1、 灰色预测模型灰色预测模型 马文丽马文丽201620154201620154 2 一一灰色预测的概念灰色预测的概念 ； 二二 灰色生成数列灰色生成数列； 四四 灰色预测计算实例。灰色预测计算实例。 三三 灰色模型灰色模型GMGM； 一、灰色预测的概念 （1 1）灰色系统、白色系统和黑色系统）灰色系统、白色系统和黑色系统白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。即系统的信息是完全充分的。黑色系统是指一个系统的内部信息对外界黑色系统是指一个系统的内部信息对外界 来说来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以是一无所知的，只
2、能通过它与外界的联系来加以观测研究。观测研究。灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知息是未知 的，系统内各因素间有不确定的关系。的，系统内各因素间有不确定的关系。 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系灰色预测法是一种对含有不确定因素的系 统进行预测的方法。统进行预测的方法。 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预则，就是对在一定范围内定信息的系统进行预则，就是对在一定范围内 变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。 （2 2）灰色预测法）灰色预测法 一、
3、灰色预测的概念 灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列据序列, , 然后建立相应的微分方程模型，从而预测然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。事物未来发展趋势的状况。灰色预测法用等时距观测到的反映预测对象特征灰色预测法用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量
4、，或达到某一特征量的时间。时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。 一、灰色预测的概念 （3 3）灰色预测的四种常见类型）灰色预测的四种常见类型 数列预测数列预测 对某现象随时间的顺延而发生的变化所做的预测定对某现象随时间的顺延而发生的变化所做的预测定义为数列预测。例如对消费物价指数的预测，需要确定义为数列预测。例如对消费物价指数的预测，需要确定两个变量，一个是消费物价指数的水平两个变量，一个是消费物价指数的水平, ,另一个是这一水另一个是这一水平所发生的时间。平所发生的时间。 灾变预测灾变预测 对灾害或异常突变可能发生的时间预测称为灾变预对灾害或异常突变可能发生的时间预测称为灾变预测。例如对地
5、震时间的预测。测。例如对地震时间的预测。 一、灰色预测的概念 系统预测系统预测 对系统中众多变量间相互协调关系的发展变化所对系统中众多变量间相互协调关系的发展变化所进行的预测称为系统预测。例如市场中替代商品、相互进行的预测称为系统预测。例如市场中替代商品、相互关联商品销售量互相制约的预测。关联商品销售量互相制约的预测。拓扑预测拓扑预测 将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测未来该定值所发生的时点。建立模型预测未来该定值所发生的时点。 一、
6、灰色预测的概念 二、灰色生成数列 灰色系统理论认为，尽管客观表象复杂，但总是有整体功能的，因此必然蕴含某种内在规律。关键在于如何选择适当的方式去挖掘和利用它。灰色系统是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的，这是一种就数据寻求数据的现实规律的途径，即为灰色序列的生成。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，显现其规律性。数据生成的常用方式有累加生成、累减生成和加权累加生成。（1）累加生成 把数列各项（时刻）数据依次累加的过程称为累加生把数列各项（时刻）数据依次累加的过程称为累加生成过程（成过程（AGO AGO ）。由累加生成过程所得的数列称为）。由累加生成过程所得的数列称为累加生成数列。设原
7、始数列为累加生成数列。设原始数列为 令令称所得到的新数列为数列称所得到的新数列为数列 的的1次累加生成数列。类似次累加生成数列。类似地有地有称为称为 的的r次累加生成数列。次累加生成数列。)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxx, 2 , 1, )()(1)0()1(nkixkxki)(,),2(),1 ()1()1()1()1(nxxxx)0(x1, 2 , 1, )()(1)1()(rnkixkxkirr)0(x累加生成计算示例累加生成计算示例例：例：x (0)=(x (0) (k) k=1，2，3，4，5) =x(0)(1)，x(0)(2)，x(0)(3)，x(0)(4
8、)，x(0)(5) =(3.2，3.3，3.4，3.6，3.8) 求求 x(1)(k)解：解：21) 0 () 0 () 0 () 1 () 0 () 1 (5 . 63 . 32 . 3) 2 () 1 () () 2 (, 22 . 3) 1 () 1 (, 1ixxixxkxxk51)0() 1 ()0() 1 ()0() 1 (41)0() 1 ()0() 1 (31)0() 1 (3 .178 . 35 .13) 5 () 4()() 5 (, 55 .136 . 39 . 9) 4() 3 ()() 4(, 49 . 94 . 35 . 6) 3 () 2()() 3 (, 3ii
9、ixxixxkxxixxkxxixxk累加生成的特点累加生成的特点 一般经济数列都是非负数列。累加生成一般经济数列都是非负数列。累加生成能使任意非负数列、摆动的与非摆动的，转能使任意非负数列、摆动的与非摆动的，转化为非减的、递增的。化为非减的、递增的。 原始数列作图原始数列作图 1AGO1AGO作图作图 某市的汽车销售量 递增的规律 原始数列作图 1AGO作图 有明显的指数关系的规律 某钢厂产量某地区作物产量 s型变化规律 （2）累减生成对于原始数据列依次做前后相邻的两个数据相减的对于原始数据列依次做前后相邻的两个数据相减的运算过程称为累减生成过程运算过程称为累减生成过程IAGO。如果原始数据
10、列。如果原始数据列为为令令 称所得到的数列称所得到的数列 为为 的的1次累减生成数列。次累减生成数列。注：从这里的记号也可以看到，从原始数列注：从这里的记号也可以看到，从原始数列 ，得，得到新数列到新数列 ，再通过累减生成可以还原出原始数列，再通过累减生成可以还原出原始数列。实际运用中在数列。实际运用中在数列 的基础上预测出的基础上预测出 ，通过，通过累减生成得到预测数列累减生成得到预测数列 。)(,),2(),1()1()1()1()1(nxxxx, 3 , 2),1()()()1 ()1 ()0(nkkxkxkx)0(x)1(x)0(x)1(x)1(x)1( x)0( x1),1()()(
11、)()()()11,11,10, 5 ,4, 5(IGAO11)5()6()6(,611)4()5()5(, 510)3()4()4(,45)2()3()3(, 34)1 ()2()2(,25)1 ()0()1 ()1 (, 10)0(,0)1()()()46,35,24,14,9 , 5()6(),5(),4(),3(),2(),1 (10)0()1()1()0()1()1()0()1()1()0()1()1()0()1()1()0()1()1()1()0()1()1()1()0()1()1()1()1()1()1()1(limtkxkxkxttkxkxdtkdxxxxxkxxxkxxxkx
12、xxkxxxkxxxxkxkkxkxkxxxxxxxxt相当于而有求导性质，这是因为不难看出，累减生成具）（从而有：若解：）（累减生成计算示例累减生成计算示例（3）加权邻值生成设原始数列为设原始数列为称称 为数列为数列 的邻值。的邻值。 为后邻值，为后邻值， 为前邻值，对于常为前邻值，对于常数数 ，令，令 由此得到的数列由此得到的数列 称为数列称为数列 在权在权 下的邻值生下的邻值生成数，权成数，权 也称为生成系数。也称为生成系数。 特别地，当生成系数特别地，当生成系数 时，则称时，则称为均值生成数，也称等权邻值生成数。为均值生成数，也称等权邻值生成数。 )(,),2(),1 ()0()0()
13、0()0(nxxxx)(),1()0()0(kxkx)0(x) 1()0(kx)()0(kx 1 , 0, 3 , 2),1()1 ()()() 0() 0() 0(nkkxkxkz)0(z)0(x5 . 0, 3 , 2),1(5 . 0)(5 . 0)()0()0()0(nkkxkxkz 灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数等概念定义灰导数与灰微分方程，进而用离散数据等概念定义灰导数与灰微分方程，进而用离散数据列建立微分方程形式的动态模型，即灰色模型是利列建立微分方程形式的动态模型，即灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显著削弱而且用离散
14、随机数经过生成变为随机性被显著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式的模型较有规律的生成数，建立起的微分方程形式的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。，这样便于对其变化过程进行研究和描述。vG G表示表示greygrey（灰色），（灰色），M M表示表示modelmodel（模型）（模型）灰色模型(1,1)v设设 为原始数列，其为原始数列，其1次累次累v加生成数列为加生成数列为 ，其中，其中v定义定义 的灰导数为的灰导数为令令 为数列为数列 的邻值生成数列，即的邻值生成数列，即于是定义于是定义GM（1，1）的灰微分方程模型为）的灰微分方程模型为)(,),2(),1 ()0()0(
15、)0()0(nxxxx)(,),2(),1 ()1()1()1()1(nxxxx, 2 , 1, )()(1)0()1(nkixkxki)1(x).1()()()()1()1()0(kxkxkxkd)1(z)1(x),1()1 ()()()1()1()1(kxkxkz,)()()1(bkazkd即或即或 （1）在式（在式（1）中，）中， 称为灰导数，称为灰导数，a称为发展系数，称为发展系数， 称为白化背景值，称为白化背景值，b称为灰作用量。称为灰作用量。将时刻表将时刻表 代入（代入（1）式有）式有引入矩阵向量记号：引入矩阵向量记号：于是于是GM（1，1）模型可表示为）模型可表示为 ,)()()
16、1()0(bkazkx)()0(kx)() 1 (kznk, 3 , 2,)()(,)3()3(,)2()2()1()0()1()0()1()0(bnaznxbazxbazx)() 3()2()0()0()0(nxxxYbau1)(1)3(1)2()1()1()1(nzzzB. uYB 现在问题归结为求现在问题归结为求a,b在值。用一元线性回归，即最小二乘在值。用一元线性回归，即最小二乘法求它们的估计值为法求它们的估计值为 注：实际上回归分析中求估计值是用软件计算的，有标准注：实际上回归分析中求估计值是用软件计算的，有标准程序求解，如程序求解，如matlab等。等。.)(1YBBBbauTT
17、GM（1，1）的白化型）的白化型 对于对于GM（1，1）的灰微分方程（）的灰微分方程（1），如果将灰导数），如果将灰导数 的的时刻时刻 视为连续变量视为连续变量t，则，则 视为时间视为时间t函数函数, 于是于是 对应于导数对应于导数 白化背景值白化背景值 对应于对应于 。于是。于是GM（1，1）的灰微）的灰微 分方程对应于的白微分方程为分方程对应于的白微分方程为 （2） 称之为称之为GM(1，1)的白化型。的白化型。)()0(kxnk, 3 , 2 )()1(tx)()0(kxdttdx)()1()()1(kz) t (x)1(,)()()1()1(btaxdttdx三、GM（1，1）灰色预测
18、的步骤1.数据的检验与处理数据的检验与处理为了保证为了保证GM（1，1）建模方法的可行性，需要对已知数据做必要的检验）建模方法的可行性，需要对已知数据做必要的检验处理。处理。 设原始数据列为了设原始数据列为了 ，计算数列的级比，计算数列的级比如果所有的级比都落在可容覆盖区间如果所有的级比都落在可容覆盖区间 内，则数据列内，则数据列 可以建立可以建立GM（1，1）模型且可以进行灰）模型且可以进行灰色预测。否则，对数据做适当的变换处理，如平移变换：色预测。否则，对数据做适当的变换处理，如平移变换：取取C使得数据列使得数据列的级比都落在可容覆盖内。的级比都落在可容覆盖内。)(,),2 (),1 ()
19、 0 () 0 () 0 () 0 (nxxxx.,3 ,2,)()1()()0()0(nkkxkxk),(1212nneeX)0(x, 2 , 1,)()()0()0(nkckxky2. 建立建立GM（1，1）模型）模型 不妨设不妨设 满足上面的要满足上面的要求，以它为数据列建立求，以它为数据列建立GM（1，1）模型）模型用回归分析求得用回归分析求得a,b的估计值，于是相应的白化模型为的估计值，于是相应的白化模型为 解为解为 （3）于是得到预测值于是得到预测值从而相应地得到预测值：从而相应地得到预测值：)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxx,)()()1()0(bkazk
20、x,)()()1()1(btaxdttdx.) 1 ()()1()0()1(abeabxtxta, 1, 2 , 1,) 1 () 1()0()1(nkabeabxkxak, 1, 2 , 1),() 1() 1()1()1()0(nkkxkxkx3. 检验预测值检验预测值（1）残差检验：）残差检验：计算相对残差计算相对残差如果对所有的如果对所有的 ，则认为达到较高的要求：否则，若，则认为达到较高的要求：否则，若对所有的对所有的 ，则认为达到一般要求。，则认为达到一般要求。（2）级比偏差值检验：）级比偏差值检验：计算计算如果对所有的如果对所有的 ，则认为达到较高的要求；否则，则认为达到较高的要
21、求；否则若对所有的若对所有的 ，则认为达到一般要求。，则认为达到一般要求。, 2 , 1,)()()()()0()0()0(nkkxkxkxk1 . 0| )(|k2 . 0| )(|k),(5 . 015 . 011)(kaak1 . 0| )(|k2 . 0| )(|k四、灰色预测计算实例v 例例 北方某城市北方某城市198619861992 1992 年道路交通噪声平均声级数年道路交通噪声平均声级数据见表据见表6 6v 表表6 6 市近年来交通噪声数据市近年来交通噪声数据dB(A)dB(A)序号 年份 eq L 1 1986 71.12 1987 72.43 1988 72.44 198
22、9 72.1 5 1990 71.4 6 1991 72.07 1992 71.6第一步第一步: 级比检验级比检验建立交通噪声平均声级数据时间序列如建立交通噪声平均声级数据时间序列如下：下：(0)(0)(0)(0)(1),(2),(7)xxxx（=(71.1, 72.4, 72.4, 72.1, 71.4, 72.0, 71.6) （1 1）求级比）求级比 (k) (k) (0)(0)(1)( )xkkxk（ =(0.982,1,1.0042,1.0098, 0.9917,1.0056) （2 2）级比判断）级比判断由于所有的由于所有的 (k)0.982,1.0098，k = 2,3,7，故可
23、以用，故可以用x(0)作满意的作满意的GM（1，1）建模。）建模。第二步第二步: GM（1，1）建模）建模（1 1）对原始数据）对原始数据 作一次累加，即作一次累加，即 = (71.1,143.5,215.9,288,359.4,431.4,503 = (71.1,143.5,215.9,288,359.4,431.4,503）（2 2）构造数据矩阵）构造数据矩阵B B 及数据向量及数据向量Y Y ( (2), (3), (7)(0)x(1)x(1 )(1 )( 0 )(1 )(1 )( 0 )( 0 )(1 )(1 )1(1 +2111(+,211(+2xxxxxxBYxxx（ ）（ 2 ）
24、 )（ 2 ）（ 2 ）（ 3 ） )（ 3 ）（ 7 ）（ 6 ）（ 7 ） )10.0023( , )()()72.6573TTTua bBBB Y（3）计算）计算u 于是得到于是得到a = 0.0023，b = 72.6573。（4）建立模型）建立模型(1)(1)0.002372.6573dxxdtv 求解得求解得( 1 )( 0 )( 0 )(1 )(1 ) =(1 ) = 7 1 .1 ,xxx(1)(0)0.0023(1)(1 -)=-3092931000akkbbxkxeeaa（）（5）求生成数列值）求生成数列值 及模型还原值及模型还原值 ：令令k = 1,2,3,4,5,6,由
25、上面的时间响应函数可算得由上面的时间响应函数可算得 ，其中取，其中取由由 取取k = 2,3,4,7，得，得 (71.1, 72.4, 72.2, 72.1, 71.9, 71.7, 71.6)(0)(0)(0)(0)(1)(2)(7) =xxxx（， ，）(0)(1)(1)( )( )(1),xkxkxk(1)(1)xk (0)(1)xk (1) x第三步第三步: : 模型检验模型检验模型的各种检验指标值的计算结果见表模型的各种检验指标值的计算结果见表 7.表表7 GM(1,1)模型检验表模型检验表序号序号 年份年份 原始值原始值 模型值模型值 残差残差 相对误差相对误差 级比偏差级比偏差1 1986 71.1 71.1 0 0 02 1987 72.4 72.4 -0.0057 0.01% 0.00233 1988 72.4 72.2 0.1638 0.23% 0.02034 1989 72.1 72.1 0.0329 0.05% -0.00185 1990 71.4 71.9 -0.4984 0.7% -0.00746 1991 72.0 71.7 0.2699 0.37% 0.01077 1992 71.6 71.6 0.0378 0.05% -0.0032经验证，该模型的精度较高，可进行预测和预报。经验证，该模型的精度较高，可进行预测和预报。
