1、matlabmatlab非线性控制系统分析非线性控制系统分析主要内容 原理要点 非线性系统概述 相平面法 描述平面法 原理要点原理要点 非线性系统的研究方法由于系统的复杂性和多非线性系统的研究方法由于系统的复杂性和多样性而成为控制界的研究热点，从而产生了很样性而成为控制界的研究热点，从而产生了很多理论方法。比较基本的有李雅普诺夫第二法，多理论方法。比较基本的有李雅普诺夫第二法，小范围线性近似法，描述函数法，相平面法，小范围线性近似法，描述函数法，相平面法，计算机仿真等等。计算机仿真等等。1. 典型的非线性特性典型的非线性特性典型的非线性特性有死区非线性、饱和非线性、间隙非线性、典型的非线性特性
2、有死区非线性、饱和非线性、间隙非线性、继电非线性等。继电非线性等。Simulink给出了部分非线性特性模块。用给出了部分非线性特性模块。用户也可以自行构建非线性特性模块。户也可以自行构建非线性特性模块。2. 非线性控制系统非线性控制系统含有非线性元件或环节的控制系统称为非线性控制系统。含有非线性元件或环节的控制系统称为非线性控制系统。非线性系统输出暂态响应曲线的形状与输入信号的大小和初非线性系统输出暂态响应曲线的形状与输入信号的大小和初始状态有关，非线性系统的稳定性亦与输入信号的大小和始状态有关，非线性系统的稳定性亦与输入信号的大小和初始状态有关。非线性系统常会产生持续振荡。初始状态有关。非线
3、性系统常会产生持续振荡。3. 描述函数法描述函数法非线性特性的描述函数法是线性部件频率特性在非线性特非线性特性的描述函数法是线性部件频率特性在非线性特性中的推广。它是对非线性特性在正弦信号作用下的输性中的推广。它是对非线性特性在正弦信号作用下的输出进行谐波线性化处理之后得到的，是非线性特性的一出进行谐波线性化处理之后得到的，是非线性特性的一种近似描述。种近似描述。4. 用描述函数研究系统的稳定点的方法用描述函数研究系统的稳定点的方法用描述函数研究系统的稳定点的方法，是建立在线性系统用描述函数研究系统的稳定点的方法，是建立在线性系统Nyquist稳定判据基础上的一种工程近似方法。其基本思稳定判据
4、基础上的一种工程近似方法。其基本思想是把非线性特性用描述函数来表示，将复平面上的整想是把非线性特性用描述函数来表示，将复平面上的整个非线性曲线个非线性曲线()理解为线性系统分析中的临界点，再将线理解为线性系统分析中的临界点，再将线性系统有关稳定性分析的结论用于非线性系统。性系统有关稳定性分析的结论用于非线性系统。16.1非线性系统概述 含有非线性元件或环节的控制系统称为非线性控制含有非线性元件或环节的控制系统称为非线性控制系统。系统。 一般非线性系统的数学模型可表示为一般非线性系统的数学模型可表示为：11( )( )( )( ),., ( ),., ( )0nnmnnmd x tdx tdx
5、td u tFx tu tdtdtdtdt写成多变量的形式为：写成多变量的形式为：( )( ),( ), X tf X tU tt 在在F与与f函数中，如果相应的算子为线性，函数中，如果相应的算子为线性，则称为线性系统，否则称为非线性系统。则称为线性系统，否则称为非线性系统。如果不显含如果不显含t，则为时不变系统，若显含，则为时不变系统，若显含t，则称为时变系统。则称为时变系统。 非线性系统输出暂态响应曲线的形状与非线性系统输出暂态响应曲线的形状与输入信号的大小和初始状态有关，非线输入信号的大小和初始状态有关，非线性系统的稳定性亦与输入信号的大小和性系统的稳定性亦与输入信号的大小和初始状态有关
6、。非线性系统常会产生持初始状态有关。非线性系统常会产生持续振荡。续振荡。16.2 非线性特性模块的构建及示例 典型的非线性特性有死区非线性、饱和非线性、典型的非线性特性有死区非线性、饱和非线性、间隙非线性、继电非线性等。间隙非线性、继电非线性等。Simulink给出了给出了部分非线性特性模块。这在部分非线性特性模块。这在Simulink一章中已一章中已列出。在系统仿真中可以直接使用。但对于没列出。在系统仿真中可以直接使用。但对于没有提供的模块则需要我们自己构建。那么如何有提供的模块则需要我们自己构建。那么如何根据需要构建任意的非线性模块呢？事实上，根据需要构建任意的非线性模块呢？事实上，任意的
7、静态非线性模块，无论其是单值非线性，任意的静态非线性模块，无论其是单值非线性，还是多值非线性，都可以由还是多值非线性，都可以由Simulink构建，并构建，并直接用于仿真。直接用于仿真。 例例1：构建如图：构建如图16.1分段线性的非线性特性模块。分段线性的非线性特性模块。图图16.1 例例1非线性特性非线性特性1.新建一个空白模型。在模型中添加子模块集新建一个空白模型。在模型中添加子模块集Lookup Tables中中的的Lookup Table模块。模块。2.设置模块属性。双击设置模块属性。双击Lookup Table模块进入其属性设置窗口，模块进入其属性设置窗口，如图如图16.2，并添加
8、非线性特性值。其中，并添加非线性特性值。其中，Vector of input values栏为横坐标向量，而栏为横坐标向量，而Table data栏为纵坐标向量。需要栏为纵坐标向量。需要注意的是，如果仅添加了图中的所有转折点坐标，则位于最左注意的是，如果仅添加了图中的所有转折点坐标，则位于最左侧与最右侧外边的特性将无法表现。因此还应该在特性曲线的侧与最右侧外边的特性将无法表现。因此还应该在特性曲线的两侧再找两点，从而完整地表现非线性特性。根据非线性函数，两侧再找两点，从而完整地表现非线性特性。根据非线性函数，位于最左侧转折点位于最左侧转折点(-3，-1)之外的点取为之外的点取为(-4，-2)，
9、位于最右侧，位于最右侧转折点转折点(4，1)之外的点取为之外的点取为(5，2)。图图16.2 非线性特性属性设置窗口非线性特性属性设置窗口 例2：构建如图16.3的回环非线性特性模块。图图16.3 例例2非线性特性非线性特性 分析：该特性在输入信号增加时走一条折线，而在输入信号减小分析：该特性在输入信号增加时走一条折线，而在输入信号减小时走另一条折线。可以将特性分解为两个单值函数。如图时走另一条折线。可以将特性分解为两个单值函数。如图16.4。 根据例根据例1的结果，这两个单值函数都可以用查表模块实现。这里的结果，这两个单值函数都可以用查表模块实现。这里有两个问题需要解决。一是如何判断输入是增
10、加还是减小？在判有两个问题需要解决。一是如何判断输入是增加还是减小？在判断输入信号是否为增加时，可通过比较输入信号的当前值和它的断输入信号是否为增加时，可通过比较输入信号的当前值和它的上一步值进行判断。而上一步值进行判断。而Simulink离散模块组中提供的离散模块组中提供的Memory模模块，可以用来记忆上一个计算步长的信号值，这样将输入信号的块，可以用来记忆上一个计算步长的信号值，这样将输入信号的当前值和它的上一步值分别作为比较模块当前值和它的上一步值分别作为比较模块(Relational Operator)的输入，即可输出代表上升还是下降的逻辑值的输入，即可输出代表上升还是下降的逻辑值1
11、 和和0。二是如何。二是如何控制特性曲线走不同折线？控制特性曲线走不同折线？Simulink中的中的Signal Routing子模子模块组中块组中Switch模块，使用比较模块的输出作为输入控制，即可模块，使用比较模块的输出作为输入控制，即可使模块对输入信号的不同变化走不同折线。具体实现如图使模块对输入信号的不同变化走不同折线。具体实现如图16.5：(a) 输入上升分支输入上升分支 (b) 输入下降分支输入下降分支图图16.4 特性分解后的两个单值函数特性分解后的两个单值函数Out11输 入 下 降 分 支输 入 上 升 分 支SwitchRelationalOperator=MemoryI
12、n11图图16.5 例例2非线性特性的非线性特性的Simulink模型模型1.新建一个空白模型。添加所需的不同模块。新建一个空白模型。添加所需的不同模块。2.进行不同模块的连接并进行属性设置。进行不同模块的连接并进行属性设置。图图16.5中，输入上升分支和输入下降分支都是调用了查表模块。中，输入上升分支和输入下降分支都是调用了查表模块。其设置见图其设置见图16.6。(a) 输入上升分支设置窗口输入上升分支设置窗口 (b) 输入下降分支设置窗口输入下降分支设置窗口图图16.6 例例2非线性特性设置窗口非线性特性设置窗口对输入信号当前值和其上一步的值比较，如果当前值大于等于对输入信号当前值和其上一
13、步的值比较，如果当前值大于等于前一步值，则模块表现为上升分支的特性；反之，则表现为前一步值，则模块表现为上升分支的特性；反之，则表现为下降分支的特性。下降分支的特性。Relational Operator(比较模块比较模块)默认值为默认值为=。Switch(开关模块开关模块)的控制阀值的控制阀值(Threshold)可以设置。这里设为可以设置。这里设为0.5。即控制端输入。即控制端输入=0.5时，按上升分支特性输出，否则按时，按上升分支特性输出，否则按上降分支特性输出。上降分支特性输出。3.给定输入，观察非线性模块的特性。给定输入，观察非线性模块的特性。inreasedecreaseTo Wo
14、rkspacesimoutSwitchSine WaveScopeRelationalOperator=Memory图图16.7 例例2非线性特性在正弦输入的非线性特性在正弦输入的Simulink模型模型 本例给定输入为正弦信号，其幅值分别设为2、4，其输出可以用示波器模块直接观察，也可以输出到工作空间后，使用plot函数绘制。其Simulink模型如图16.7。本例输出到工作空间变量名设为simout，其保存格式设为Array，在命令窗口使用plot函数绘制，运行结果如图。 plot(tout,simout(:,1),tout,simout(:,2)012345678910-2-1.5-1-
15、0.500.511.52012345678910-4-3-2-101234(a) 输入信号幅值为输入信号幅值为2时的仿真输出时的仿真输出 (b) 输入信号幅值为输入信号幅值为4时的仿真输出时的仿真输出 图图16.8 例例2不同输入下的仿真输出不同输入下的仿真输出16.3相平面法 16.3.1 相平面法概述相平面法概述 相平面法是一种求解二阶以下线性或非线性微分方程的图解方法。 对于形如下式的二阶系统( , )0 xf x x 涉及的概念有：涉及的概念有： 1. 相平面：以为横坐标，为纵坐标的直角坐标平面相平面：以为横坐标，为纵坐标的直角坐标平面构成相平面。构成相平面。 2. 相轨迹：以时间为参
16、变量，由表示运动状态的分相轨迹：以时间为参变量，由表示运动状态的分别作为横坐标和纵坐标而绘制的曲线称为相轨迹，别作为横坐标和纵坐标而绘制的曲线称为相轨迹，每根相轨迹与起始条件有关。表示了质点在时刻的每根相轨迹与起始条件有关。表示了质点在时刻的位置和速度。位置和速度。 3. 相平面图：同一系统，不同初始条件下的相轨迹相平面图：同一系统，不同初始条件下的相轨迹是不同的。由所有相轨迹组成的曲线族所构成的图是不同的。由所有相轨迹组成的曲线族所构成的图称为相平面图。称为相平面图。16.3.2 基于MATLAB的相轨迹图绘制实例 例例3：绘制如下系统的单位阶跃输入时的相轨迹。其：绘制如下系统的单位阶跃输入
17、时的相轨迹。其中，非线性部分为饱和非线性，中，非线性部分为饱和非线性， 0.3,0.3,0.30.3,0.3xyx xx 线性部分为线性部分为10( )(4)G ss s系统初始状态为系统初始状态为0。 1.新建一个空白模型。将所需的不同模块添加到空白模型中。新建一个空白模型。将所需的不同模块添加到空白模型中。 2.连接各模块并设置各模块参数。这里将饱和非线性模块连接各模块并设置各模块参数。这里将饱和非线性模块upper limit设为设为0.3，lower limit设为设为-0.3。其它模块的设置不再赘述，。其它模块的设置不再赘述，模型如图模型如图16.9。XY GraphTransfer
18、 Fcn10s+4To Workspace1simout1To WorkspacesimoutStepScopeSaturationIntegrator1s图图16.9 例例3的的Simulink模型模型 3.设置仿真参数。如图设置仿真参数。如图16.10，将，将Solver options下的下的Type项选为项选为Fixed-step，Solver项选项选ode5(Dormand-Prince)，Fixed-step size 设为设为0.01。图图16.10 仿真参数设置窗口仿真参数设置窗口 4.开始仿真。开始仿真。 相轨迹可以直接观察相轨迹可以直接观察XYGraph输出，也可使用输出到
19、工作空间的输出，也可使用输出到工作空间的参数绘制，如图参数绘制，如图16.11所示。所示。 plot(simout(:,1),simout1(:,1) grid00.20.40.60.811.21.4-0.100.10.20.30.40.50.60.70.8图图16.11 例例3输出的相轨输出的相轨迹迹 系统阶跃响应输出如图系统阶跃响应输出如图16.12所示。所示。图图16.12 系统阶跃响应输出系统阶跃响应输出由由16.11分析可知，系统的稳定点在分析可知，系统的稳定点在(1,0)点，即稳态值为点，即稳态值为1。16.4描述函数法16.4.1描述函数法概述描述函数法概述P.J.Daniel于
20、于1940年首先提出了描述函数法。非线性特性的年首先提出了描述函数法。非线性特性的描述函数法是线性部件频率特性在非线性特性中的推广。描述函数法是线性部件频率特性在非线性特性中的推广。它是对非线性特性在正弦信号作用下的输出进行谐波线性它是对非线性特性在正弦信号作用下的输出进行谐波线性化处理之后得到的，是非线性特性的一种近似描述。化处理之后得到的，是非线性特性的一种近似描述。1. 描述函数法的定义：描述函数法的定义：设非线性环节的输入输出关系为设非线性环节的输入输出关系为( )yf x非线性环节输入正弦信号非线性环节输入正弦信号( )sin()x tAt非线性环节的输出通常也为周期信号，可以分解为
21、傅立叶级数非线性环节的输出通常也为周期信号，可以分解为傅立叶级数 0011()( cossin)sin()nnnnnnytAAn t Bn tAYn t 其中，为直流分量，和是第其中，为直流分量，和是第n次谐波的幅值和相角，次谐波的幅值和相角，且有且有201( )cos(),0,1,.nAy tn tdtn201( )sin(),1,2,.nBy tn tdt n22,arctannnnnnnAYABB00A若若 ，且，且 1n时时 nY很小，则非线性环节的输出近似为很小，则非线性环节的输出近似为11( )sin()y tYt 可见，其近似结果和线性环节频率响应形式相似，依可见，其近似结果和线
22、性环节频率响应形式相似，依照线性环节的频率特性的定义，非线性环节的输入输照线性环节的频率特性的定义，非线性环节的输入输出特性可由描述函数表示：出特性可由描述函数表示：1( )111( )( )jj N ABjAYN AN A eeAA对于非线性控制系统的描述函数分析方法，常用的负倒对于非线性控制系统的描述函数分析方法，常用的负倒描述函数为：描述函数为：( )11( )( )j N AeN AN A 对于如图对于如图16.13 的等效非线性系统，的等效非线性系统，且且 ()Gj在开环幅相平面上无右半平面的极点，稳定性判据为：在开环幅相平面上无右半平面的极点，稳定性判据为： 如果如果 1( )N
23、A不被不被 ()G j包围，则系统是稳定的，如果包围，则系统是稳定的，如果 1( )N A被被 ()G j包围，则系统是不稳定的系统。包围，则系统是不稳定的系统。()G j包围的区域称为不稳定区域，不包围的区域称为稳定区域。包围的区域称为不稳定区域，不包围的区域称为稳定区域。 如果如果 1( )N A与与 ()G j，则在交点处，若，则在交点处，若 1( )N A沿着沿着 A 值增加的方向由不稳定区域进入稳定区域，则自激振荡是稳值增加的方向由不稳定区域进入稳定区域，则自激振荡是稳定的，否则，自激振荡是不稳定的。定的，否则，自激振荡是不稳定的。在交点处有：在交点处有：001()()GjNA 2.
24、 用描述函数研究系统的稳定点的方法用描述函数研究系统的稳定点的方法 用描述函数研究系统的稳定点的方法，是建立在线性系用描述函数研究系统的稳定点的方法，是建立在线性系统统Nyquist稳定判据基础上的一种工程近似方法。其基稳定判据基础上的一种工程近似方法。其基本思想是把非线性特性用描述函数来表示，将复平面上本思想是把非线性特性用描述函数来表示，将复平面上的整个非线性曲线的整个非线性曲线( 1, 0)j统有关稳定性分析的结论用于非线性系统。统有关稳定性分析的结论用于非线性系统。01/()NX理解为线系理解为线系统分析中的临界点统分析中的临界点 ，再将线性系再将线性系Out11-1G(s)N(A)图
25、图16.13 等效非线性系统等效非线性系统对于如图对于如图16.13 的等效非线性系统，且的等效非线性系统，且 ()Gj在开环幅相平面上无右半平面的极点，稳定性判据为：在开环幅相平面上无右半平面的极点，稳定性判据为： 如果如果 1( )N A不被不被 ()G j包围，则系统是稳定的，如果包围，则系统是稳定的，如果 1( )N A被被 ()G j包围，则系统是不稳定的系统。包围，则系统是不稳定的系统。()G j包围的区域称为不稳定区域，不包围的区域称为稳定区域。包围的区域称为不稳定区域，不包围的区域称为稳定区域。 如果如果 1( )N A与与 ()G j，则在交点处，若，则在交点处，若 1( )
26、N A沿着沿着 A 值增加的方向由不稳定区域进入稳定区域，则自激振荡是稳值增加的方向由不稳定区域进入稳定区域，则自激振荡是稳定的，否则，自激振荡是不稳定的。定的，否则，自激振荡是不稳定的。在交点处有：在交点处有：001()()GjNA由此可求出自激振荡的振幅由此可求出自激振荡的振幅 0A和振荡频率和振荡频率 。 016.4.2 基于MATLAB的描述函数法 非线性系统分析实例 例例4：考虑如图：考虑如图16.14的非线性系统，图的非线性系统，图中的继电器非线性模块。试判断系统是中的继电器非线性模块。试判断系统是否存在自振；若有自振，求出自振的振否存在自振；若有自振，求出自振的振幅和频率。幅和频
27、率。图图16.14 例例4系统框图系统框图 1.绘制非线性部分和线性部分的幅相图，判断系绘制非线性部分和线性部分的幅相图，判断系统稳定情况统稳定情况 程序如下：程序如下：x=1:0.1:20;disN=40/pi./x.*sqrt(1-x.(-2)-j*40/pi./x.2; %描述函数disN2=-1./disN; %负倒描述函数w=1:0.01:200;num=12; %线性部分分子den=conv(1 1,1 6 13); %线性部分分母rem,img,w=Nyquist(num,den,w); %线性部分Nyquist曲线参数plot(real(disN2),imag(disN2),r
28、em,img) %同时绘制非线性部分和线性部分的极坐标图grid; %加网格-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.1图图16.15 程序运行结果图程序运行结果图 -0.1662-0.1661-0.1661-0.166-0.166-0.1659-0.1659-0.0786-0.0786-0.0786-0.0786-0.0785-0.0785-0.0785-0.0785-0.0785 图图16.16 程序运行结果局部放大图程序运行结果局部放大图由图由图16.15可见，两曲线相交，系统存在自激振荡。可见，两曲线
29、相交，系统存在自激振荡。 2.利用交点坐标值求取振荡幅值和频率利用交点坐标值求取振荡幅值和频率 %读出线性部分和非线性部分交点的坐标值，并利用坐标值求出振荡幅值和频率 w0=spline(img,w,-0.0785) %当img=-0.0785时，所对应的w值 x0=spline(real(disN2),x,-0.166) %当disN2的实部为-0.166时，所对应的x值 由图16.15可见，两条曲线有交点，存在自激振荡。经局部放大，如图16.16，可得到交点坐标为(-0.0785，-0.166)。 w0 = 3.2087 x0 = 2.3382 则系统中有的自激振荡。 3.建立建立Simulink模型，如图模型，如图16.17，进行仿真。，进行仿真。图图16.17 例例4系统的系统的Simulink仿真模仿真模型型图图16.18 系统的系统的Simulink仿真输出结果仿真输出结果由图由图16.18所示的仿真输出可见，系统中确实存在所示的仿真输出可见，系统中确实存在自激振荡，进一步证实了前面的分析。自激振荡，进一步证实了前面的分析。
