1、1自主招生考试基本情况自主招生考试基本情况 我国实行自主招生的高校，到2017年已达到了90所.自主招生选拔由高校自行组织，一般由笔试、面试两部分组成通过自主招生选拔的考生必须参加高考，在高考录取时可获得降分1060分不等的优惠，部分优秀考生高考投档成绩达到当地同科类本科第一批次控制分数线即可被录取。 根据教育部最新要求，自主招生人数不再对各高校自主招生比例(原定5%)进行限制 影响上而言，自主招生既是高考之外选拔学生的新方式，又是高校争夺优秀生源的高端战场。2招生对象招生对象 品学兼优，最好有特长或竞赛获奖证书，成绩好没有证书也行，注意品学兼优的“品”字理科生的敲门砖主要是各类竞赛成绩，文科
2、生的敲门砖主要是平时成绩3考试内容考试内容 笔试科目分文理，语数外三科必考，通常理科加考物理化学，文科加考历史政治，考试形式3+1也有少量高校在语数外的基础上看考生填报的志愿方向只加考一科，如中国人民大学；也有极特殊院校考10科满分1000分的，如复旦大学 4试题分析的高校范围：北京大学、清华大学、浙江大学、北京科技大学、香港大学、中国科技大学、复旦大学、上海交通大学、同济大学、南京大学、南开大学、武汉大学、苏州大学、山东大学、西安交通大学、南京航空航天大学、华南理工大学、华东理工大学、华中师范大学、华东师范大学、中国矿业大学、哈尔滨工业大学、南京农业大学、东南大学、西北工业大学等高校自主招生
3、试题；试题分析的时间范围：2007年至2016年自主招生试题5关注数学思维品质，加强数学学科和哲学方法的考查，呈现以下几个特点：重运算推理，轻计算繁琐；重概念本质，轻背诵结论；重内容交叉，轻知识覆盖；重现实背景，轻纯粹形式；重数学基础与时俱进，轻偏旧内容的循环考查。6基础性学科性方法性应用性拓展性趣味性7新课程强调 ，在数学的学习过程中，形式化表达是一项基本要求，但不能仅限于形式化表达，更加要强化对数学本质的认识. 即“重概念本质，轻背诵结论重概念本质，轻背诵结论.”81.(2010) |( ) |( ( ).(1);(2)( ).Mx f xxNx f f xxMNf xRMN年浙江大学设集
4、合，求证：若是一个 单调增函数，是否有 ？若有，请证明本题的第（本题的第（1）问主要考察了）问主要考察了集合间的集合间的“包含包含”关系的概念关系的概念. 91.(2010) |( ) |( ( ).(1);(2)( ).Mx f xxNx f f xxMNf xRMN年浙江大学设集合，求证：若是一个 单调增函数，是否有 ？若有，请证明101.(2010) |( ) |( ( ).(1);(2)( ).Mx f xxNx f f xxMNf xRMN年浙江大学设集合，求证：若是一个 单调增函数，是否有 ？若有，请证明111.(2010) |( ) |( ( ).(1);(2)( ).Mx f
5、xxNx f f xxMNf xRMN年浙江大学设集合，求证：若是一个 单调增函数，是否有 ？若有，请证明121.(2010) |( ) |( ( ).(1);(2)( ).Mx f xxNx f f xxMNf xRMN年浙江大学设集合，求证：若是一个 单调增函数，是否有 ？若有，请证明第（2）问主要又考察了集合“相等”的概念，并利用反证法证得. 1314222.(2009),3(1).x yRxxyyxy年中国科技大学求证：对任意不等式恒成立22, ,xxy yx y分析：待证的不等式中出现了等元素，可先想到配方将它们联系起来，于是想到了(求差)比较法.222222222223(1)(3)
6、3331()(3)33243333()242433()(1)0.24xxyyxyxyxyyyxyyyyxyyyxy证法一：2230210,11.3(1).yxyxyxxyyxy 当且仅当且即且时等号成立恒成立1516222221111()222xyxxyyxyxy分析二：由对称性，易知当时等号成立，又2221 11,()2,222 2.xyxyxy当时，于是想到了综合法1722211111,()22()22222xxyyxyxy证法二：223(1)(11).xxyyxyxy三式相加便得当且时取“”待定不等式中等号成立的条件，待定不等式中等号成立的条件，往往是寻找证明的突破口往往是寻找证明的突破
7、口.18“数学是思维的体操，是思维的科学.”在学习数学时要不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、符合表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程.这是数学的学科特点.192.3.(.220092()3).xxxxxn求方程等式右边有 个根号年上交通大学的实根海20解法一：32xxx令21y，2122xyy，21.2nnxyy，12(,.,0)ny yy nxy1yx现证明：1xy若，122xy则122xxxy2212yy12yy123.nyyyyx依此类推，矛盾；1xy若，123.nyyyyx同理，.矛盾1xy故，2213xyx即03.x 或212.3.(.220092
8、()3).xxxxxn求方程等式右边有 个根号年上交通大学的实根海提示：这里对提示：这里对n取何值并没有加以限取何值并没有加以限制，我们可以先从制，我们可以先从n=1时出发来寻找时出发来寻找一般规律。一般规律。222.3.(.220092()3).xxxxxn求方程等式右边有 个根号年上交通大学的实根海3.xx先证证法二：3,xx若2 323.xxxxxx则22 323 .xxxxxx故，222 323,xxxxxxxx矛盾！232.3.(.220092()3).xxxxxn求方程等式右边有 个根号年上交通大学的实根海3xx同理，若也会产生矛盾！3.xx故03.xx 解得 或03xx经检验知或
9、均为原方程的解.2412312312233 11 22 33 1123123123123,.min ,min4. ,max ,max ,(20,.0)8aaabbb a aa aa abbb bb ba a ab b ba a ab b b已年北京学知若求证：大123122331aaaa aa aa a分析：由及，可以联想到韦达定理，可以先构造三次方程试试.2532123( ),f xaxbxcxdx x x如果的三个零点分别为那么三次方程的韦达定理是什么？12312312233 1123( )()()(),().f xxxxxxxbxxxacx xx xx xadx x xa 设展开得 比较
10、对应的系数，得三次方程韦达定理2612312233112311 2 32,aaaa a aa aa aba a ac bb bc证明：设321123322123( ),;( ),.f xxaxbxca a ag xxaxbxcb b b则函数有三个零点函数有三个零点123( )()()().g xxbxbxb123123,.aaa bbb由对称性，不妨设11.ab由已知，得1111213()()()()0.g aababab3211120.aaabac即27321111112()0,0,f aaaabaccc于是( )( ).f xg x所以33313233()0,()0,()()()0.f
11、ag aababab又所以即313233,.ab ab ab中至少有一个为负数1233333,0,.bbbabab而即123123max ,max ,.a a ab b b28三次方程的这种根式写法具有很强三次方程的这种根式写法具有很强的应用性，望仔细掌握的应用性，望仔细掌握.逆用韦达定逆用韦达定理是构造函数或方程的一种常用方理是构造函数或方程的一种常用方法法.29代数方法，算术方法、几何方法是中学数学的基本方法，熟练而又合理地使用这些方法，是自主招生的考试要求.即“重运重运算推理，轻计算繁琐算推理，轻计算繁琐.”305.(2008)年同济大学2229, ,4862439xyzx y zxyz
12、求满足方程组的的值.( , ): 86(2439)0,P x ylxyz解：设是直线上的点|.OldOP则原点 到直线 的距离22222|2439|9486zxyz即315.(2008)年同济大学2229, ,4862439xyzx y zxyz求满足方程组的的值.2|2439|225 100,zz从而两边平方，得2(1318)0,z 1813180.13zz 所以，解得618,.1313xy 同样的方法可解得：32本题我们把三元二次方程组与点到直线的距离结合了起来，利用到数形结合的方法加以解决，这种方法并不十分容易想到，但却是处理三元二次方程组问题的常用方法，这里就得需要同学们在课下多总结！
13、 再如在2009年南京大学的自主招生试题中就曾出现过这第一道问题： 22,( )11,( )xR f xxxxxf x 已知则的值域是33下面我们对本题加以解决：222222111313()(0)()(0)2222xxxxxx 1313( ,0)(,),( ,)2222( 1,1).P xMN联想到两点间的距离公式，知本题是求点到两点的距离之差的取值范围.从而值域为346.(2010), ,1.111abca b cRaabbbccca 年武汉大学设求证：分析：首先，这是一个分式不等式，其次这是一个轮换不等式.“化分式为整式，化无理式为有理式，化超越式为有理式，”化繁为简，是分析法的功能.因此
14、想到先用分析法试试.356.(2010), ,1.111abca b cRaabbbccca 年武汉大学设求证：1,111bcabaabccaaab证法一：要证原不等式成立，只需证221,(1)(1)1bcbcabcbcabbbcccaaab只需证36222(2)(1)(1)(12).bcbcabcbcacbabbcbcabcbccaabc即证22221,abca b c 即证2(1)0.abc即证显然，此不等式成立，故原不等式得证.376.(2010), ,1.111abca b cRaabbbccca 年武汉大学设求证：, ,1,1;1111111;1111.111a b cR abcab
15、caabbbcccaaabbbcccaabbccaaabbbccca 本题实际上是根据下面的条件等式编拟的：设求证：386.(2010), ,1.111abca b cRaabbbccca 年武汉大学设求证：分析二：不等式与等式之间有密切的联系由等式可以证明不等式，一方面，等式可以看作是最强的不等式，通过补充不等式中略去的那些项，便可以证明不等式；另一方面，可以将等式中某些字母作为变量或引入参数，得到函数，借助于函数的性质（单调性或最值）而得到不等式的证明.由此，本题又得到一种证法：390,( )1abcxcaabxf xaabaabxabxax 证法二：令将不等式的左端消去得函数max( )
16、0,01( )01.( )(1)1.f xxf xxf xf令得，而，得所以于是原不等式得证40 早在上世纪30年代美国数学家克莱因就曾提出“数学为大家服务”.学习数学的根本目的就在于研究并征服自然，在高校的自主招生试题中有不少题目体现了应用性价值的题目.417.（2010年浙江大学） 如图，一条公路的两侧有六个村庄，要建一个车站，要求到六个村庄的路程之和最小，应该选在哪里最合适？如果在的地方增加了一个村庄，并且沿着地图的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？ 1A2A3A4A5A6ABCDEF42.BBFBF解：显然，车站不能设 点以西否则，每个村庄的人都必须多走 点以西的这段路同理
17、，车站也不能设在 点以东，所以车站应该设在 与 之间1A2A3A4A5A6ABCDEF43161616.BFAABFAAAACE车站不论设在 ， 之间的哪一点， 与两村的人在公路上所走的路程之和为常数，等于从 到 的路程，既然 和两村的人合在一起一定要走这样的一段路，就可以不用考虑 与 ，于是车站应该设在 ， 之间1A2A3A4A5A6ABCDEF44343425,.CEAACEAAAAC D和前面一样，不论车站设在 ， 之间的这段路之间的什么地方， 和两村的人合起来一定要走 与之间这段路，所以又可以去掉 和 ，而只考虑和的人在之间所走的这段路1A2A3A4A5A6ABCDEF45.CDD从上
18、面的分析可以看出，车站设在 或 与之间的任何地方都可以同理，若有七个村庄时，应建立在 点1A2A3A4A5A6ABCDEF461234561266,.|a a a a a axyxaxaxa法二：如图所示，以公路为数轴，设 个村庄的坐标依次为设车站建在 点由绝对值不等式：1A2A3A4A5A6A1a23aa4a5a6a47126123456|()()()()()()|yxaxaxaxaxaxaxaxaxa1A2A3A4A5A6A1a23aa4a5a6a456123|.aaaaaa34,.xa aCDD等号在时取得，即应建立在 与 之间.同理，有七个村庄时，应建立在 点48由于大学自主招生考试是
19、对选拔优秀创新性人才的一种探索，因此高校的自主招生试题中经常出现一些以高等数学知识为命题背景的试题，这些试题对考生的后续学习作用较大，又能用初等知识解决.求解这类型的试题会让中学生感到相当棘手.499.(2010)年清华特色测试ab在蒲丰投针试验中，平行线间距为 ，针长为 ，1.ab试求针与线相交概率与 、 的关系，并求在什么情况下概率是0,0.2MxMax解:令表示针的中点, 表示针投在平面上时,与最近的一条平行线的距离,用 表示针与最近一条平行线的夹角,显然,axM50.xOR如图,上式表示坐标系中的一个矩形sin2bxM而是使针与平行线(此线必为与点最近的平行线)相交的充分必要条件.GO
20、2axaxM51sin2bx不等式表示图中阴影部分.GO2ax.RP我们把抛针到平面上这件事理解为具有“均匀性”.因此,这个问题等价于向区域 中“均匀分布”地投点,求落入阴影部分的概率0sin.2bdb 由积分知识,知阴影部分的面积为2.2bbPaa故12.ab特别地,当时,所求的概率为52310.(2010)sin,(0,).62xxxx年南开大学数学特长班求证:3,( )sin,(0,),62xxxf xxxx分析:题目中除了 的取值范围外没有其它条件,不等式的两边均含有字母 因此,可以考虑构造函数利用导数工具研究函数在其定义域上的单调性.533( )sin,(0,).62xf xxxx解
21、:令21(0)0,( )cos12ffxxx ( )sinfxxx 3( )(0,)(0)0,( )0,2( )(0,)( )(0)0.2sin.6fxffxf xf xfxxx是上单调增函数,又从而是上单调增函数,即(0,)sin2xxx常用的一个结论:当时,( )sin0,(0,)2fxxxx 54357sinsin,(,)3!5!7!xxxxxx 这个问题实质上是高等数学中提到的的泰勒展开式:的前两项的放缩.一般来说, 如果不等式的一边是某种函数,另一边是多项式的题目,我们一般可考虑使用导数工具证明.55高校的人才培养目标不同，所需要学生特点也不同.但各大高校都比较青睐于有特殊才能的学生
22、，青睐于有“个性”的学生. 毕竟自主招生不是高考，命题也会相对轻松，因此，高校的自主招生试题也经常会出现一些比较有趣味性的试题，以考查学生的兴趣.5699 9(1)919(2)919.11.(2009) 这是一个由 个小的九宫格组成的的方格，请运用已经显示的数字的提示，确定每个空格中的数字，使之符合两个条件： 每一行和每一列中的 个数字必须是不重复的 到 ；每一个小九宫格中的 个数字必须是不重复的 到你填写的每一个数字必须是依推理唯年上海交通学一确定的大数独数独57234415 1675639459718623 8271 4586179341556597641324823 872415960通
23、过我们对自主招生试题特点的解读，针对这些特点，希望同学们在复习的过程中应注意以下几点：61自主招生试题被压中的可能性极小，知识点都靠平时的积累，其余的就是个人的临场发挥.因此，要求同学们应将平时的基础知识打牢固.才能做到高考与自主招生两不误.在复习过程中应注意数学知识产生的原因，做到不仅“知其然”，还要“知其所以然.”对于一些高考不常考或考得较为简单的内容，如集合、复数等也不可忽视.62.孙子.谋略中写道：“知已知彼，百战不殆.”由于各大高校所考的试题内容和形式有较大的区别，所以在备考时应注意有针对性地备考，最好是将你想报的大学的自主招生试题提前训练，熟悉一下题型与套路,不打无准备之仗.63由于清华大学、北京大学、浙江大学、中国科技大学等全国重点中的名牌院校的自主招生试题相对较通难，有的甚至达到了高中数学联赛一试的水平，这就提醒我们平时要注意对知识内容的延伸和拓宽.64高校的自主招生试题大多数强度较高，考试心态直接影响考试策略的运用、方法的选择以及计算的准确性和速度.因此考生既要认真对待，又不要想“毕其功于一役”，应正确的认识到“多一次参与的机会，多一份经历”，做到胜不骄、败不馁.针对部分院校有考查学生兴趣的情况，同学们还是需要在课下培养一些自已的良好兴趣的,如数独、幻方等.65
