坐标，根据平移得到点 Q 的坐标，然后求出点的坐标，然后求出点 Q 关于直线关于直线 AM 的对称点的对称点 T 的坐标的坐标.22222FN解：解：(1) 当当 y=0时，时，-x2+2x+3=0，解得，解得x1=-1，x2=3. 点点 A(-1，0
5、)，B(3，0). 当当 x=0 时，时，y=3，C(0，3). 当当 y=3 时，时，-x2+2x+3=3. 解得解得 x1=0，x2=2D(2，3). 设直线设直线 AD 的解析式为的解析式为 y=kx+b, 得得 解得解得 直线直线 AD 的解析式为的解析式为 y=x+1.，032kbkb ，11.kb (2) 过点过点 F 作作 x 轴的垂线，交直线轴的垂线，交直线 AD 于点于点 N， 由直线由直线AD：y=x+1与与 y 轴交于点轴交于点 E，易得，易得 E(0，1). 在在 RtAOE 中，中，OA=OE，OAE=45. FHx轴，轴，FHG=45. 在在 RtFGH 中，中，F
6、G=GH= FH. 又又FNx轴，轴，FHFN在在 RtFNH 中，中，FN=FH. 设设 F(m，-m2+2m+3)，则，则 N(m,m+1)， FN=-m2+2m+3-(m+1)=-m2+m+2，则，则FGH 的周长为的周长为 故故FGH 的最大周长为的最大周长为222199 22(12)(12)().242FNFNFNm 99 2.4 （3）若）若 AP 为对角线，如图为对角线，如图 1.易证易证PMSMAR， 解得解得MS= .PO= ，P(0， ).QA 可看成是由可看成是由 PM 平移得到的，由点平移得到的，由点的平移可知的平移可知 Q(-2， ).点点 Q 关于直线关于直线 AM
7、 的对称点的对称点 T 的坐标的坐标为（为（0，- ）.若若 AQ 为对角线，为对角线， 如图如图 2.同理可知同理可知 P(0，- )，Q(2， )，故点，故点 Q 关于直线关于直线 AM的对称点为的对称点为 T(0， ).，MSPSARMR 1292921212127292【题型题型 2】以三角形、四边形为母图，以三角形、四边形为母图，结合二次函数等函数结合二次函数等函数【例例2】（2015衡阳市）如图，四边形衡阳市）如图，四边形 OABC 是边长为是边长为4 的正方形，点的正方形，点 P 为为 OA 边上任意一点（不与点边上任意一点（不与点 O，A 重合），连接重合），连接 CP，过点，
8、过点 P 作作 PMCP 交交 AB 于点于点 D，且且 PM=CP，过点，过点 M 作作 MNOA，交，交 BO 于点于点 N，连，连接接ND，BM，设，设 OP=t（1）求点）求点 M 的坐标（用含的坐标（用含 t 的代数式表示）的代数式表示）（2）试判断线段）试判断线段 MN 的长度的长度是否随点是否随点 P 的位置的变化而改的位置的变化而改变？并说明理由变？并说明理由（3）当）当 t 为何值时，四边形为何值时，四边形 BNDM 的面积最小的面积最小解：解：(1) 作作 MEx 轴于轴于 E，如图所示，如图所示， 则则MEP=90，MEAB MPE+PME=90 四边形四边形OABC 是
9、正方形，是正方形， POC=90，OA=OC=AB=BC=4， BOA=45. PMCP，CPM=90 MPE+CPO=90PME=CPO 在在MPE 和和PCO 中，中， MPE PCO（AAS） ME=PO=t，EP=OC=4OE=t+4 点点M的坐标为（的坐标为（t+4，t），90MEPPOCPMECPOPMCP （2）线段）线段 MN 的长度不发生改变的长度不发生改变 理由如下：连接理由如下：连接 AM，如图所示，如图所示 MNOA，MEAB，MEA=90， 四边形四边形 AEMF 是矩形是矩形 又又EP=OC=OA， AE=PO=t=ME 四边形四边形 AEMF 是正方形是正方形 M
10、AE=45=BOA AMOB 四边形四边形 OAMN 是平行四边形是平行四边形 MN=OA=4 线段线段 MN 的长度不发生改变的长度不发生改变.（3）MEAB，PADPEM MNOA，ABOA，MNAB 四边形四边形 BNDM 的面积的面积 S 是是 t 的二次函数的二次函数 0，S 有最小值，即当有最小值，即当 t=2 时，时，S 的值最小的值最小. 当当 t=2 时，四边形时，四边形 BNDM 的面积最小的面积最小，即即4.4ADAPADtMEEPt 21.4ADtt 22114()4.44BDABADtttt 2211114(4)(2)6.2242SMN BDttt 12【题型题型 3
11、】函数与圆的综合题函数与圆的综合题【例例3】（2015济宁市）如图，济宁市）如图， E 的圆心的圆心 E(3，0)，半，半径为径为 5， E 与与 y 轴相交于轴相交于 A，B 两点（点两点（点 A 在点在点 B 的上的上方），与方），与 x 轴的正半轴交于点轴的正半轴交于点 C，直线，直线 l 的解析式为的解析式为y= x+4，与，与 x 轴相交于点轴相交于点 D，以点，以点 C 为顶点的抛物线过为顶点的抛物线过点点 B（1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2）判断直线）判断直线 l 与与 E 的位置的位置关系，并说明理由；关系，并说明理由；（3）动点）动点 P 在抛物线上，当点在抛
12、物线上，当点P 到直线到直线 l 的距离最小时，求出的距离最小时，求出点点 P 的坐标及最小距离的坐标及最小距离34 思路点拨：思路点拨：（1）连接）连接 AE，由已知得：，由已知得：AE=CE=5，OE=3，利用勾股定，利用勾股定理求出理求出 OA 的长，结合垂径定理求出的长，结合垂径定理求出 OC 的长，从而得到的长，从而得到 C 点坐标，进而得到抛物线的解析式；点坐标，进而得到抛物线的解析式；（2）求出点）求出点 D 的坐标为（的坐标为（ ，0），根据），根据AOEDOA，求出求出DAE=90，判断出直线，判断出直线 l 与与 E 相切于相切于 A（3）过点）过点 P 作直线作直线 l
13、的垂线段的垂线段 PQ，垂足为，垂足为 Q，过点，过点 P 作直作直线线 PM 垂直于垂直于 x 轴，交直线轴，交直线 l 于点于点 M设设 M(m， m+4)，P(m， m2+m-4)，得到，得到 根据根据PQM 的三个内角的三个内角固定不变，得到固定不变，得到 PQ最小最小=PM最小最小sinQMP=PM最最小小sinAEO= 从而得到最小距离从而得到最小距离163 34116 2314(4)416PMmmm ，22111318(2)164164mmm，31431455解：解：(1) 如图，连接如图，连接 AE由已知得由已知得 AE=CE=5，OE=3.在在 RtAOE 中，由勾股定理得，
14、中，由勾股定理得，OCAB，由垂径定理得，由垂径定理得，OB=OA=4， OC=OE+CE=3+5=8A(0，-4)，B(0，-4)，C(8，0)抛物线的顶点为抛物线的顶点为 C，设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为 y=a(x-8)2将点将点 B 的坐标代入解析式，得的坐标代入解析式，得64a=-4，故，故 a= y= (x-8)2抛物线的解析式为抛物线的解析式为 y= x2+x-4.116 116 116 2222534.OAAEOE（2）在直线）在直线 l 的解析式的解析式 y= x+4 中，令中，令 y=0，得，得 x+4=0，解得，解得 x= 点点 D 的坐标为（的坐标为（ ，0）
15、当当 x=0 时，时，y=4，点点 A 在直线在直线 l 上上 在在 RtAOE 和和 RtDOA 中，中， AOE=DOA=90，AOEDOA AEO=DAO AEO+EAO=90， DAO+EAO=90，即，即DAE=90 因此，直线因此，直线 l 与与 E 相切于相切于 A.343416.3 163 ，3344OEOAOAOD.OEOAOAOD （3）如图，过点）如图，过点 P 作直线作直线 l 的垂线段的垂线段 PQ，垂足为，垂足为 Q， 过点过点 P 作直线作直线 PM 垂直于垂直于 x 轴，交直线轴，交直线 l 于点于点 M. 设设 M(m， m+4)，P(m， m2+m-4)，则
16、，则 当当m=2时，时，PM 取得最小值取得最小值 ， 此时，此时，P(2， )34116 ，222314(4)416118164131(2)164PMmmmmmm 31494 对于对于PQM，PMx轴，轴，QMP=DAO=AEO.又又PQM=90，PQM 的三个内角固定不变的三个内角固定不变在动点在动点 P 运动的过程中，运动的过程中，PQM 的三边的比例关系的三边的比例关系不变不变当当 PM 取得最小值时，取得最小值时，PQ 也取得最小值，也取得最小值， PQ最小最小=PM最小最小sinQMP =PM最小最小sinAEO当抛物线上的动点当抛物线上的动点 P 的坐标为的坐标为（2， ）时，点）时，点 P 到直线到直线 l 的距的距离最小，其最小距离为离最小，其最小距离为 .31431.45531594
