1、四边形面积二等分问题四边形面积二等分问题对于任意四边形对于任意四边形ABCD，如图。，如图。MN 我们可以任作一条直线我们可以任作一条直线MN交四边形的两边于交四边形的两边于M、N两点，则直线两点，则直线MN把四边形把四边形ABCD分成两部分。分成两部分。现在把直线现在把直线MN向右平移向右平移细心的你一定会发现：细心的你一定会发现：开始时是左边开始时是左边的面积较小，的面积较小，后来是右边的面积较小，后来是右边的面积较小，在此过程中，必存在一个位在此过程中，必存在一个位置，直线置，直线MN移动到此位置时，移动到此位置时，把四边形把四边形ABCD分成面积相分成面积相等的左、右两部分。等的左、右
2、两部分。如何找到这个位置如何找到这个位置?请往下看。请往下看。如图，已知任意四边形如图，已知任意四边形ABCD，求作一条直线把四边形分成面积求作一条直线把四边形分成面积相等的两部分。相等的两部分。（1）连结）连结AC;解：解：（3）取）取AC的中点的中点E,（2）连结）连结BD,（5）连结）连结DF.则直线则直线DF把四边形把四边形ABCD分成面积相等的两部分。分成面积相等的两部分。BADCEF（4）作）作EFBD 交交BC于点于点F； 连结连结BE、DE,交点为交点为G;证明：证明：S ABE = S ACE E 为为AC的中点的中点,S ADE = S DCE S ABE + S ADE
3、= S ACE + S DCE EFBD S BDF = S BDE S BGF= S DGE S四边形四边形BADG+S四边形四边形BADG+S BGF= S DGE S五边形五边形BADEF=S四边形四边形DCFE=2 21 1S四边形四边形ABCD=S五边形五边形BADEF=S四边形四边形BADF2 21 1S四边形四边形ABCD直线直线DF把四边形把四边形ABCD分成面积相等的两部分。分成面积相等的两部分。 已知任意四边形已知任意四边形ABCD，求作一条直线把四边形，求作一条直线把四边形分成面积相等的两部分。分成面积相等的两部分。 因为四边形是任意四边形，所以，我们不妨因为四边形是任意
4、四边形，所以，我们不妨可以先考虑特殊四边形，分三种情况可以先考虑特殊四边形，分三种情况:（1）对角线互相平分的四边形，如图（）对角线互相平分的四边形，如图（1）：）： 此时，由于四边形此时，由于四边形是中心对称图形，所以，是中心对称图形，所以，过对角线交点的任意一过对角线交点的任意一条直线都可以把四边形条直线都可以把四边形分成面积相等的两部分分成面积相等的两部分（2）一条对角线过另一条对角线的中点的四边形，）一条对角线过另一条对角线的中点的四边形， 四边形四边形ABCD中，中，P为为AC的中点，的中点，Q为为BD的中点，的中点，P、Q不重合。此时不重合。此时BD平分四边形平分四边形ABCD。如
5、图（如图（2）：）：注意注意:左图左图BDAC,右图右图BDAC。在这两个图中，除了在这两个图中，除了BD,CE、AF也都能平也都能平分四边形分四边形ABCD. 现在的问题是：能不能过四边形现在的问题是：能不能过四边形ABCD的边的边上的任意一点作直线，把四边形上的任意一点作直线，把四边形ABCD分成面分成面积相等的两部分？积相等的两部分？ 答案是肯定的。过答案是肯定的。过A、B、C、D、E、F肯定能做肯定能做自不必说了。自不必说了。 A、B、C、D、E、F之外呢？之外呢？ 过四边形过四边形ABCD的边上的任意一点的边上的任意一点R求作直线求作直线RS，把四边形，把四边形ABCD分成面积相等的
6、两部分。分成面积相等的两部分。（1）（2）连结连结RC，作，作ESRC交交CD于于S，连结，连结RS，如图（，如图（1）。）。 则则RS即为所求。即为所求。连结连结RD，作，作BSRD交交CD于于S，连结，连结RS，如图（，如图（2）。）。 则则RS即为所求。即为所求。此为此为R在在E、B之间时，之间时，S必在必在C、D之间。之间。（1）（2） 此为此为R在在F、B之间时，之间时，S必在必在A、D之间。之间。连结连结RD，作，作BSRD交交AD于于S，连结，连结RS，如图（，如图（1）。）。 则则RS即为所求。即为所求。连结连结RD，作，作BSRD交交AD于于S，连结，连结RS，如图（如图（2
7、）。）。 则则RS即为所求。即为所求。（1）（2） 当当R在在F、C之间时，之间时，S必必在在A、E之间。之间。连结连结RA，作，作FSRA交交AB于于S，连结，连结RS，如图（，如图（1）。）。 则则RS即为所求。即为所求。连结连结RE，作，作CSRE交交AB于于S，连结，连结RS，如图（如图（2）。）。 则则RS即为所求。即为所求。 综上所述，一条对角线过另一条对角线的中点的四边形，过综上所述，一条对角线过另一条对角线的中点的四边形，过每一个顶点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。这每一个顶点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。这样的直线共三条，这三条直线把四边形的边分成六条线
8、段。过样的直线共三条，这三条直线把四边形的边分成六条线段。过这六条线段中每条线段上的每一点都有一条直线把四边形分成这六条线段中每条线段上的每一点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。所以，过这样的四边形的边上的任意一点面积相等的两部分。所以，过这样的四边形的边上的任意一点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。 （3）对角线都不过另一条对角线的中点的四边形）对角线都不过另一条对角线的中点的四边形如图（如图（3）：四边形）：四边形ABCD中，中， P为为BD的中点，的中点，Q为为AC的中点。的中点。 由例题可知：过四边形的每个顶点都有一条直由例题可
9、知：过四边形的每个顶点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分，这样的直线有线把四边形分成面积相等的两部分，这样的直线有四条。这四条直线把四边形的边分成八条线段，且四条。这四条直线把四边形的边分成八条线段，且每条直线都把原四边形分成一个三角形和一个小四每条直线都把原四边形分成一个三角形和一个小四边形。边形。图（图（3）中的）中的AE、BF、CG、DH都能把四边都能把四边形形ABCD分成分成面积相等的两面积相等的两部分部分 过四边形过四边形ABCD的边上的任意一点的边上的任意一点R求作直线求作直线RS，把四边形，把四边形ABCD分成面积相等的两部分。分成面积相等的两部分。连结连结RD，作，作HS
10、RD交交CD于于S，连结，连结RS，如图（如图（3） 则则RS即为所求。即为所求。当点当点R在在B、H之之间时，点间时，点S必在必在F、D之间，之间，R从从B移移动到动到H时，时，S从从F移动到移动到D。连结连结RD，作，作HSRD交交CD于于S，连结，连结RS，如图（如图（3） 则则RS即为所求。即为所求。当点当点R在在H 、E之间时，点之间时，点S必必在在D 、A之间，之间，R从从H移动到移动到E时，时，S从从D移动到移动到A。连结连结RA，作，作ESRA交交AB于于S，连结，连结RS，如图（，如图（3） 则则RS即为所求。即为所求。当点当点R在在E 、C之间时，点之间时，点S必在必在A
11、、G之间，之间，R从从E移动到移动到C时，时，S从从A移动到移动到G。连结连结RG，作，作CSRG交交AB于于S，连结，连结RS，如图（，如图（3） 则则RS即为所求。即为所求。当点当点R在在C、F之间时，点之间时，点S必在必在G、B之间，之间，R从从C移动到移动到F时，时，S从从G移动到移动到B。 此时我们会发现线段此时我们会发现线段CF和线段和线段GB长度不一定相等，长度不一定相等，但两条线段上的点却存在一一对应的关系，这属于数学但两条线段上的点却存在一一对应的关系，这属于数学中引进无限的概念以后引发的一个新的悖论。这个问题中引进无限的概念以后引发的一个新的悖论。这个问题有待于人们进一步去
12、研究，在这里就不讨论了。有待于人们进一步去研究，在这里就不讨论了。 综上所述没有一条对角线过另一条对角线的中点综上所述没有一条对角线过另一条对角线的中点的四边形，过每一个顶点都有一条直线把四边形分成的四边形，过每一个顶点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。这样的直线共四条，这四条直线面积相等的两部分。这样的直线共四条，这四条直线把四边形的边分成八条线段。过这八条线段中每条线把四边形的边分成八条线段。过这八条线段中每条线段上的每一点都有一条直线把四边形分成面积相等的段上的每一点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。所以，过这样的四边形的边上的任意一点都两部分。所以，过这样的四边形的边上
13、的任意一点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。 我要说明的是：过四边形的边上的任意一点都能作一我要说明的是：过四边形的边上的任意一点都能作一条直线把四边形分成面积相等的两部分。为了作出这样条直线把四边形分成面积相等的两部分。为了作出这样的直线，只要先作出过顶点且能把四边形面积二等分的的直线，只要先作出过顶点且能把四边形面积二等分的四条直线及其与四边形的边的交点，弄明白这些交点把四条直线及其与四边形的边的交点，弄明白这些交点把四边形的边分成了哪些线段，然后确定所给的任意点所四边形的边分成了哪些线段，然后确定所给的任意点所在的线段，再就近构造梯形，（这
14、个梯形一定要以四边在的线段，再就近构造梯形，（这个梯形一定要以四边形的一个顶点与过这个顶点且能把四边形面积二等分的形的一个顶点与过这个顶点且能把四边形面积二等分的直线与四边形的边的交点所连的线段为一条对角线，而直线与四边形的边的交点所连的线段为一条对角线，而所求作的直线就是过已知的任意点的梯形的另一条对角所求作的直线就是过已知的任意点的梯形的另一条对角线所在的直线。）最后，画出梯形的另一条对角线就是线所在的直线。）最后，画出梯形的另一条对角线就是所求所求现在做个练习：现在做个练习：如图，已知任意五边形如图，已知任意五边形ABCDE，求作直线求作直线AF，把五边形，把五边形ABCD分分成面积相等的两部分。成面积相等的两部分。解：解：如图：取如图：取BE的中点的中点O,连结连结AO;连结连结CE取取CE的中点的中点P，过点过点P作作RSBD交交BE于于R交交DE于于S；连结连结DR；连结连结BD,取取BD的中点的中点Q，过点过点Q作作MTCE交交BC于于M交交BE于于T，连结连结CT；连结连结OD,作作RHOD交交CD于于H，连结，连结OH；连结连结AH,作作OFAH交交CD于于F,连结连结AF;则则AF即为所求。即为所求。
