1、Basic concept of differential equations三、微分方程的解三、微分方程的解一、问题的提出一、问题的提出二、微分方程的定义二、微分方程的定义微微积积分分电电子子教教案案2/31引例引例 一曲线通过点一曲线通过点(1,2), 且在该曲线上的任一点且在该曲线上的任一点M(x,y)处的切线的斜率为处的切线的斜率为2x, 求该曲线的方程。求该曲线的方程。解解：设所求曲线方程为：设所求曲线方程为：y = f(x)两边对两边对x求积分求积分：即即 y=x2+C将将x=1,y=2代入，得代入，得：2=1+C即即 C=1故所求曲线为故所求曲线为：y=x2+12, 12 yxx
2、dxdy，且，且 xdxdxdxdy2由题意得：由题意得：3/31定义定义1 1 含有未知函数的导数含有未知函数的导数( (或微分或微分) ) 的方程。的方程。2.12.1、微分方程微分方程 )?(,-?,-xyyx求求未未知知的的是是一一个个函函数数微微分分方方程程求求未未知知的的是是一一个个数数代代数数方方程程方方程程4/31定义定义1 1 含有未知函数的导数含有未知函数的导数( (或微分或微分) ) 的方程。的方程。如：如：2.12.1、微分方程微分方程未知函数是多元函数，即未知函数是多元函数，即含含有偏导数的微分方程，有偏导数的微分方程，称为称为偏微分方程偏微分方程0)(22 dyxy
3、dxyx53 xyyyxyxdxdy xyyysin3 xzyzxz 2222未知函数是一元未知函数是一元函数的微分方程函数的微分方程常微分方程常微分方程5/31定义定义2 2 微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数，称为数，称为微分方程的阶微分方程的阶。二阶微分方程二阶微分方程n阶微分方程的一般形式为：阶微分方程的一般形式为：F(x，y，y ，y ，y(n)=0一阶微分方程一阶微分方程2.22.2、微分方程的阶、微分方程的阶xyyysin3 0)(22 dyxydxyx53 xyyyxyxdxdy 6/312.32.3、微分方程的分类、微分方程的分类分
4、类分类1 1: : 常微分方程常微分方程, , 偏微分方程偏微分方程. ., 0),( yyxF一阶微分方程一阶微分方程);,(yxfy 高阶高阶(n)微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy分类分类2:2:分类分类3 3: : 线性线性( (未知函数及其导数都是一次未知函数及其导数都是一次) ) 非线性微分方程非线性微分方程),()(xQyxPy ; 02)(2 xyyyx分类分类4 4: : 单个微分方程单个微分方程 与微分方程组与微分方程组. . ,2,23zydxdzzydxdy7/31定义定义3 3 若将某函数及其导数代入微分方程若将某函数及
5、其导数代入微分方程, 可使方可使方程成为恒等式程成为恒等式, 则称此函数为微分方程的解则称此函数为微分方程的解3.13.1、微分方程的解、微分方程的解8/31例例1 1 验证下列函数都是微分方程验证下列函数都是微分方程 y 2y +y=0 的解的解.解解: :代入原方程代入原方程.)3( ;)2( ;)1(21xxxxxeCeCyxeyCey ,)1(xCey ,xCey xCey 是原方程的解是原方程的解.xCey xxxCeCeCe 2左边左边右边右边 0代入原方程：代入原方程：,)2(xxey xxxexxeey)1( xxxexexey)2()1( 是原方程的解是原方程的解.xxey
6、xxxxeexex )1(2)2(左左边边右边右边 09/31例例1 1 验证下列函数都是微分方程验证下列函数都是微分方程 y 2y +y=0 的解的解.解解: :.)3( ;)2( ;)1(21xxxxxeCeCyxeyCey 代入原方程：代入原方程：,)3(21xxxeCeCy xxxxxxeCeCCxeCeCeCy221221)( xxxxxxxeCeCCxeCeCeCeCy2212221)2( 是原方程的解是原方程的解.xxxeCeCy21 xxxxxxxeCeCxeCeCCxeCeCC21221221 2)(2)2( 左左边边右边右边 0解的线性组合也是解解的线性组合也是解y=0也是
7、解。也是解。均为解，有均为解，有何区别？何区别？10/31 通解：通解： 微分方程的解中含有微分方程的解中含有任意常数任意常数，这些常数，这些常数相互独立相互独立( (即不能合并了即不能合并了) )，且，且个数与微分方程的个数与微分方程的阶数相同阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。，这样的解称为微分方程的通解。3.23.2、通解与特解、通解与特解 特解：特解：确定了通解中任意常数的解。确定了通解中任意常数的解。例1中：xxxeCeCy21 xxey xCey 通解特解既非通解，也非特解，是个解。0 y奇解（但不是特解，不研究）通解：通用的解，含有任意常数；通解：通用的解，含有任意常数；特解：
8、特殊的解，不含有任意常数特解：特殊的解，不含有任意常数11/31 通解：通解： 微分方程的解中含有微分方程的解中含有任意常数任意常数，这些常数，这些常数相互独立相互独立( (即不能合并了即不能合并了) )，且，且个数与微分方程的个数与微分方程的阶数相同阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。，这样的解称为微分方程的通解。3.23.2、通解与特解、通解与特解 特解：特解：确定了通解中任意常数的解。确定了通解中任意常数的解。特解可以从通解中通过特解可以从通解中通过某个条件某个条件求出常数得到特解求出常数得到特解称为定解条件，也称为初始条件称为定解条件，也称为初始条件一般地，一般地，n阶微分方程就有阶
9、微分方程就有n个定解条件个定解条件12/31求特解步骤：先求通解，代入初始条件，确定通解求特解步骤：先求通解，代入初始条件，确定通解中任意常数的值，可得特解。中任意常数的值，可得特解。xdxdy2 2,1 yx时时由由2,yxC, 1 C求得求得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为微分方程微分方程微分方程的通解微分方程的通解定解条件定解条件如引例如引例求解得：求解得：微分方程微分方程的特解的特解13/31解的图像解的图像: : 微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线. .通解的图像通解的图像: : 积分曲线族积分曲线族. .3.33.3、微分方程解的几何意义、微分方程解的几何意义过定点的积分
10、曲线过定点的积分曲线; 00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题: :求微分方程满足初始条件的特解的问题求微分方程满足初始条件的特解的问题. .14/31解解,2cos22sin221tCtCdtdx ,2sin42cos42122tCtCdtxd ,22的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将xdtxd例例3 3 验证验证: :函数函数 是微分是微分方程方程 的解的解. . 并求满足初始条件并求满足初始条件 的特解的特解. .tCtCx2
11、sin2cos21 0422 xdtxd0,200 ttdtdxx15/31. 0)2sin2cos( 4)2sin2cos( 42121 tCtCtCtC.2sin2cos21是是原原方方程程的的解解故故tCtCx 所求特解为所求特解为练习：练习：xey23 为微分方程的为微分方程的特特解解.0,200 ttdtdxx0, 221 CCtx2cos2 函数函数 是微分方程是微分方程 的解的解吗？如是解，请问是什么解吗？如是解，请问是什么解? ?xey23 04 yyBasic concept of differential equations三、齐次方程三、齐次方程一、一阶微分方程的形式一、
12、一阶微分方程的形式四、一阶线性微分方程四、一阶线性微分方程微微积积分分电电子子教教案案二、可分离变量的微分方程二、可分离变量的微分方程17/31一般形式一般形式: F(x, y, y ) =0正规型正规型:微分型微分型: f(x,y)dx+g(x,y)dy=0正规型正规型可化为可化为如：如： 下面只讨论一阶微分方程中最常见的几种类型及下面只讨论一阶微分方程中最常见的几种类型及解法解法, ,包括：包括：可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程、齐次微分方程齐次微分方程、线性齐次微分方程线性齐次微分方程、线性非齐次微分方程线性非齐次微分方程。y = f( x, y ) ),(),(),(yxFyx
13、gyxfdxdy 18/31形式：形式：即即变量变量x的函数和微分的函数和微分与与变量变量y的函数和微分的函数和微分已分已分离在等式两边（或已分离开来）离在等式两边（或已分离开来）. .解法：解法：直接积分。直接积分。例例1 1、求通解求通解：解：解：两边积分两边积分故原方程的通解为：故原方程的通解为：2.12.1、已分离变量的微分方程、已分离变量的微分方程0) 12( dydxx dxdydxx0) 12(12Cyxx )( 12CCCxxy 0)()( )()(21 dyyfdxxfdyygdxxf或或19/31例例2 2 求通解求通解：解解：两边积分得：两边积分得：故原方程的通解为：故原
14、方程的通解为：结论结论1:1: 通解既可用显函数表示通解既可用显函数表示, ,也可用隐函数表示也可用隐函数表示. .ydyxdx ydyxdxCyx21212122 Cyx 2220/31形式：形式：2.22.2、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法：解法：先分离变量，再两边积分即可。先分离变量，再两边积分即可。或或)()(ygxfdxdy 0)()()()(2211 dyyNxMdxyNxMdxxfdyyg)()(1 dxxfdyyg)()(10)()()()(1221 dyyNyNdxxMxM dxdyyNyNdxxMxM0)()()()(122121/31例例3 3 解微分方程解
15、微分方程解解: :先分离变量，先分离变量，再两边积分再两边积分故原方程的通解为故原方程的通解为xydxdy dxxdyy11 dxxdyy111lnlnCxy 1lnCxy CCxy 221CexyC xCy xCy 22/31若积分后出现对数若积分后出现对数, ,则可将任意常数写成则可将任意常数写成 lnC 的形式的形式, ,以利化简以利化简. .说明说明: : 在解微分方程时在解微分方程时, ,对形如对形如积分积分, ,可直接得可直接得lnx,lny,不必加绝对值；不必加绝对值； dxx1 dyy1例例3 3 解题过程可简化为：解题过程可简化为：先分离变量：先分离变量：再两边积分再两边积分
16、dxxdyy11 Cxylnlnln xCylnln xCy 23/31解：解：例例4 4 求方程求方程满足初始条件满足初始条件y(1)=2的特解的特解.分离变量分离变量积分得：积分得：故通解为故通解为:将将x=1,y=2代入通解代入通解故所求特解为故所求特解为：得：得：C=10)1(122xxyyy yyxxdxdy221)1(1 dxxxdyyy)1(1122 dxxxx)11(2 Cxxyln21)1ln(21ln)1ln(2122 222)1)(1(Cxyx 22210)1)(1(xyx 24/31例例5 5 已知某商品的需求量已知某商品的需求量Q对价格对价格p的弹性为的弹性为e ep
17、=- -0.02p,且该商品最大需求量为且该商品最大需求量为240,求需求函数求需求函数Q=Q(p).解解: 依题意依题意,得得:pQQp02. 0 整理得：整理得：dpdQQ02. 01 积分得积分得: :CpQln02. 0ln pCeQ02. 0 将将p=0,Q=240代入代入, 得得: C=240故求需求函数为：故求需求函数为：peQ02. 0240 25/31例例6 6 设设f (x)在在(-，+)连续连续, ,且满足且满足: :求求f(x).注：注：积分方程求导后化为微分方程积分方程求导后化为微分方程; ; 注意隐条件注意隐条件. . xdttfxxf0)(2)(解解：原方程对：原
18、方程对x求导：求导：)(2)(xfxf 即：即：yy 2分离变量得：分离变量得：dxydy 2两端积分得：两端积分得：Cxyln)2ln( 22 xxeCyeCy由原方程可知：由原方程可知：f (0)=0 代入通解代入通解 C =2故故)1(2)( xexf26/31解：解：f(tx,ty)=50(tx)(ty)2=50t3xy2=t3f(x,y)故是故是齐次函数齐次函数, ,且是且是3次次齐次函数齐次函数; ;故是故是齐次函数齐次函数, ,且是且是0次次齐次函数齐次函数. .复习复习:证明函数证明函数f(x,y)=50 xy2;都是齐次函数都是齐次函数, ,并说明是几次齐次函数并说明是几次齐
19、次函数. .yxyxyxf ),(),(),(yxfyxyxtytxtytxtytxf 3.13.1、齐次方程的引入、齐次方程的引入27/313.23.2、齐次方程及其解法、齐次方程及其解法解法：解法：化标准形式；化标准形式；变量替换变量替换 ；分离变量；分离变量；求通解；求通解；回代。回代。xyu 标准形式：标准形式：常见形式：常见形式：如如化为标准形式化为标准形式 )(xyfdxdy 定义定义: :微分方程微分方程 中中, ,若若为为0次齐次函数次齐次函数, 则称该方程为则称该方程为齐次微分方程齐次微分方程, 简称简称为为齐次方程齐次方程.),(yxfdxdy ),(yxf22yxyxdx
20、dy 2)(1xyxy 28/31关于关于y的微分方程的微分方程代入原方程代入原方程, , 得：得：关于关于u的微分方程的微分方程分离变量分离变量,得：得：积分、整理得积分、整理得通解通解：回代回代得：得：是的解。是的解。 xdxuufdu)()(xyfdxdy xyu 令令uxy 则则dxduxudxdy )(ufdxduxu xdxuufdu )(Cxu )( Cxxy )( )(Cxxy 29/31解：解：分离变量得：分离变量得：例例1.1. 求微分方程求微分方程 的通解的通解. .代入原方程代入原方程, ,得：得：两边积分得：两边积分得：故原方程的通解为：故原方程的通解为：2)(1xy
21、xydxdy xyu 令令uxy 则则dxduxudxdy 21uudxduxu xdxudu 21Cxulnlnarcsin uCexarcsin xyCexarcsin 30/31例例2 2. . 求求 的通解的通解.分离变量得：分离变量得：解：解：原方程为：原方程为：代入原方程代入原方程, , 得：得：积分得积分得:即通解为：即通解为：xyu 令令uxy 则则dxduxudxdy 12 uudxduxuyxyyyx 221)(2 xyxydxdy1 uudxduxxdxduuu 1Cxuulnlnln Cuxuln uCexu xyCey 感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
