1、1.1 基本计数原理基本计数原理 问题问题1.某旅游团从南京到上海，可以乘汽车，也可以某旅游团从南京到上海，可以乘汽车，也可以乘火车，假定汽车每日有乘火车，假定汽车每日有3班班,火车每日有火车每日有2班班,那么一天那么一天中从南京到上海共有多少种不同的走法中从南京到上海共有多少种不同的走法?上海宁波上海5 =3+2分类加法计数原理分类加法计数原理 幻灯片幻灯片 4 做一件事，完成它有做一件事，完成它有n类办法类办法,在第一类办法中有在第一类办法中有m1种不同的方法种不同的方法,在第二类办法中有在第二类办法中有m2种不同的方法种不同的方法在在第第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法。那么完成这
2、件事共有种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+m n 种不同的方法。种不同的方法。 做一件事做一件事,完成它需要分成完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤个步骤，做第一个步骤有有m1种不同的方法，做第第二个步骤有种不同的方法，做第第二个步骤有m2种不同的方种不同的方法法做第做第n个步骤有个步骤有mn种不同的方法。那么完成这件事种不同的方法。那么完成这件事共有共有 种不同的方法种不同的方法。N=m1m2m n 分步乘法计数原理分步乘法计数原理 幻灯片幻灯片 5问题问题2.后来该旅游团改变行程，后来该旅游团改变行程，增加杭州两日游，增加杭州两日游，先乘汽车从南京至杭州，两天后再乘汽车从杭
3、先乘汽车从南京至杭州，两天后再乘汽车从杭州至上海，假定南京至杭州的汽车每天有班，州至上海，假定南京至杭州的汽车每天有班，杭州至上海的汽车每天有班，那么该团杭州至上海的汽车每天有班，那么该团从南从南京经杭州到上海有多少种不同的方法？京经杭州到上海有多少种不同的方法？上海宁波杭州=32 幻灯片 3 6两个基本计数原理理的联系和区别：两个基本计数原理理的联系和区别：分类加法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理联系联系区别区别1 1（方式（方式不同）不同）区别区别2 2（各方（各方法作用法作用不同）不同）完成一件事，共有n类办法，方式是“分类”完成一件事，共分n个步骤，方式是“分步
4、”各类办法相互独立；各类办法中的任何一种方法都能独立地完成这件事。各步骤相互依存，缺一不可；只有把各个步骤全部完成，才能完成这件事（每个步骤中的任何一种方法都不能独立地完成这件事）。都是研究完成一件事的不同方法种数的计数方法合作探究一：合作探究一： 一个三层书架的上层放有一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中间放有本不同的数学书，中间放有3本不本不同的语文书，下层放有同的语文书，下层放有2本不同的英语书本不同的英语书: （1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一）从书架上任取三本书，其中
5、数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？本，有多少种不同的取法？ 解：（解：（1）从书架上任取一本书，有三类办法：）从书架上任取一本书，有三类办法：第一类办法第一类办法 从书架上层任取一本数学书，有从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法；种不同的方法；第二类办法第二类办法 从书架中层任取一本语文书，有从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法；种不同的方法；第三类办法第三类办法 从书架下层任取一本英语书，有从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法。种不同的方法。 只要从书架上任意取出一本书，任务即完成，由分类加法只要从书架上任意取出一本书，任务即完成，由分类加法计数原理，可得不
6、同的取法共有计数原理，可得不同的取法共有 N=5+3+2=10（种）。（种）。 （2 2）从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，）从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，可以分三个步骤完成：可以分三个步骤完成： 第一步第一步 从书架上层任取一本数学书，有从书架上层任取一本数学书，有5 5种不同的方法；种不同的方法； 第二步第二步 从书架中层任取一本语文书，有从书架中层任取一本语文书，有3 3种不同的方法；种不同的方法； 第三步第三步 从书架下层任取一本英语书，有从书架下层任取一本英语书，有2 2种不同的方法。种不同的方法。 由分步乘法计数原理，可得不同的取法共有由
7、分步乘法计数原理，可得不同的取法共有 N=5N=53 32=302=30（种）。（种）。 所以从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书所以从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，共有各一本，共有3030种不同的取法。种不同的取法。 探究成果探究成果: 1. 应用两个基本计数原理解题时，要明确是应用两个基本计数原理解题时，要明确是“分类分类”？还？还是是“分步分步”？“分类分类”完成用加法计数原理完成用加法计数原理;“分步分步”完成用乘完成用乘法计数原理；法计数原理； 2.注意解题步骤的规范。注意解题步骤的规范。解：（解：（1）完成）完成“组成无重复数字的四位密码组成无重复数
8、字的四位密码”这件事，可以这件事，可以分四个步骤：分四个步骤： 第一步第一步 选取左边第一个位置上的数字，有选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；种选取方法； 第二步第二步 选取左边第二个位置上的数字，有选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；种选取方法； 第三步第三步 选取左边第三个位置上的数字，有选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；种选取方法； 第四步第四步 选取左边第四个位置上的数字，有选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法；种选取方法； 由分步乘法计数原理，可组成不同的四位密码共有由分步乘法计数原理，可组成不同的四位密码共有 N=5432=120（个）（个）合作探
9、究二：合作探究二： 用用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：这五个数字可以组成多少个无重复数字的： （1）银行存折的四位密码？）银行存折的四位密码？ （2）四位数？）四位数？ 幻灯片 9 （3）四位奇数？）四位奇数？ 幻灯片 10探究成果 （2）完成）完成“组成无重复数字的四位数组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步这件事，可以分四个步骤：骤： 第一步第一步 从从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有中选取一个数字做千位数字，有4 种种不同的选取方法；不同的选取方法； 第二步第二步 从从1，2，3，4中剩余的三个数字和中剩余的三个数字和0共四个数字中选取共四个数字
10、中选取一个数字做百位数字，有一个数字做百位数字，有4种不同的选取方法；种不同的选取方法； 第三步第三步 从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字，有从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字，有3种种不同的选取方法；不同的选取方法； 第四步第四步 从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字，有从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字，有2种种不同的选取方法；不同的选取方法； 由分步乘法计数原理，可组成不同的四位数共有由分步乘法计数原理，可组成不同的四位数共有 N=4432=96（个）（个） 幻灯片 8 (3）解法一：完成）解法一：完成“组成无重复数字的四位奇数组成无重复数字的四位奇数”这件事，有两
11、类办法：这件事，有两类办法： 第一类办法第一类办法 四位奇数的个位数字为四位奇数的个位数字为1，这件事分三个步骤完成：，这件事分三个步骤完成： 第一步第一步 从从2，3，4中选取一个数字做千位数字，有中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法；种不同的选取方法； 第二步第二步 从从2，3，4中剩余的两个数字和中剩余的两个数字和0共三个数字中选取一个数字做百共三个数字中选取一个数字做百位数字，有位数字，有3种不同的选取方法；种不同的选取方法； 第三步第三步 从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的种不同的选取方法；选取方法； 由分
12、步乘法计数原理，第一类的四位奇数共有由分步乘法计数原理，第一类的四位奇数共有 N1=332=18（个）（个） 第二类办法第二类办法 四位奇数的个位数字为四位奇数的个位数字为3，这件事分三个步骤完成：，这件事分三个步骤完成： 第一步第一步 从从1，2，4中选取一个数字做千位数字，有中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法；种不同的选取方法； 第二步第二步 从从1，2，4中剩余的两个数字和中剩余的两个数字和0共三个数字中选取一个数字做百共三个数字中选取一个数字做百位数字，有位数字，有3种不同的选取方法；种不同的选取方法； 第三步第三步 从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有从剩余的两
13、个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的种不同的选取方法；选取方法； 由分步乘法计数原理，第二类的四位奇数共有由分步乘法计数原理，第二类的四位奇数共有 N2=332=18（个）（个） 最后，由分类加法计数原理，符合条件的四位奇数共有最后，由分类加法计数原理，符合条件的四位奇数共有 N=N1+N2=18+18=36（个）（个） (3)(3)解法二：完成解法二：完成“组成无重复数字的四位奇数组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分这件事，可以分四个步骤：四个步骤： 第一步第一步 确定个位数字：从确定个位数字：从1 1，3 3中选取一个数字做个位数字中选取一个数字做个位数字, , 有有2 2种
14、不同的选取方法；种不同的选取方法； 第二步第二步 确定千位数字：从确定千位数字：从1 1，2 2，3 3，4 4剩余的三个数字中选剩余的三个数字中选取一个数字做千位数字，有取一个数字做千位数字，有3 3种不同的选取方法；种不同的选取方法； 第三步第三步 确定百位数字：从确定百位数字：从1 1，2 2，3 3，4 4剩余的两个数字和剩余的两个数字和0 0共三个数字中，选取一个数字做百位数字，有共三个数字中，选取一个数字做百位数字，有3 3种不同的选取方种不同的选取方法；法； 第四步第四步 确定十位数字：从剩余的两个数字中，选取一个数确定十位数字：从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有字做
15、十位数字，有2 2种不同的选取方法；种不同的选取方法； 由分步乘法计数原理，符合条件的四位奇数共有由分步乘法计数原理，符合条件的四位奇数共有 N=2 N=23 33 3 2 2 =36（个）（个）. . 幻灯片 8探究成果探究成果 2.对于有特殊元素或特殊位置的问题，可优先安排。对于有特殊元素或特殊位置的问题，可优先安排。 3.对于同一个事件的处理，可以采用不同的解法，但结对于同一个事件的处理，可以采用不同的解法，但结果肯定是相同的，用这种方法可以起到很好的检验效果。果肯定是相同的，用这种方法可以起到很好的检验效果。 1.应用两个基本计数原理解题时，首先必须弄明白怎应用两个基本计数原理解题时，
16、首先必须弄明白怎样就能样就能“完成这件事完成这件事”？其次要做到合理分类，准确分步，？其次要做到合理分类，准确分步，按元素的性质分类，按事件发生的过程分步是计数问题的按元素的性质分类，按事件发生的过程分步是计数问题的基本方法。基本方法。变式练习：变式练习： 用用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无这五个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？重复数字的四位偶数？解：完成解：完成“组成无重复数字的四位偶数组成无重复数字的四位偶数”这件事，有两类办法：这件事，有两类办法： 第一类办法第一类办法 四位偶数的个位数字为四位偶数的个位数字为0，这件事分三个步骤，这件事分三个步骤完成：完成： 第一
17、步第一步 从从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有中选取一个数字做千位数字，有4种种不同的选取方法；不同的选取方法； 第二步第二步 从从1，2，3，4中剩余的三个数字中选取一个数字做中剩余的三个数字中选取一个数字做百位数字，有百位数字，有3种不同的选取方法；种不同的选取方法； 第三步第三步 从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有有2种不同的选取方法；种不同的选取方法； 由分步乘法计数原理，第一类的四位偶数共有由分步乘法计数原理，第一类的四位偶数共有 N1=432=24（个）（个）升华提高：升华提高： 很多实际问题需要综合应用两个基本计数
18、原理方能解决，此很多实际问题需要综合应用两个基本计数原理方能解决，此时可根据需要先分类再分步，或者先分步再分类。时可根据需要先分类再分步，或者先分步再分类。 第二类办法第二类办法 四位偶数的个位数字为四位偶数的个位数字为2或或4，这件事分四个步骤，这件事分四个步骤完成：完成： 第一步第一步 从从2，4中选取一个数字做个位数字，有中选取一个数字做个位数字，有2种不同的选取种不同的选取方法；方法； 第二步第二步 从从1，2，3，4中剩余的三个数字中选取一个数字做千中剩余的三个数字中选取一个数字做千位数字，有位数字，有3种不同的选取方法；种不同的选取方法； 第三步第三步 从从1，2，3，4剩余的两个
19、数字与剩余的两个数字与0共三个数字中，选取共三个数字中，选取一个数字做百位数字，有一个数字做百位数字，有3种不同的选取方法；种不同的选取方法； 第四步第四步 从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的选取方法；种不同的选取方法； 由分步乘法计数原理，第二类的四位偶数共有由分步乘法计数原理，第二类的四位偶数共有 N2=2332=36（个）（个） 最后，由分类加法计数原理，符合条件的四位偶数共有最后，由分类加法计数原理，符合条件的四位偶数共有 N=N1+N2=24+36=60（个）（个） 合作探究三合作探究三 ： 我们把一元硬币有国徽的一
20、面叫正面，有币值的一面叫反我们把一元硬币有国徽的一面叫正面，有币值的一面叫反面。现依次抛出面。现依次抛出5枚一元硬币，按照抛出的顺序得到一个由枚一元硬币，按照抛出的顺序得到一个由5个个“正正”或或“反反”组成的序列，如组成的序列，如“正、反、反、反、正正、反、反、反、正”。问。问一共可以得到多少个不同的这样的序列？一共可以得到多少个不同的这样的序列？解：分解：分5个步骤完成这件事，每个步骤都有个步骤完成这件事，每个步骤都有“正正”或或“反反”两种不同的情况，有分步乘法计数原理，得两种不同的情况，有分步乘法计数原理，得 N=22222=25=32. 所以一共可以得到所以一共可以得到32个不同的序
21、列。个不同的序列。探究成果探究成果: 应用两个计数原理解题时，要注意判断是否重复。应用两个计数原理解题时，要注意判断是否重复。当堂检测：当堂检测：1. 一个科技小组中有一个科技小组中有3名女同学，名女同学，5名男同学。名男同学。从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法的选派方法_种；若从中任选一名女同学种；若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法派方法_种。种。8 815153. 3位旅客到位旅客到4个旅馆住宿，有个旅馆住宿，有 种不同的住种不同的住宿方法。宿方法。 幻灯片幻灯片 192
22、. 从甲地到乙地有从甲地到乙地有2条路可通条路可通,从乙地到丙地有从乙地到丙地有3 条路可通条路可通;从甲地到丁地有从甲地到丁地有4条路可通条路可通, 从丁地到从丁地到丙地有丙地有2条路可通。从甲地经过乙地或丁地到条路可通。从甲地经过乙地或丁地到丙地共有丙地共有 种不同的走法。种不同的走法。 幻灯片幻灯片 18141464 课堂总结课堂总结甲地乙地丙地丁地 解解: :如图所示，从总体上看如图所示，从总体上看, ,由甲由甲到丙有两类不同的走法到丙有两类不同的走法, , 第一类第一类, ,由甲经乙去丙由甲经乙去丙, ,又需又需分两步分两步, ,所以所以m m1 1= 2= 23 =63 =6种不同
23、种不同的走法的走法; ; 第二类第二类, ,由甲经丁去丙由甲经丁去丙, ,也需也需分两步分两步, ,所以所以m m2 2= 4= 42 =82 =8种不同种不同的走法的走法; ; 所以从甲地到丙地共有所以从甲地到丙地共有N=6 N=6 + 8 = 14+ 8 = 14种不同的走法。种不同的走法。幻灯片 162. 从甲地到乙地有从甲地到乙地有2条路可通条路可通,从乙地到丙地有从乙地到丙地有3 条路可通条路可通;从甲从甲地到丁地有地到丁地有4条路可通条路可通, 从丁地到丙地有从丁地到丙地有2条路可通。从甲地经条路可通。从甲地经过乙地或丁地到丙地共有过乙地或丁地到丙地共有 种不同的走法。种不同的走法
24、。解：分解：分3个步骤完成这件事，每位乘客都有个步骤完成这件事，每位乘客都有4种种不同的住宿方法，由分步乘法计数原理，得不同的住宿方法，由分步乘法计数原理，得 N=444=64（种）（种）. 幻灯片幻灯片 163. 33. 3位旅客到位旅客到4 4个旅馆住宿，有个旅馆住宿，有 种不同种不同的住宿方法。的住宿方法。2.2.其次分类要不重不漏，分步要步骤完整。其次分类要不重不漏，分步要步骤完整。N=m1+m2+m n N=m1m2m n 怎样就怎样就“完成这件事完成这件事”？ 课堂总结3.3.还须注意特殊元素（或特殊位置）优先安排以及是还须注意特殊元素（或特殊位置）优先安排以及是否重复等。否重复等
25、。A案（课后巩固）案（课后巩固）层次一：请同学们完善层次一：请同学们完善C案，并完成以下题目：案，并完成以下题目： 1.课本第课本第6页：页： 练习练习A 2，3；练习；练习B 2； 2.课本第课本第7页：页： 习题习题1-1 A 2，3.层次二：完成以下题目：层次二：完成以下题目： 课本第课本第7页：页： 习题习题1-2 B 1，2.探究拓展：探究拓展： 如图（见如图（见A案）案）,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分四个区域分别涂上红、蓝、黄别涂上红、蓝、黄3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种允许同一种颜色使用多次颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂不同的涂色方案有多少种（涂色问题）？色方案有多少种（涂色问题）？
