1、2.3.3向量数量积的坐标运算与度量向量数量积的坐标运算与度量公式公式1.掌握向量数量积的坐标表示，能进行向量数量掌握向量数量积的坐标表示，能进行向量数量积的坐标运算积的坐标运算2能运用数量积表示两个向量的夹角，计算向能运用数量积表示两个向量的夹角，计算向量的长度，会判断两个向量的垂直关系量的长度，会判断两个向量的垂直关系课前自主学案课前自主学案1向量的数量积公式：向量的数量积公式：_2常用性质：常用性质：_；(ab)(ab)_；(ab)2_.3平面内两点间距离公式：设平面内两点间距离公式：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则，则|P1P2|_.ab|a|b|cosa，ba2|a|2a
2、2b2a22abb21向量的数量积向量的数量积(内积内积)的坐标运算的坐标运算已知已知a(a1，a2)，b(b1，b2)，则，则ab_.2向量垂直的坐标表示向量垂直的坐标表示已知已知a(a1，a2)，b(b1，b2)，则，则aba1b1a2b2_(a1，a2)(b2，b1)a1b1a2b203 向 量 的 长 度 ： 设 向 量 的 长 度 ： 设 a ( x ， y ) ， 则， 则 | a | _.用语言表述为用语言表述为_4平面上两点间距离公式：设平面上两点间距离公式：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则，则 _.5两个向量夹角余弦值的坐标表达式为两个向量夹角余弦值的坐标表达式为co
3、sa，b_向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根思考感悟思考感悟1与向量与向量a(a1，a2)同向的单位向量的坐标如何同向的单位向量的坐标如何表示？表示？2如何利用数量积求两向量夹角？如何利用数量积求两向量夹角？课堂互动讲练课堂互动讲练数量积的坐标运算数量积的坐标运算熟练掌握数量积的坐标公式是解决这类问题的熟练掌握数量积的坐标公式是解决这类问题的关键，尤其是相关的模长公式和夹角公式关键，尤其是相关的模长公式和夹角公式【解】【解】分别以向量分别以向量m、n的方向为的方向为x轴，轴，y轴的轴的正方向建立平面直角坐标系正方向建立平面直角坐标系(图略图略)，|
4、m|2，|n|1，m(2,0)，n(0,1)，a(8，1)，b(2,2)，c(4，3)，a23(ab)2(bc)165314221104.【点评点评】解题的关键是借助两向量垂直，建立解题的关键是借助两向量垂直，建立平面直角坐标系，进而把向量坐标化，利用向量平面直角坐标系，进而把向量坐标化，利用向量的坐标运算求解的坐标运算求解变式训练变式训练1已知已知a与与b同向，同向，b(1,2)，ab10.(1)求求a的坐标；的坐标；(2)若若c(2，1)，求，求(bc)a及及b(ca)解：解：(1)设设ab(，2)(0)，则则ab410.2，a(2,4)(2)bc(1,2)(2，1)220，(bc)a0，
5、同理同理ca0，b(ca)0.两非零向量的夹角问题两非零向量的夹角问题已知两向量的坐标，根据平面向量的数量积的定已知两向量的坐标，根据平面向量的数量积的定义和性质，可以求其数量积、两向量的长度和它义和性质，可以求其数量积、两向量的长度和它们的夹角，此外，求解数量积的有关综合问题，们的夹角，此外，求解数量积的有关综合问题，应该注意函数思想与方程思想的运用应该注意函数思想与方程思想的运用 已知已知a(2，1)，b(，1)，若，若a与与b的夹角的夹角为钝角，求为钝角，求的取值范围的取值范围【点评点评】通过对本题的归纳可得下面结论：通过对本题的归纳可得下面结论：角的取值或角的取值或范围范围余弦值余弦值
6、0cos1为锐角为锐角cos0且且cos190cos0为钝角为钝角cos0且且cos1180cos1变式训练变式训练2设向量设向量a与与b的夹角为的夹角为，且，且a(3,3)，2ba(1,1)，求，求cos.向量垂直的坐标运算向量垂直的坐标运算向量向量abab0 x1x2y1y20.【点评点评】使用向量的知识解决问题时，有向量使用向量的知识解决问题时，有向量式和坐标两种形式的思路，可以先把向量式展开，式和坐标两种形式的思路，可以先把向量式展开，再把模长、内积等量代入求解；也可以先求出坐再把模长、内积等量代入求解；也可以先求出坐标，然后求解标，然后求解变式训练变式训练3已知两个向量已知两个向量a(3,4)，b(2，1)，求当求当axb与与ab垂直时，求垂直时，求x的值的值1向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此我们可以利用向利用向量的数量积来解决，因此我们可以利用向量的直角坐标求出向量的长度、平面内两点间的量的直角坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，判断两向量是否垂直距离、两个向量的夹角，判断两向量是否垂直2已知非零向量已知非零向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，则有：则有：
