1、 2008年奥运会会徽图片年奥运会会徽图片 历历 届届 奥奥 运运 会会 会会 徽徽你能用圆规和直尺作出下列图案吗？n 生活中很多美丽的图案和几何图形都有密切联系，即使最简单的几何图案经过你的精心设计也会给人以赏心悦目的感觉。 你能用圆规作出下图所示的图案吗？按照下列步骤画一画。 图案设计的工具：直尺、圆规、三角尺。 （1）上图中A点的位置对六花瓣的形状有没有影响？（2）图中六花瓣相邻两个顶点分别与圆心的连线（即这两个顶点所在的半径）所成的角是多少度？（3）根据图中的方法， 你能将一个圆周六等分吗？ 能将一个圆周三等分吗？AOB练习：画出下图所示的图案 小结 图案设计的工具：直尺、圆规、三角尺
2、。 生活中很多美丽的图案和几何图形都有密切联系，即使最简单的几何图案经过你的精心设计也会给人以赏心悦目的感觉。 下面花边中的图案以正方形为基础，由圆弧或圆构下面花边中的图案以正方形为基础，由圆弧或圆构成。仿照例图，请你设计一条花边，要求：成。仿照例图，请你设计一条花边，要求： （1）只要画出组成花边的一个图案；）只要画出组成花边的一个图案； （2）以所给的正方形为基础，用圆弧或圆画出；）以所给的正方形为基础，用圆弧或圆画出； （3）图案应有美感。）图案应有美感。 （1 1）图案设计的工具：）图案设计的工具： 直尺、圆规、三角尺直尺、圆规、三角尺. .（2 2）画图案的基本方法之一：）画图案的基
3、本方法之一： 等分圆周法等分圆周法. .P145P145习题习题4.8 4.8 1 1、2 2本节课你的收获是什么？本节课你的收获是什么？.欣赏下面的图案，并分析各个图案的形成过程。欣赏下面的图案，并分析各个图案的形成过程。解法解法1：取该图竖直方向（或水平方向）的对称轴所在直：取该图竖直方向（或水平方向）的对称轴所在直线，将该图分成两个全等的部分，以其中一部分为线，将该图分成两个全等的部分，以其中一部分为“基基本图案本图案”，平移，平移1次，即可得到该图案。次，即可得到该图案。.欣赏下面的图案，并分析各个图案的形成过程。欣赏下面的图案，并分析各个图案的形成过程。解法解法2：取该图竖直方向、水
4、平方向的对称轴线将该图分：取该图竖直方向、水平方向的对称轴线将该图分成四个全等的部分，以左上角的这部分为成四个全等的部分，以左上角的这部分为“基本图案基本图案”，连续平移连续平移3次，即可得到该图案。次，即可得到该图案。.欣赏下面的图案，并分析各个图案的形成过程。欣赏下面的图案，并分析各个图案的形成过程。解法解法3：取该图竖直方向（或水平方向）的对称轴线将该图：取该图竖直方向（或水平方向）的对称轴线将该图分成两个全等的部分，以其中的一部分为分成两个全等的部分，以其中的一部分为“基本图案基本图案”，以，以整个图案的中心为旋转中心，按逆（顺）时针方向旋转整个图案的中心为旋转中心，按逆（顺）时针方向
5、旋转180（1次），前后的图形共同组成该图案。次），前后的图形共同组成该图案。.欣赏下面的图案，并分析各个图案的形成过程。欣赏下面的图案，并分析各个图案的形成过程。解法解法4：取该图中大正方形对角线所在的直线为对称轴，：取该图中大正方形对角线所在的直线为对称轴，将该图分成两个全等的部分，以其中一部分为将该图分成两个全等的部分，以其中一部分为“基本图基本图案案”，作它关于对称轴的轴对称图形，即可得到该图案。，作它关于对称轴的轴对称图形，即可得到该图案。.三、三、运用平移变换、旋转变换、轴对称变换及它运用平移变换、旋转变换、轴对称变换及它们的组合进行一定的图案们的组合进行一定的图案设计设计。（能画
6、）（能画）（1、）试用两个等圆，两个全等三角形，两条平行、）试用两个等圆，两个全等三角形，两条平行且相等的线段设计一些具有平移、旋转和轴对称关且相等的线段设计一些具有平移、旋转和轴对称关系的图案，并说明你的设计意图。系的图案，并说明你的设计意图。.（1、）试用两个等圆，两个全等三角形，两条平行、）试用两个等圆，两个全等三角形，两条平行且相等的线段设计一些具有平移、旋转和轴对称关且相等的线段设计一些具有平移、旋转和轴对称关系的图案，并说明你的设计意图。系的图案，并说明你的设计意图。两盏电灯两盏电灯两支棒棒糖两支棒棒糖平移关系平移关系轴对称关系轴对称关系.旋转关系旋转关系错位倒置错位倒置等价交换等
7、价交换.轴对称关系轴对称关系一个外星人一个外星人一辆小车一辆小车.（2、）学校花园有一块正方形花池，打算将它面积八等、）学校花园有一块正方形花池，打算将它面积八等份，种上八种花草，请你利用平移、旋转、轴对称等知份，种上八种花草，请你利用平移、旋转、轴对称等知识设计几个方案（至少三种）。识设计几个方案（至少三种）。花池花池变换方法？变换方法？基本图案？基本图案？平移平移旋转旋转对称轴位置对称轴位置对称轴条数对称轴条数平移平移方向方向平移平移距离距离平移平移次数次数旋转中心旋转中心旋转方向旋转方向旋转角度旋转角度旋转次数旋转次数轴对称轴对称.（2、）学校花园有一块正方形花池，打算将它面积八等份，、
8、）学校花园有一块正方形花池，打算将它面积八等份，种上八种花草，请你利用平移、旋转、轴对称等知识设计几种上八种花草，请你利用平移、旋转、轴对称等知识设计几个方案（至少三种）。个方案（至少三种）。(10)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(11)(12).四、四、能够灵活运用平移变换、旋转变换、轴对称变换能够灵活运用平移变换、旋转变换、轴对称变换及它们的组合解决某些图形的计算、证明问题。及它们的组合解决某些图形的计算、证明问题。（1）巧用）巧用移位思想，灵活求解面积移位思想，灵活求解面积例：如图所示，例：如图所示，AB是长为是长为4的线段，的线段，且且CDAB于于O。你能借助旋
9、转的。你能借助旋转的方法求出图中阴影部分的面积吗？方法求出图中阴影部分的面积吗？说说你的做法。说说你的做法。OABCD.例：如图所示，例：如图所示，AB是长为是长为4的线段，且的线段，且CDAB于于O。你能借助旋转的方法求出图中阴影部分的面积。你能借助旋转的方法求出图中阴影部分的面积吗？说说你的做法。吗？说说你的做法。OABCD解：图中阴影部分的面积是解：图中阴影部分的面积是.如图所示，扇形如图所示，扇形AOB为为1/4圆，边长为圆，边长为1的正方形的正方形EOCD内接扇形内接扇形AOB，过点，过点A作作AFED交交ED的延的延长线于点长线于点F，借助平移、旋转或轴对称的思想方法求，借助平移、
10、旋转或轴对称的思想方法求出图中阴影部分的面积为出图中阴影部分的面积为EABCDOF12122112222ACDFSSCDAFODOACDOCODOCDRtOD矩形阴影，。中，则在解：连接12试一试试一试.例：如图所示，长方形草地上（水平方向的长均为例：如图所示，长方形草地上（水平方向的长均为a，纵，纵向宽均为向宽均为b），修有一条小路（小路任何地方的水平宽度），修有一条小路（小路任何地方的水平宽度都是一个单位）。你能借助平移的方法求出图中草地部分都是一个单位）。你能借助平移的方法求出图中草地部分的面积吗？说说你的做法。的面积吗？说说你的做法。草地草地ba.如图所示，长方形草地上（水平方向的长均
11、为如图所示，长方形草地上（水平方向的长均为a，纵向宽均，纵向宽均为为b），修有一条小路（小路任何地方的水平宽度都是一个），修有一条小路（小路任何地方的水平宽度都是一个单位）。你能借助平移的方法求出图中草地部分的面积吗？单位）。你能借助平移的方法求出图中草地部分的面积吗？说说你的做法。说说你的做法。将将“小路小路”沿左右两个边界沿左右两个边界“剪去剪去”纵向宽仍是纵向宽仍是b，而水平方，而水平方向的长变成了向的长变成了a-1，所以草地面积为，所以草地面积为(a-1)b=ab-b.如图所示，长方形花园如图所示，长方形花园ABCD，AD=a，AB=b，花园中修有两，花园中修有两条小路（小路任何地方的
12、水平宽度都是一个单位）。你能借助条小路（小路任何地方的水平宽度都是一个单位）。你能借助平移、旋转的方法求出图中种花部分的面积吗？说说你的做法平移、旋转的方法求出图中种花部分的面积吗？说说你的做法。将将“小路小路”沿左右上下各个边界沿左右上下各个边界“剪去剪去”，将左侧的花地向右平移一个单位，将下面将左侧的花地向右平移一个单位，将下面的花地向上平移一个单位，得到一个新的的花地向上平移一个单位，得到一个新的矩形，它的纵向宽是矩形，它的纵向宽是b-1，而水平方向的长，而水平方向的长变成了变成了a-1，所以花地面积为，所以花地面积为(a-1)（b-1）=ab-a-b+1将纵向将纵向“小路小路” 绕点逆
13、时针旋转绕点逆时针旋转“扶直扶直”，再将再将“扶直扶直”的的“小路小路”向左平移到花地向左平移到花地左边，将横向左边，将横向“小路小路”向上平移到花地上向上平移到花地上边，得到一个新的矩形，它的纵向宽是边，得到一个新的矩形，它的纵向宽是b-1，而水平方向的长变成了而水平方向的长变成了a-1，所以草地面积，所以草地面积为为(a-1)（b-1）=ab-a-b+1ABA D B C CaDb练一练练一练A D B C A D B C .例：如图所示，把长方形例：如图所示，把长方形ABCD中的中的B CD沿沿直线直线BD折叠，使点折叠，使点C落在点落在点C处，处， BC交交AD于于E，AD=8，AB=
14、4，求，求BED的面积。的面积。EABCDC设设 DE=x，由题意得由题意得ABD CDB CDB BC=AD= BC =8， AE=8- x ，1= 2，ADBC AB=CD=4（长方长方形性质）形性质） 3= 2（两直线平行，内错角相等）两直线平行，内错角相等） 1= 3 （等量代换）（等量代换） BE= ED= x （等角对等边）（等角对等边）在在RtBEA中，由勾股定理得中，由勾股定理得解：解：1045212154)8(222ABDESxxxBED312（2）利用轴）利用轴对称，解决折对称，解决折叠问题叠问题.五、小结五、小结 这节课通过对生活实际中的典型图案进行观察、这节课通过对生活
15、实际中的典型图案进行观察、分析、欣赏的过程，进一步发展空间观念，增强审美分析、欣赏的过程，进一步发展空间观念，增强审美意识意识（能看）（能看） 。 认识和欣赏平移变换、旋转变换、认识和欣赏平移变换、旋转变换、轴对称变换在现实生活实际中的应用，学习运用平移轴对称变换在现实生活实际中的应用，学习运用平移变换、旋转变换、轴对称变换及它们的组合进行一定变换、旋转变换、轴对称变换及它们的组合进行一定的图案的图案设计设计（能画）（能画） 。应用平移变换、旋转变换、。应用平移变换、旋转变换、轴对称变换将那些分散、远离的条件从图形的某一部轴对称变换将那些分散、远离的条件从图形的某一部位转移到适当的新位置上，得
16、以相对集中，从而达到位转移到适当的新位置上，得以相对集中，从而达到化繁为简、化难为易、巧妙解题的目的。化繁为简、化难为易、巧妙解题的目的。.（必做必做）教材）教材P78 习题习题37 1、2、3 P8 0 复习题复习题 A 组组 6 （选做选做）教材）教材P。80 复习题复习题 B组组 P。8 1 复习题复习题 C组组六、作业：六、作业：.二、二、对典型图案进行观察、分析、欣赏。对典型图案进行观察、分析、欣赏。（会看）（会看）（1、）你能用平移、旋转或轴对称分析各个图案的形成过程、）你能用平移、旋转或轴对称分析各个图案的形成过程吗？你是怎样分析的？与同伴交流。吗？你是怎样分析的？与同伴交流。(
17、2)(1).(3)(4).(5).(6).正方形正方形ABCD的对角线相交于点的对角线相交于点O，点，点O是正方形是正方形ABC O的一个顶点，如果两个正方形的边长均等于的一个顶点，如果两个正方形的边长均等于a，那么正，那么正方形方形ABC O绕顶点绕顶点O无论怎样转动，则两个正方形重叠无论怎样转动，则两个正方形重叠部分的面积一定是部分的面积一定是 。DAABBCCOOAABBCCD当正方形当正方形ABC O绕顶点绕顶点O旋转到下旋转到下图位置时图位置时,两个正方形重叠部分的面积两个正方形重叠部分的面积就是正方形就是正方形ABCD面积的面积的1/4.当正方形当正方形ABC O绕顶点绕顶点O旋转
18、到上图位置时旋转到上图位置时,设设O A交交AB于于E, O C交交B C于于F,因为因为OB=OC, BOE=COF, OBE=OCF,所以所以 OEB可以看成是可以看成是 OFC绕顶点绕顶点O顺时针旋转顺时针旋转90而得，而得， OEB与与 OFC的面积相等，两个的面积相等，两个正方形重叠部分的面积就是正方形重叠部分的面积就是 OBC的面积，的面积，即正方形即正方形ABCD面积的面积的1/4.EF241a.（2）利用轴对称，解决折叠问题）利用轴对称，解决折叠问题如图所示，把矩形如图所示，把矩形ABCD中的中的B CF沿直线沿直线BF折叠，使点折叠，使点C落在落在AD边上的点边上的点C处，处
19、， 已知已知AB=10cm，BC=15cm,求求FC的长。的长。FABCDC设设FC=xcm，由题意得由题意得BCF BC F BC= BC =15cm，FC =FC=xcm ，FD=(10-x)cm在在RtA BC中，由勾股定理得中，由勾股定理得解：解：cmcmxxxcmDCcmCACA251545251545)5515()10()5515()(551251251015222222答答:FC的长为的长为.正方形正方形ABCD中，中， E为为BC上任一点，上任一点，AF是是DAE的平分的平分线，交线，交CD于点于点F，求证：，求证：AE=BE+FDDABCEF证明：证明：E将将ABE绕点绕点O
20、旋转旋转90得得ADE ，BE=DE，AE=AE，4= 3 AF是是DAE的平分线（已知）的平分线（已知）1= 2（角平分线的定义）（角平分线的定义）1 +4= 2+ 3即即BAF= FAE又又ABCD（正方形性质）（正方形性质） BAF= 5（两直线平行，内错角相等）两直线平行，内错角相等） FAE= 5 （等量代换）（等量代换） AE= FE（等角对等边）（等角对等边）AE=BE+FD （等量代换）（等量代换）43125.如图，甲、乙两个学校分别位于一段笔直河道的两旁，现准备如图，甲、乙两个学校分别位于一段笔直河道的两旁，现准备修建一座过河天桥，桥必须与河道垂直，河道宽为定值修建一座过河天
21、桥，桥必须与河道垂直，河道宽为定值d。问：。问：（1）桥修在何处才能使由甲到乙的路线最短？）桥修在何处才能使由甲到乙的路线最短？（2）桥修在何处才能使由甲、乙到桥的距离相等？）桥修在何处才能使由甲、乙到桥的距离相等？ABCDMNPQ解：解：（1）将将点点B沿沿河道垂河道垂直方向向上平移到点直方向向上平移到点B，使使BB=d，连结，连结A B交交MN于点于点C，过点，过点C作作CDPQ于于D，则桥修在线段，则桥修在线段CD处处就能使由甲到乙的路线最就能使由甲到乙的路线最短。短。B.ABCDMNPQ解：解：（2）作点作点B的以的以河道河道为对称轴的对称点为对称轴的对称点B，连，连结结A B，作，作
22、A B的垂直平分的垂直平分线线 交交MN于点于点C，过点，过点C作作CDPQ于于D，则桥修在线，则桥修在线段段CD处就能使由甲、乙到处就能使由甲、乙到桥的距离相等。桥的距离相等。B. 把自己称为一个“图形艺术家”他专门从事于木板画. 在1956年举办的艺术画展得到了许多数学家的称赏，在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化.荷兰艺术家M.C.埃舍尔.在 “蜥蜴”里，镶嵌而成的蜥蜴嬉笑地逃离二维平面的束缚到桌面放风, 然后又重新陷入原来的图案.埃舍尔在许多六边形的镶嵌图形中使用了这个图案模式.您看到的是夜空中的白鸟白鸟还是阳光下的黑鸟黑鸟 ？.水和天水和天.解解放放. 右图由四部分组右
23、图由四部分组成，每部分都包成，每部分都包括两个小括两个小“十十字字” 红色部分能经过红色部分能经过适当的适当的旋转旋转得到得到其他的三部分吗？其他的三部分吗？ 平移平移呢？呢？ 轴对称呢？轴对称呢？ 还有其他的办法还有其他的办法吗？吗？. 由由旋旋转转得得到到. 由平移得到. 由由轴轴对对称称得得到到.下图由四部分组成，下图由四部分组成，每部分都包括两个每部分都包括两个小小“十字十字”红色红色部分能经过适当的部分能经过适当的旋转得到其他三部旋转得到其他三部分吗？平移呢？轴分吗？平移呢？轴对称呢？还有其他对称呢？还有其他的办法吗？的办法吗？旋 转旋 转平 移平 移先平移后旋转先平移后旋转轴对称后
24、旋转轴对称后旋转轴对称轴对称看吾七十二变看吾七十二变.先先 平平 移移 后后 旋旋 转转七十二变之平移七十二变之平移+ +旋转旋转. 先先 轴轴 对对 称称 后后 旋旋 转转七十二变之轴对称七十二变之轴对称+ +旋转旋转.远航远航组合美组合美(一一).组合美组合美(二二). 祝同学们祝同学们 学习快乐天天开心学习快乐天天开心组合美组合美( (三三) ).运动美运动美( (一一) ).运动美运动美( (一一) ).运动美运动美( (二二) ).运动美运动美( (二二) ).例题讲解（一） 右图由四部分组右图由四部分组成，每部分都包成，每部分都包括两个小括两个小“十十字字” 红色部分能经过红色部分
25、能经过适当的适当的旋转旋转得到得到其他的三部分吗？其他的三部分吗？ 能经过能经过平移平移吗吗？ 能经过能经过轴对称轴对称吗？吗？ 还有其他的方式还有其他的方式吗？吗？. 由由旋旋转转得得到到. 由平移得到. 由由轴轴对对称称得得到到.想一想，试一试你能将左图通过平移或旋转得到右图吗你能将左图通过平移或旋转得到右图吗?？.例题讲解（二） 怎样将下图中的右图变成左图怎样将下图中的右图变成左图A B变变成成.拓展练习 怎样将下图中的左图变成右图怎样将下图中的左图变成右图A B. 图案欣赏图案欣赏. 图案欣赏图案欣赏.这些图案有什这些图案有什么共同特征？么共同特征？.你能找出图你能找出图案中的全等案中
26、的全等图形吗？图形吗？这幅图案可这幅图案可看成是怎样看成是怎样制作的呢？制作的呢？.请同学们讨论请同学们讨论:怎样用圆规画出这个六花瓣图怎样用圆规画出这个六花瓣图? ?.注意注意! 半径能不能变? A A A A O O O O.画完之后请同学们思考以下几个问题画完之后请同学们思考以下几个问题: : (1) 图中A点的位置对六花瓣的形状有没有影响?对花瓣的位置有影响吗? (对形状没影响,对位置有影响) A A A A O O O O.1 某单位搞绿化，要在一块某单位搞绿化，要在一块圆形空地圆形空地上种植上种植四四种颜色种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的
27、花的花集中种植集中种植，且每种颜色的花所占的，且每种颜色的花所占的面积相面积相同同，现征集设计方案，你能帮忙设计吗？，现征集设计方案，你能帮忙设计吗？一一.随堂练习随堂练习:.2 2 下面花边中的图案以正方形为基础下面花边中的图案以正方形为基础, ,由圆弧、由圆弧、圆或线段构成圆或线段构成. .仿照例图仿照例图, ,请你为班级的板报设请你为班级的板报设计一条花边计一条花边, ,要求要求:(1):(1)只要画出组成花边的一只要画出组成花边的一个图案个图案;(2);(2)以所给的正方形为基础以所给的正方形为基础, ,用圆弧、用圆弧、圆或线段画出圆或线段画出;(3);(3)图案应有美感图案应有美感.
28、 . .练习练习: : 画出下图所示的图案画出下图所示的图案. 参考图案参考图案.这些图案有什这些图案有什么共同特征？么共同特征？.你能找出图你能找出图案中的全等案中的全等图形吗？图形吗？这幅图案可这幅图案可看成是怎样看成是怎样制作的呢？制作的呢？.你能找出图你能找出图案中的全等案中的全等图形吗？图形吗？它们是怎样它们是怎样绘制的呢？绘制的呢？.12341234.通过刚才的讨通过刚才的讨论，你认为可论，你认为可以怎样进行图以怎样进行图案设计呢？案设计呢？.等积变形等积变形3412122134中点中点新旧图新旧图形的面形的面积有何积有何关系关系面积面积相等相等.探索新知探索新知观察下面的图形，分析它是将哪种基本图形经过了观察下面的图形，分析它是将哪种基本图形经过了哪些变换后得到的？哪些变换后得到的？.探索新知探索新知1.旋转旋转:将将逆时针旋转逆时针旋转900、1800、27002.轴对称变换轴对称变换:.3.平移变换平移变换:探索新知探索新知
