1、524212425A例例的的Doolittle分解和分解和LDU分解。分解。 解解 故故 1000425120100152515452A10021011512010015452515452求矩阵求矩阵4255452525121第四章第四章 矩阵分解矩阵分解 1 三角分解介绍三角分解介绍 110132025A例例解解所以所以 11611551152116115511520505A求正定矩阵求正定矩阵的的Cholesky分解。分解。0552115511116例例证明证明)det()det(detBABAABBA证证IIOIABBAIIOI取行列式即得。取行列式即得。 设设 A, B 为同阶方阵，为
2、同阶方阵，因为因为BAOBBA例例证明证明设设A, B, C, D为同阶方阵，为同阶方阵， A可逆可逆, 且且AC = CA。)det(detCBADDCBA证证 因为因为DCBAICAOI1BCADOBA1取行列式得取行列式得 )det(detdet1BCADADCBA)(det1BCADA)det(1BACAAD)det(1BCAAAD)det(CBAD 例例，nmCA，mnCB证明证明)det()det(BAIABInm 证证，nmIBAI因为因为nmnmIBAIIBOIBAIOAInmnmnmIBAIIOAInmIBOABI所以所以)det(BAI nnmIBAIdet)det(ABI
3、m设设构造矩阵构造矩阵例例，nmCA，mnCB证明证明 证证，nmIBAI因为因为nmnmIBAIIBOIBAIOAInmnmnmIBAIIOAI1nmIBOABI1所以所以设设构造矩阵构造矩阵且且。0)det()det(BAIABInnmm( (即即AB和和BA的非零特征值相同的非零特征值相同) )。 )det(BAI nnmIBAIdet)det()det(1nmIABInmm)det(1ABI)det(ABImmnnmIBOABI1det例例 设设A是是n阶阶Householder矩阵，矩阵， 则则；)2cos(A。)2sin(A分析分析，IA 2所以所以)2cos(A6! 6)2(4!
4、 4)2(2! 2)2(642AAAI)1 (! 6)2(! 4)2(! 2)2(642III)2cos()2sin(A7!7)2(5! 5)2(3! 3)2(7532AAAA)2(!7)2(! 5)2(! 3)2(753AOA)2sin(因为因为IO2 QR分解分解 例例mH和和nH分别是分别是m阶和阶和n阶阶Householder矩阵，矩阵，问问 nmHOOH是否是否nm解解nmHOOHdet设设阶阶Householder矩阵矩阵?为什么为什么?不是。不是。 因为因为nmHHdetdet1) 1() 1(例例T)4, 0, 0, 3(x与与1e同方向。同方向。试用试用Householder
5、变换化向量变换化向量解解，52 x则则 21155exexuT)4, 0, 0, 8(801T) 1, 0, 0, 2(51T2uuIH300405000050400351法法1. 1. 取取从而从而使使 15eHx ，52x则则 法法2. 2. 取取21155exexuT)4, 0, 0, 2(201T)2, 0, 0, 1 (51T2uuIH从而从而300405000050400351使使 15eHx12T1000010000010010使使 400312xT又取又取，5322)4(332c，5422)4(342s则则14T53545453000100001000使使 112145exTT
6、例例T)4, 0, 3, 0(x与与1e解解，0223001c，1223031s则则试用试用Givens变换化向量变换化向量同方向。同方向。取取例例212240130A解解，T1)2 , 0 , 0(a取取，2211 a则则1012122211111eaeau试求矩阵试求矩阵的的QR分解。分解。由于由于于是于是 T1112 uuIH001010100使使 1302402121AH又由于又由于，T2)3 , 4(b取取，5222 b则则3110155212122ebebu于是于是 T2222uuIH，433451令令 221HH5453535400001则则 )(12AHH200150212故故
7、 RHHA)(212001502120010053545453例例212240130A解解试求矩阵试求矩阵的的QR分解。分解。取取，1, 011sc则则 00101010013T使使 13024021213AT又取又取，532542,sc则则 545353542300001T使使 2001502121323ATTR故故 RTTAT23T132001502120010053545453例例212240130A解解试求矩阵试求矩阵的的QR分解。分解。将列向量将列向量，2001a，1432a2213a正交化得正交化得 ，20011ap，04342122pap02554456582133ppap单位化
8、得单位化得，1002111pq，051545322pq021535433pq于是于是 32132132121211122515212qqqpppaqqppaqpa故故 2001502120010053545453A例例5000421232404130A的的QR分解。分解。 用用Householder变换求矩阵变换求矩阵解解，T1)0 , 2 , 0 , 0(a则则，2211 a且且 010121020222122211111eaeau取取于是于是 10000001001001002T1141uuIH使得使得 50004130324042121AH又取又取，T2)0 , 3 , 4(b则则，52
9、22 b且且03110155212122ebebu于是于是 10000254535354T2232uuIH令令 1000000000011545353542T2HH00则则 )(12AHH5000520001504212R故故)(21HHQRA500052000150421210000001000053545453例例的的QR分解。分解。 用用Givens变换求矩阵变换求矩阵解解0101101001011010A取取，1, 01100122sc则则100001000001001012T且且 010110101010010112AT又取又取，212212,sc则则2121212114000100
10、001000T且且 0000101010100202)(1214ATT再取再取，213213,sc则则1000000000012121212123T且且 0000000020200202)(121423ATTTR于是于是 RTTTQRAT23T14T120000000020200202100101101001011021例例uH和和wH都是都是n阶阶Householder矩阵，矩阵， 则则wuwHHH分析分析wwwuwHuuIHHHH）（H2H2)(2uHuHHwwwH)(2uHuHIww由于由于)()(HuHuHww故故设设也是也是Householder矩阵。矩阵。 ( )( )对。对。因为
11、因为uHHuwwHH1HuuwuwHHH也是也是Householder矩阵。矩阵。例例T)2, 0, 0i2(i, x与与1e同方向。同方向。试用试用Householder变换化向量变换化向量解解，32 x则则 ( (因为因为，i1x且要求且要求1x为实数为实数) ) 取取i3或或，i3211i3i3exexuT121)2 , 0i,2i,2(T31) 1 , 0i,i,( (或或211i3i3exexuT241)2 , 0i,2i,4() 1 , 0i,i,2(T61H2uuIH从而从而10i2i20300i2012i20213120ii20300i022i202131或或使得使得1i3 e
12、Hx )i3(1eHx或或例例uH是是n阶阶Householder则则1TTHu分析分析由于由于故故设设T是是n阶阶Given矩阵，矩阵，也是也是Householder矩阵。矩阵。 ( )( )对。对。因为因为1Huu也是也是Householder矩阵。矩阵。矩阵，矩阵，HH12TuuITTTHu）（ HH)(2TuTuTTH)(2TuTuI )()(HTuTuTuTuHH1TTHu12T1000010000005i5i25i25i使使 200512xT又取又取，352c，322s则则例例T)2, 0i,2(i, x与与1e解解，5i1c，5i21s则则试用试用Givens变换化向量变换化向量
13、同方向。同方向。取取14T35323235000100001000使使 112143exTT例例124213101A解解，T2)4 , 3(a取取，5221 a则则215121212551eaeau于是于是 T1112uuIH，344351令令 1T11HH005354545300001化矩阵化矩阵正交相似于正交相似于Hessenberg阵。阵。法法1. 1. 利用利用Householder变换变换对对则则 1202151535411AHH法法2. 2. 利用利用Givens变换变换，5453, sc则则 535454532300001T且且12021515354T2323ATT取取例例134
14、1312042101002A解解，T3) 1 , 0 , 0(a取取，1231 a则则10121213131eaeau于是于是 0010101002T111uuIH化矩阵化矩阵正交相似于三对角阵。正交相似于三对角阵。法法1. 1. 用用Householder变换变换对对令令 1T11HH000010010010000001则则 11AHH1240213043110012 对对，T2)4 , 3(a取取，5222 a则则215155212122eaeau从而从而 T2222uuIH344351令令 222HOOIH53545453000000100001则则 2112HAHHH511525251
15、1005005110012T故正交矩阵故正交矩阵 21HHQ 00100000000154535354使使 TAQQT法法2. 2. 利用利用Givens变换变换 ，1, 011sc则则 001001001000000124T且且1240213043110012T2424ATT取取又取又取，542532,sc则则5354545334000000100001T且且5115252511T34T242434005005110012TATTT故正交矩阵故正交矩阵 00100000000154535354T34T24TTQ使使 5115252511T005005110012AQQ例例6122031100
16、0101032110A的的Hermite标准形标准形H和变换阵和变换阵S。解解 IA1000612200100311000010010100001321101412r2rrr求矩阵求矩阵3 满秩分解满秩分解 10021254000100311000011311000001321102423221r4rrr1)(rrr1042010000111000000011311000010010104241434rrrrrr1)(r011100000104201000105330100103200010故故A的的Hermite标准形标准形H和所用的变换阵和所用的变换阵S为为 ，00000010003010
17、000010H0111104210531032S使得使得 HSA 已知矩阵已知矩阵61220311000101032110A求可逆矩阵求可逆矩阵S和置换矩阵和置换矩阵P 使得使得例例OOKISAPr解解 可求得可求得A的的Hermite标准形标准形H和可逆矩阵和可逆矩阵S为为 SAP00000001003001000001HP，00000010003010000010H0111104210531032S使使 SA=H。 如取如取，),(51432eeeeeP 则则已知矩阵已知矩阵61220311000101032110A求可逆矩阵求可逆矩阵S和和T 使得使得SAT为等价标准形。为等价标准形。例
18、例解解 可求得可求得A的的Hermite标准形标准形H和可逆矩阵和可逆矩阵S为为 ，00000010003010000010H0111104210531032S使使 SA=H。又有又有5IH10000010000010000010000010000001000301000001043322135ccccccc3c100000010030010000010100000000001000001000001故故 1000000100300100000101000T使使 。00000001000001000001SAT如对矩阵如对矩阵61220311000101032110A已求得矩阵已求得矩阵，01
19、11104210531032S1000000100300100000101000T使得使得 00000001000001000001SAT又可求得又可求得，01221110010102111S10000000010100030100000101T故故 13T31TIISA00010003010000010122110101211例例61220311000101032110A的满秩分解。的满秩分解。 求矩阵求矩阵解解 A1412r2rrr1254003110031100321101)(rr4rrrrr2242321010000000031100010104344241rr1)(rrrrr0000
20、0010003010000010H)4, 3, 2(321jjj故故 FGA 010003010000010122110101211例例002001A解解 000000005HAA的特征值为的特征值为，0, 5321相应的特征向量为相应的特征向量为332211exexex，从而从而 3321),(IeeeV求矩阵求矩阵的奇异值分解。的奇异值分解。法法1. 1. ，11eV ，)5( 于是于是111 AVU5251 取取4 奇异值分解奇异值分解 再取再取，51522U则则),(21UUU 为酉矩阵，为酉矩阵，奇异值分解为奇异值分解为10001000100000551525251A故故A的的法法2. 2. ，4221TAA其特征值为其特征值为，5102对应的特征向量分别为对应的特征向量分别为，2112因为因为单位化得酉矩阵单位化得酉矩阵122151U则则A的奇异值分解为的奇异值分解为 T000005VUA注注 在法在法2中，中，如果取对应矩阵如果取对应矩阵TAA的特征值的特征值51的特征向量为的特征向量为，T)2, 1(相应的可得酉矩阵相应的可得酉矩阵122151U使得使得05TTUAAU但此时但此时AVU002001000005T因此用法因此用法2进行计算时，进行计算时，尚需对结果进行检验。尚需对结果进行检验。
